安顺市重点中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

安顺市重点中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线2．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）A. B.C. D.3．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为A.3 B.4C.7 D.94．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）A. B.C. D.5．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.36．在公比为的等比数列中，前项和，则（）A.1 B.2C.3 D.47．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）A. B.C. D.8．已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.9．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（）A. B.C. D.010．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.11．已知三角形三个顶点为、、，则边上的高所在直线的方程为（）A. B.C. D.12．若圆与圆外切，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，且，则的值是_________.14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为___________.15．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为________16．已知，动点满足，则点的轨迹方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3（1）求：甲组数据的平均值、方差、中位数；（2）乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤.参考公式：平均值，方差18．（12分）已知等比数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若，设（），记数列的前n项和为，求.19．（12分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和.20．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、.规划要求，线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.21．（12分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形（1）求抛物线的方程；（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.22．（10分）已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.故选：D2、B【解析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B3、A【解析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项4、B【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.【详解】解：由题得,,故选：B5、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.6、C【解析】先利用和的关系求出和，再求其公比.【详解】由，得，，所以，，则.故选：C.7、D【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.【详解】三角形有两个解，，即.故选：D.8、A【解析】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求.【详解】由点在椭圆上得，由椭圆的对称性可得，则，故椭圆方程为.故选：A.9、C【解析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.【详解】由题意，空间中四点，，，，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，所以点D到平面ABC的距离为.故选：C.10、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C11、A【解析】求出直线的斜率，可求得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，因此，边上的高所在直线的方程为.故选：A.12、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据空间向量可得，结合计算即可.【详解】由题意知，，所以，解得.故答案：314、2【解析】根据体积公式直接计算即可.【详解】设正方体边长为，则，解得.故答案为：15、8【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点A，B的横坐标和即可计算作答.【详解】抛物线C：焦点，准线方程为，依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得，所以线段AB的长为8.故答案为：816、【解析】表示出、，根据题意，列出等式，化简整理即可得答案.【详解】，由题意得，所以整理可得，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，；（2），.【解析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M.（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差.【小问1详解】，∴，由茎叶图知：数据从小到大排列为∴.【小问2详解】由题意，，又，因此.18、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），运用错位相减法可求得数列的和【详解】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由，可得，记为①又因为，可得，即记为②，由①②可得或，故的通项公式为或（Ⅱ）由（Ⅰ）及可知，所以（），所以③④③－④得，所以【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.19、（1）（2）所有项的系数和为，二项式系数和为【解析】(1)写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展开项系数之和，二项式系数之和为2m.【小问1详解】展开式的通项为：，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，∴，即.【小问2详解】令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.20、（1）15（百米）（2）点选在处不满足规划要求，理由见解析【解析】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.【小问1详解】如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.因为，，所以，故直线的方程为，则点，的纵坐标分别为3，从而，，直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.令，得，，所以.因此道路的长为15（百米）.【小问2详解】若点选在处，连结，可求出点，又，所以线段.由解得或，故不妨取，得到在线段上的点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.因此点选在处不满足规划要求.21、（1）（2）【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.【小问1详解】解：由题意知：，由抛物线的定义知：，由，解得，所以抛物线方程为；【小问2详解】设，由，得，则，，则，，因为向量的夹角为，所以，，则，且，所以，解得，所以实数的取值范围.22、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆定义求得椭圆的即可解决；（2）经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况，分别去求弦，再去求其取值范围即可.【小问1详解】由题意得.记左焦点为，，则，，