山东省青岛平度市2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

山东省青岛平度市2025届高二数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜13．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件5．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.6．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（）A. B.C. D.7．如图所示，已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（）A B.C. D.8．已知，，，若、、三个向量共面，则实数A3 B.5C.7 D.99．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.610．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（）A. B.C. D.11．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（）A. B.C. D.12．在正项等比数列中，，，则（）A27 B.64C.81 D.256二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.14．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.15．函数在区间上的最小值为__________.16．设抛物线的准线方程为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值18．（12分）在①，；②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题问题：设等差数列的前项和为，________________，若，判断是否存在最大值，若存在，求出取最大值时的值；若不存在，说明理由注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答记分19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.20．（12分）命题p：关于x的不等式对一切恒成立；命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围21．（12分）设：，：.（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.22．（10分）在中，（1）求的大小；（2）若，．求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时,同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;2、A【解析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故选A【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误3、C【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；当椭圆的焦点在轴上时，，得故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选：C.4、A【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得或，所以条件是条件q：或的充分不必要条件.故选：A5、C【解析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C6、B【解析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，由对称性可知，点线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为故选：B7、D【解析】由题设可得，直线的方程为，点线距离公式表示到直线的距离，又联立解得即可得出答案.【详解】且，则△是等边三角形，设，则①，∴直线方程为，即，∴到直线的距离为②，又③，联立①②③，解得，，故椭圆方程为.故选：D.8、A【解析】由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数【详解】解：，，，、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数故选：【点睛】本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题9、A【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.10、C【解析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，，，，故选：C11、C【解析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围.【详解】圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.故选：C12、C【解析】根据等比数列的通项公式求出公比，进而求得答案.【详解】设的公比为，则（负值舍去），所以.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.因为，所以因为点P在圆上，故所以，故的最小值为.故答案为：，14、2【解析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.【详解】设，则，即，于是得，而，则当时，，所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.故答案为：215、【解析】先对函数求导判断其单调性，然后利用单调性求函数的最小值【详解】解：由，得，当且仅当时取等号，即取等号，因为，所以函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值0，故答案为：016、【解析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故答案为【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线方法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（2）由余弦定理与面积公式，结合基本不等式求解【小问1详解】由己知可得，由，解得：，故的单调递减区间是【小问2详解】，，故，得，由余弦定理得：，得，当且仅当时等号成立，故，面积最大值为18、答案不唯一，具体见解析【解析】选①：易得，法一：令求n，即可为何值时取最大值；法二：写出，利用等差数列前n项和的函数性质判断为何值时有最大值；选②：由数列前n项和及等差数列下标和的性质易得、即可确定有最大值时值；选③：由等差数列前n项和公式易得、即可确定有最大值时值；【详解】选①：设数列的公差为，，，解得，即，法一：当时，有，得，∴当时，；，；时，，∴或时，取最大值法二：，对称轴，∴或时，取最大值选②：由，得，由等差中项的性质有，即，由，得，∴，故，∴当时，，时，，故时，取最大值选③：由，得，可得，由，得，可得，∴，故，∴当时，，时，，故时，取最大值【点睛】关键点点睛：根据所选的条件，结合等差数列前n项和公式的性质、下标和相等的性质等确定数列中项的正负性，找到界点n值即可.19、（1）；（2）或.【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为∵过点，解得∴所求圆的方程为（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为故由点到直线的距离公式得：解得，所以直线l的方程为综上所述，则直线l的方程为或【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.20、【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣2＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥2∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题21、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围.【小