高等代数（二）学习通超星期末考试答案章节答案2024年

高等代数（二）学习通超星期末考试章节答案2024年/star3/origin/b85e34ca961f7e247a5cda33c8aea472.png

答案:k>1/star3/origin/5c1fe8d7a1ce1d21381da97d2d67a3c7.png

答案:与合同，且B正定实对称矩阵即可相似于对角矩阵，也可合同于对角矩阵。()。

答案:对/star3/origin/12906f0e830f593be4d1374c5badc694.png

答案:对/star3/origin/080401926270ed38f524ee7abc0e1bc0.png

答案:对/star3/origin/6b83a85f1a549a52a312db457aeb4f7d.png

答案:对/star3/origin/0beaadfac797edd37d0cbb68051f1d89.png

答案:对/star3/origin/31cd7fd196e2ed213b133b3be1445917.png

答案:错/star3/origin/5ba9b049d9e032d28a9f56709117dbe4.png

答案:对/star3/origin/71a40c0d3c4d1e45c887e2e36b72a001.png

答案:错/star3/origin/44a4b02edb2cdf6882f6c5d40c8efdd8.png

答案:对/star3/origin/4c32e2dd4cce3fe36f83c7853345adea.png

答案:错/star3/origin/faace954b117bd3522ebdc3753714603.png

答案:对/star3/origin/1b58f8660442e2a61850b541483d9834.png

答案:A的伴随矩阵的行列式值为6。/star3/origin/378cf7bafa850329ebd8b7b24bf78dd2.png

答案:错设3阶实矩阵A有3个两两正交的特征向量，则A是实对称矩阵。()。

答案:对/star3/origin/fc6086cd50725ed1ac0f721b798e823e.png

答案:以上都不对/star3/origin/0ff6ff32ce1b7383dd394684f3d08dc9.png

答案:对/star3/origin/275c53c03c59ed88f039268d6b9d2586.png

答案:对/star3/origin/b7a23c93536af06ce7d34064f7c17d03.png

答案:错/star3/origin/980f8fc1eea71db8bbed9e48f4eed884.png

答案:对/star3/origin/4b65f14dda4f2edcb8020139d86d662c.png

答案:对/star3/origin/fdd98a6d5279f41e091e193b8c96ce38.png

答案:对/star3/origin/e4f93da63892f97b96ce2dfab68a57f8.png

答案:错/star3/origin/e83b534417ed0c63433f5148c80e081c.png

答案:对/star3/origin/790c8c31dafca555862f46d3bd2b52a7.png

答案:对/star3/origin/844cb24bccc908a035cffdf9012ccb18.png

答案:对/star3/origin/570f1713e4b0578413d48a16.png

答案:特征值为7，-2，对应的特征向量分别为/star3/origin/bac0797c508397d89a434307fa4b1519.png

答案:对/star3/origin/3ef1648bfd6a0b452e696724b74099da.png

答案:对/star3/origin/cbc4ee135fb0f8e927006248a24fe91a.png

答案:对幂零矩阵一定可以相似对角化。()

答案:错/star3/origin/f54bdc0f33b8c738bde6c3c3778b694a.png

答案:对/star3/origin/0156bcd23af4b39a7b2c5878cb48a4ff.png

答案:对/star3/origin/b4cb669ce879b4fd31c4f80f113aa93d.png

答案:错/star3/origin/d816304ec8612f2f1f37309b36daf443.png

答案:对/star3/origin/62fc331f5b5e06da554b3e597411c15b.png

答案:对/star3/origin/83b90ad3512db1d5b07de9eb85db52ab.png

答案:18/star3/origin/0224696b43734f0dd2783420c2963b73.png

答案:错若正交矩阵A有实特征值，则该特征值只能为1或-1。()。

答案:对/star3/origin/31d0292f9200f783f11156aaeab54252.png

答案:对矩阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零。()。

答案:对/star3/origin/103dbd4ef6c63a9bf61d469ab9db2704.png

答案:错/star3/origin/4db25f1c75af5cea341b9b81cf1c6e0f.png

答案:错/star3/origin/0007a4fc9a58080f0505f23ecdd391d5.png

答案:对/star3/origin/64ccf1f3b06e3169856852776664afad.png

答案:对/star3/origin/e9f2b5c42727ba3965989c3267fffda2.png

答案:错/star3/origin/6f0596b0de56ac581305b9c2f6c6d321.png

答案:错/star3/origin/b3cc02d3fd248089ed906319e65b1d70.png

答案:错/star3/origin/0166747fe8179d5bf30581a70ed32698.png

答案:错/star3/origin/bb808117cd21ccbc9ff25d3c43271090.png

答案:错/star3/origin/bcc748e7eabd023d5bbb034521b310f5.png

答案:对/star3/origin/abebeaf7fd52fe24c703fbf9ea635498.png

答案:对/star3/origin/c3b399b749ef7201af4574306cc38162.png

答案:错/star3/origin/f24c7fa38de96ca50c851d2b7ed638cd.png

答案:错/star3/origin/50ea4edb2c0545dbef299f7a4316c4c8.png

答案:错/star3/origin/113a872879d9c7dc85b7b06b2f871476.png

答案:错/star3/origin/63a1801d79506759d11c1515f4247cc3.png

答案:错/star3/origin/0c68e74e907810724ab95d366cc5bb18.png

答案:对/star3/origin/c221db2b0a6715cd9c2bc72f4cd417b7.png

答案:2/star3/origin/b5edfa649d1e0a259ada2bba6c655b9a.png

答案:(-1，0，2)/star3/origin/22a5138ca2ed7fc0324d9abb145c1d36.png

答案:2/star3/origin/ef13c7eabe903255aced0338d734fe88.png

答案:n-1/star3/origin/0eb5e249ba0aee21fdd195c306fa85c5.png

答案:错/star3/origin/3b24965cee33e991e53cf5f801d2e40f.png

答案:错/star3/origin/0f1c0880ea5e6e7a4875ee41455644fb.png

答案:错实数域上的所有三阶对称矩阵构成的线性空间的维数为4。()。

答案:错实数域上的所有三阶对角矩阵构成的线性空间的维数为3。()。

答案:对/star3/origin/ef9f2f3b140ff7609c9bd1dab7f65976.png

答案:对/star3/origin/519a0c9b7815bb53f0d634657024d9f7.png

答案:错/star3/origin/d4b1a15eff767ab1dd1e5dc5578659a7.png

答案:错/star3/origin/022a554c91cc4c48cc9ea0830c7f5fa6.png

答案:错/star3/origin/75dd0e095ef9e94b6d6d087d269c829b.png

答案:错/star3/origin/deecf93d0bdcf556cc43b53ffd0fc2a1.png

答案:对/star3/origin/87161f5bc30ed1d25a399b480926336a.png

答案:对连续的实变量函数的全体，对于函数的加法和数乘构成实数域上的线性空间。()。

答案:对/star3/origin/b5a46e6e4a6ac6a0b826131f19149707.png

答案:错/star3/origin/b8edae20fccc48681f981a985f6ab953.png

答案:错实数域上的所有n阶对角矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间。()。

答案:对实数域上的所有n阶对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间。()。

答案:对/star3/origin/78215d8731736ddf3dcc0d42c58ef249.png

答案:对/star3/origin/2cff5547bdfbb77fa4493efa8def10c3.png

答案:对/star3/origin/75a4352017bbe594330000d5240d20e5.png

答案:错/star3/origin/f8d65b7f07552d6049ed79ca49edeb47.png

答案:错/star3/origin/40086aa125a4c3097ffd50088cefa018.png

答案:对/star3/origin/facdff0949f63c3cca3b6977ece8c762.png

答案:错/star3/origin/5baa478a234dc0d0d9b7d3da221810fe.png

答案:由于又/star3/origin/e8066b5f21efe0884badda8111e57970.png

答案:因为

,

,

,，则即为所求./star3/origin/caef091352c345a6e8a5f113b032ffd9.png

答案:①因为(,,)=(,,)，所以(,,)=(,,),

但已知(,,)=(,,)，故(,，)=(,,)=(,,)=(,,).

②因为(,,)=(,,)，

所以(,,)=(,,)

=(,,)因此,在,,下的矩阵为。/star3/origin/508651eff9ecfa11dea7b441bb480c20.png

答案:①，②

(2,5,-1)T/star3/origin/86453a28a7c179cea33bd7064279e530.png

答案:(1)计算得则,经计算可取为的一个极大无关组，则为的一组基，且

(2)令计算得该齐次线性方程组的一个基础解系为

计算，则，故为的一组基，且/star3/origin/6343a1f1221a6740dc0349c96dcb163c.png

答案:错/star3/origin/7c2bf92a32c619272dd3176cf55b5cf5.png

答案:对/star3/origin/d67e1a904398231d25e62ba0922e9ae2.png

答案:4和1下列集合关于指定运算可以构成数域P上的线性空间的是(

)

答案:元素属于数域P的矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘运算/star3/origin/ddb990f658dc2d7db403854ba5786a46.png

答案:3/star3/origin/a1a5cddd37b60623e86b71171ba9fd5f.png

答案:n-2/star3/origin/6d18d3439690f93e7c8819c835317b58.png

答案:0和3/star3/origin/bce7a1e55c8d004c77acd5c3392ab5be.png

答案:，则A的特征值为，令。则由，将代入并利用一阶导数建立方程组，解得则./star3/origin/45b34fc6dce0831a4cecd1805026b2ff.png

答案:①设的另一特征值为l，因为2是的二重特征值，所以的特征值为l，2，2，②对特征值2，对应的齐次线性方程组的系数矩阵为2E-A=，显然r(2E-A)=1,所以属于2的线性无关的特征向量有2个，则A有3个线性无关特征向量，可以相似对角化。设A、B均为n阶矩阵，且r(A)+r(B)答案:证明:由r(A)+r(B)/star3/origin/b35895f55c714b6c021fa935a3c3bc3e.png

答案:证明:(法一)是不同特征值的特征向量，所以线性无关，矩阵()可逆。，因为，则可逆又()可逆，则可逆，从而线性无关。(法二)用定义证明，请大家自己完成。/star3/origin/f243b15e93ca60917e96119b51c8d041.png

答案:设在给定基下的矩阵为A，因为==()()，

故A的特征值为。

当，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值1的全部特征向量为，其中。

当，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值-2的全部特征向量为，其中。

因为只有两个无关特征向量，因此不能对角化。/star3/origin/37fac112893e3cdbba9dbf0f97c48087.png

答案:对/star3/origin/556cea3e652a1490698ee07ba84ac216.png

答案:对/star3/origin/861473d0a4be6b172b514879a3d494c5.png

答案:错/star3/origin/55d0692b6d4c3a5579f49a2360f08803.png

答案:对设n阶方阵A的各列元素之和均为a，则A有一个特征值为a。()。

答案:对n阶矩阵A有n个不同的特征值是A可相似对角化的充分而非必要条件。()。

答案:对/star3/origin/570f18e4498ea5e008d7bbd8.png

答案:对设A为n阶方阵，已知矩阵E-A不可逆，那么矩阵A必有一个特征值为0。()。

答案:错/star3/origin/5965b134b993a85d3283b0d60cebc2bb.png

答案:错/ananas/latex/p/983

答案:对/star3/origin/4d26223bf0fb0530cbbc2c6246a16eb3.png

答案:错设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，齐次线性方程组AX=O的基础解系所含解向量的个数为(

)

答案:1设矩阵A是三阶方阵，l0是A的二重特征值，则下面各向量组中:

⑴(1，3，-2)T，(4，-1，3)T，(0，0，0)T;

⑵(1，1，1)T，(1，1，0)T，(0，0，1)T;

⑶(1，-1，2)T，(2，-2，4)T，(3，-3，6)T;

⑷

(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T;肯定不属于l0的特征向量的共有(

)

答案:2组设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是(

)

答案:λ-1|A|/star3/origin/604b464790ab4787d85e4b4e260a8b0d.png

答案:提示:(法一)往证两两正交，且长度为1。(法二)往证是正交矩阵。设a1,a2,…,an-1是n维向量空间Rn中的线性无关的列向量组，又知列向量β1，β2与a1,a2,…,an-1中的每个向量都正交。证明:向量组β1，β2线性相关。

答案:证法一:令A=(a1,a2,…,an-1)，因为a1,a2,…,an-1是Rn中的线性无关向量组，故r(A)=n-1.由于向量β1，β2与a1,a2,…,an-1中的每个向量都正交，所以,可知，β1，β2是含有n个未知量的齐次线性方程组的解。由于r(AT)=r(A)=n-1，所以，的基础解系只含1个向量，则r(β1，β2)£1,向量组β1，β2必然线性相关。证法二:令，由已知，又，则，即向量组β1，β2必线性相关。/star3/origin/2915389ea8d0f97e3be25a839d2f3350.png

答案:(答案不唯一)因秩(A)=2，故解空间的维数n-r(A)=4-2=2，又因线性无关，故是解空间的一组基，标准正交化后得一组标准正交基为:，。/star3/origin/4127cf9e65be56f25629392f068800e6.png

答案:答案不唯一，一组基是:;;;化为标准正交基为:，，。/star3/origin/1d9210222c00de1c889d17cccb3bc245.png

答案:解设所求直线方程为，将值代入得:

，，,,,最佳拟合直线方程为。/star3/origin/672aa7240c5bf5c0b2ce98891f01d309.png

答案:错/star3/origin/4ab5efff9f4e55a4e825a8d0f5074cc6.png

答案:对已知A是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，则A-E必为可逆矩阵。()。

答案:错/star3/origin/fe82257174dc7ddfdcd6524f1216e19a.png

答案:错/star3/origin/d6c0a14b03d2fd576d1f888c9fb442f3.png

答案:x=±1，/star3/origin/dad04d0007a1431a98ca11e15cd8d741.png

答案:若以下说法不正确的是(

)

答案:线性无关向量组必定正交设A是正交矩阵，则下列不是正交矩阵的是(

)

答案:kA,(k0,-1)设A是正交矩阵，则下列结论错误的是(

)

答案:A必有实特征值/star3/origin/3e5f6fb4acaff4cff0d28a0a8f94a237.png

答案:证明:对于任意的有，则等号成立当且仅当该齐次线性方程组系数行列式为由克莱姆法则，方程组仅有零解当且仅当，

则当时，对于任意不全为零的，有，即当时，二次型为正定二次型./star3/origin/f7c59955124293300612d122b46fdb07.png

答案:解该二次型的矩阵为，

A的特征值为1，3，3，所以|A|=12-3a2=9,又因为a>0，则a=1，对特征值1，对应的齐次线性方程组的系数矩阵为E-A=令，得属于1的线性无关的特征向量

对特征值3，对应的齐次线性方程组的系数矩阵为3E-A=令，得属于3的两个线性无关的特征向量显然，已经两两正交，将单位化得令=，则Q是正交矩阵，所求正交替换为X=QY。设A是m阶实对称矩阵且正定，B是m×n阶实矩阵.证明:矩阵BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.

答案:证明:必要性.因为BTAB为正定矩阵，所以n=r(BTAB)≤r(B)

≤n,有r(B)=n.充分性.首先，(BTAB)T=BTAB，BTAB为实对称矩阵.其次，对任意X≠O，因为r(B)=n，所以BX≠O，又因为A是正定矩阵，则XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)>0，得BTAB为正定矩阵./star3/origin/7d63a0b17a5fc07f899cfc8e7ee2de4e.png

答案:证明:显然是对称矩阵，任取n维非零向量X，

由r(A+B)=n，齐次线性方程组只有零解，但X为非零向量，则，则AX和BX不全为零向量，从而,因此，为正定矩阵./star3/origin/81b48cabb36bdf91c4922464fb6ad5ed.png

答案:①设，则，所以2是的特征值，是的属于特征值2的特征向量，2的重数至少是1;又都是的非零解，则有|A|=0，所以0是的特征值，且是的属于特征值0的特征向量;由于线性无关，特征值0的重数至少是2，

从而，的特征值为:2，0，0;属于2的特征向量为:;属于0的特征向量为:不全为零);

②将单位化，得:，

对进行正交化，然后单位化得，令，则是正交矩阵，并且。/star3/origin/00552fc61dbc140b3a654a395f2ad990.png

答案:对/star3/origin/ef74a08b8dee94fa3fa2f7e645cb8614.png

答案:错/star3/origin/7f2fbbba48d4434da99b9c70a8f0978c.png

答案:错/star3/origin/42837178b7413684bafc9924733e166d.png

答案:对经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型矩阵相似。()。

答案:错/star3/origin/3de5ec2442281b61da658322be08016f.png

答案:对/star3/origin/d8b3f950fe8982ed1394e5c85960e638.png

答案:错与实对称矩阵A合同的对角阵必是A的全部特征值构成的对角阵。()。

答案:错设n阶实矩阵A有n个两两正交的特征向量，则A是实对称矩阵。()。

答案:对/star3/origin/9bfc5a5c1e3cb2dac237ddb5e22214b0.png

答案:对/star3/origin/b1db29b3758f946b5ebb6f3652c4d3a9.png

答案:合同，但不相似设A为实对称矩阵，则下列成立的是(

)

答案:如A-1存在且正定，则A正定/star3/origin/a5478f602b60fd8e3e96765b9e960899.png

答案:错/star3/origin/79ef8086a06d7d2d3d90cd566d402f64.png

答案:错/star3/origin/410e6e80468008186a75509b1ee5b3ca.png

答案:错/star3/origin/99c37495221d89c4a97b501597f189c5.png

答案:错/star3/origin/adcebd269313ab2468a0