2025届福建省建瓯市第二中学高二数学第一学期期末统考试题含解析

2025届福建省建瓯市第二中学高二数学第一学期期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，则输出的A. B.C. D.2．已知数列满足，在任意相邻两项与(k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）A.162 B.163C.164 D.1653．已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知等比数列的前n项和为，且，则（）A.20 B.30C.40 D.505．已知，设函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.6．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺7．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.8．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（）A.4 B.5C.6 D.79．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.10．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.6411．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.12．已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.14．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________15．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.16．记为等差数列{}的前n项和，若，，则=_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在数列中，，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.18．（12分）已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.19．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明20．（12分）已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点（1）当时，求线段的长；（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求的值21．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.22．（10分）已知函数（1）求函数单调区间；（2）函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.【详解】，，，；，【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.2、C【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故故选：C3、A【解析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解：因为的定义域是，所以，当时，，在上为增函数.所以在上为增函数，是充分条件；反之，在上为增函数或，不是必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题.4、B【解析】利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则，由得，即，解得或（舍），且代入①得，则，所以.故选：B.5、D【解析】由题设易知上恒成立，而在上，讨论、，结合导数研究的最值，由不等式恒成立求的取值范围.【详解】由时，在上；由时，在上递减，值域为；令且，则，当时，，即递增，值域为，满足题设；当时，在上，即递减，在上，即递增，此时值域为；当，即时存在，而在中，此时，不合题设；所以，此时要使的不等式恒成立，只需，即，可得；综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为.故选：D【点睛】关键点点睛：由题设易知上，只需在上恒有即可.6、A【解析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.【详解】由题女子织布数成等差数列，设第日织布为，有，所以，故选:A.7、A【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.8、C【解析】利用赋值法确定展开式中各项系数的和以及二项式系数的和，利用比值为，列出关于的方程，解方程.【详解】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，.故选：C.9、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A10、B【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.11、C【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以C正确，同理，由图可知，故D不正确.故选：C12、A【解析】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，数形结合即可求解.【详解】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，因为当时，，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，当时，单调递减，由图像可知：所以要使函数有三个零点，则.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，过点作，垂足为，则，所以的周长为，当且仅当三点共线时等号成立.故答案为：.14、①.②.点或点（填出其中一组即可）【解析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直.【详解】（1）令，，，则，则有，故（2）令，，，则，则有，故故，即又由（1）之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为：0;点或点15、2【解析】题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.【详解】解：因为，又，所以，，则.故答案为：2.【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.16、18【解析】根据等差数列通项和前n项和公式即可得到结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以故答案为：18三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】由题意可知，，所以数列是公差的等差数列又，所以，故小问2详解】，则故18、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以【小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为=19、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时，，即不等式成立.【小问1详解】解：函数的定义域为，，∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以.所以时，，所以当时，20、（1）（2）【解析】（1）联立直线方程和双曲线方程，利用弦长公式可求弦长.（2）根据圆过原点可得，设，从而，联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得所求的参数的值.【小问1详解】当时，直线，设，由可得，此时，故.【小问2详解】设，因为以为直径的圆经过坐标原点，故，故，由可得，故且，故.而可化为即，因为，所以，解得，结合其范围可得.21、（1）（2）；或【解析】（1）由题意得到数列为公差为的等差数列，结合，，成等比数列，列出方程求得，即可得到数列的通项公式；（2）由，得到时，，当时，，当时，，结合等差数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列满足，所以数列为公差为的等差数列，又由，，成等比数列，可得，即，解得，所以数列的通项公式.【小问2详解】解：由数列的通项公式，令，即，解得，所以当时，；当时，；当时，，所以当或时，取得最小值