2.2 充分条件、必要条件、充要条件【导学案学生版】

高中数学精选资源2/2第2章 常用逻辑用语第02讲充分条件、必要条件、充要条件目标导航目标导航课程标准重难点1、理解充分条件、必要条件、充要条件的定义．2、会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．3、能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与充分条件和必要条件的关系2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与充要条件的关系3．熟练判断命题间的关系4．根据命题关系求参数范围或参数值知识精讲知识精讲充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【特别提醒】对充分条件和必要条件的理解：(1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sinA＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的．(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．（4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【特别提醒】（1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．一、充分必要充分必要二、充要能力拓展能力拓展考法01充分条件的判断充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．例1下列命题中，p是q的充分条件的是________例1①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．【跟踪训练】“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．考法02必要条件的判定(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．例2在以下各题中，分析p与q的关系：例2(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．【跟踪训练】下列p是q的必要条件的是()A．p：a＝1，q：|a|＝1B．p：－1<a<1，q：a<1C．p：a<b，q：a<b＋1D．p：a>b，q：a>b＋1考法03根据充分条件或必要条件求参数的范围充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例3已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a例3【跟踪训练】变式1.（变条件）将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．变式2.（变条件）将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．考法04充分必要条件的判定定义法判断充分条件、必要条件（1）确定谁是条件，谁是结论（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.例4指出下列各题中p是q例4(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.【跟踪训练】指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.考法05充要条件的证明充要条件的证明策略（1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.例5求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c例5【跟踪训练】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.考法06充分条件与必要条件的应用充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．(3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．例6已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m例6【跟踪训练】变式1.（变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．变式2.（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．分层提分分层提分题组A基础过关练1．有以下说法，其中正确的个数为（）（1）“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.（2）“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.（3）“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．“”是二次函数经过原点”的（）A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件3．对于实数，“”是“”的（）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（）A．r是q的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件5．“>1”的一个充分不必要条件是（）A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<06．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件7．是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题：①的充要条件是；②的必要条件是；③不是的子集的充分条件是④的充要条件是其中真命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③题组B能力提升练1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知条件，条件关于x的一元二次方程有实数解．则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条3．已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（）A． B．1 C．3 D．54．设．若是的必要不充分条件，则实数可以是（）A． B． C． D．5．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．6．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．7．设集合，（1）请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；（2）请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．8．设：实数满足，：实数满足.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.题组C培优拔尖练1．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C． D．2．下列四个条件中可以作为方程有实根的充分不必要条件是（）A．a=0 B． C． D．3．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方