湖北省宜昌县域高中协同发展共同体2025届数学高二上期末调研试题含解析

湖北省宜昌县域高中协同发展共同体2025届数学高二上期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A.2 B.3C.4 D.54．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．在矩形中，，在该矩形内任取一点M，则事件“”发生的概率为（）A. B.C. D.6．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A. B.C. D.7．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞8．设，则“”是“直线与直线”平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件9．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（）A.（） B.（）C.（） D.（）10．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.11．双曲线的虚轴长为（）A. B.C.3 D.612．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为___________.14．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A、B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.15．已知曲线与曲线有相同的切线，则________16．关于曲线，则以下结论正确的个数有______个①曲线C关于原点对称；②曲线C中，；③曲线C是不封闭图形，且它与圆无公共点；④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中国男子篮球职业联赛（ChineseBasketballAssociation），简称中职篮（CBA），由中国国家体育总局篮球运动管理中心举办的男子职业篮球赛事，旨在全面提高中国篮球运动水平，其中诞生了姚明、王治郅、易建联、朱芳雨等球星．该比赛分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，某年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8球队进入季后赛．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段30152010第二阶段30152515（1）根据表中数据，完成下面列联表：A队胜A队负合计主场5客场20合计60（2）根据（1）中列联表，判断是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？附：．0.1000.0500.025k2.7063.8415.02418．（12分）如图，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且（1）求证：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值19．（12分）已知函数（1）若在点处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求证：；（3）若函数有两个零点，求的取值范围20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为，M是椭圆上一点．轴且（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于E，H两点，点G在椭圆C上，且四边形平行四边形（其中O为坐标原点），求21．（12分）已知函数（1）求单调增区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知集合，设（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.2、A【解析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断.【详解】由,得,即或所以,反之,则不然所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选:A3、C【解析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，不妨设则，解之得代入，可得整理得，即，也就是故选：C4、B【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为，知，则，即有，故，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选：B.5、D【解析】利用几何概型的概率公式，转化为面积比直接求解.【详解】以AB为直径作圆，当点M在圆外时，.所以事件“”发生的概率为.故选：D6、D【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定，故选：D.7、A【解析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断、及、的大小.【详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则＞，又甲成绩的分布比乙均匀，故＜.故选：A.8、D【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；反之，两直线平行时，，解得或，由上知时，两直线不平行，时，两直线方程分别为，，平行，因此，本题中也不是必要条件故选：D9、A【解析】根据题意，求得的外心，再根据外心的性质，以及重心的坐标，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为，故的斜率，又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为，即，故△的外心坐标即为与的交点，即，不妨设点，则，即；又△的重心的坐标为，其满足，即，也即，将其代入，可得，，解得或，对应或，即或，因为与点重合，故舍去.故点的坐标为.故选：A.10、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.11、D【解析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.12、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】根据平均变化率的定义即可计算.【详解】设，因，，所以.故答案为：314、5【解析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果详解】解：抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，，，，的中点为，，则，，两式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，故答案为：515、0【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.【详解】设切点分别为，由题意可得，则，即因为，，所以，即，解得，所以，则，解得故答案为：016、2【解析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】①将方程中的分别换为，方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；②因为，解得或，故，同理可得：，故错误；③根据②可知，该曲线不是封闭图形；联立与，可得：，将其视作关于的一元二次方程，故，所以方程无根，故曲线与没有交点；综上所述，③正确；④假设曲线C与曲线有4个交点且交点构成正方形，根据对称性，第一象限的交点必在上，联立与可得：，故交点为，而此点坐标不满足，所以这样的正方形不存在，故错误；综上所述，正确的是①③.故答案为：.【点睛】本题考察曲线与方程中利用曲线方程研究曲线性质，处理问题的关键是把握由曲线方程如何研究对称性以及范围问题，属困难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）填表见解析（2）没有【解析】（1）由A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表可得答案；（2）根据（1）中的列联表，代入可得答案.【小问1详解】（1）根据表格信息得到列联表：A队胜A队负合计主场25530客场201030合计451560【小问2详解】所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.18、（1）证明见解析（2）【解析】建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而计算出相关向量的坐标；（1）计算向量的数量积，，根据数量积结果为零，证明线线垂直，进而证明线面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因为，则以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，则，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小问2详解】解：由（1）可知平面PAC，可作为平面PAC的法向量，设平面PCD的法向量，因为，所以，即，不妨设，得，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为19、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由可求得实数的值；（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.【小问1详解】解：因为的定义域为，.由题意可得，解得.【小问2详解】证明：当时，，该函数的定义域为，，令，其中，则，故函数在上递减，因为，，所以，存在，使得，则，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，，所以，当时，.【小问3详解】解：函数的定义域为，.令，其中，则，所以，函数单调递减，因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且，即，所以，，令，其中，则，故函数在上单调递增，又因为，由，可得，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质即可求出；（2）设，联立与椭圆方程，求出，再根据平行四边形的性质求出点的坐标，然后由点G在椭圆C上，可求出，从而可得【小问1详解】∵椭圆C的右顶点为，∴，∵轴，且，∴，∴，所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】设，将直线代入，消去y并整理得，由，得．（*）由根与系数的关系可得，∴，∵四边形为平行四边形，∴，得，将G点坐标代人椭圆C的方程得，满足（*）式∴21、（1）单调增区间为；（2）.【解析】（1）求导由求解.（2）将时，恒成立，转化为时，恒成立，令用导数法由求解即可.【详解】（1）因为函数所以令，解得，所以单调增区间为.（2）因为时，恒成立，所以时，恒成立，令则令因为时，恒成立，所以在单调递减.当时，在单调递减，故符合要求；当时，单调递减，故存在使得则当时单调递增，不符合要求；当时，单调递减，故存在使得则当时单调递增，不符合要求.综上.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区