2023年北京市重点校初三（上）期末数学试题汇编：圆章节综合

第1页/共1页2023北京重点校初三（上）期末数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且，则的半径为（

）A． B．5 C． D．2．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（

）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（

）A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（

）A． B． C． D．二、解答题6．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.7．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A在上．求作：的切线．作法：①作射线；②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；④作直线．则直线即为所求作的的切线.根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明.证明：连接，．由作图可知，，．∴．∵点A在上，∴直线是的切线()(填写推理依据)．8．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点．(1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；(2)若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；(3)已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合．若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围．9．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．(1)求证：直线是的切线；(2)若°，，求DF的长．10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，的三个顶点在上，的半径为5，，求弦的长．11．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．12．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，．(1)求证：；(2)若，求阴影部分面积．13．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．14．（2023·北京海淀·九年级期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．15．（2023·北京海淀·九年级期末）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？16．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．17．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：如图，是的切线，为切点．求作：的另一条切线，为切点．作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；作直线．直线即为所求．(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面证明过程．证明：连接，，．∵是的切线，为切点，∴．∴．在与中，∴．∴．∴于点．∵是的半径，∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．18．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．(1)已知，，①在点，，中，线段的融合点是______；②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；(2)已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．19．（2023·北京海淀·九年级期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）已知：和外一点P．求作：过点P的的切线，PB．20．（2023·北京海淀·九年级期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．21．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若的半径为4，求的长．22．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：及外一点．求作：直线和直线，使切于点，切于点．作法：如图，①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点；③作直线和直线．所以直线和就是所求作的直线．根据小乐设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵是的直径，∴________（________）（填推理的依据）．∴，．∵，是的半径，∴，是的切线．三、填空题23．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______米．（）24．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．25．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形的内接圆，再作较小圆的内接正方形（如图2）；（3）作正方形的内接圆，再作其内接正方形（如图3）；…；依次作下去，则正方形的边长是______．26．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；

②的长为；③平分；

④连接，，则与的面积比为．所有正确结论的序号是______．27．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，是的内接三角形，于点，若的半径为，，则______．28．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，已知内接于，是的直径，平分，交于点，若，则的长为___________．29．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为______．30．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若圆内接正方形的边心距为8，则这个圆的半径为___________．

参考答案1．B【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解．【详解】连接,在中，是直径，，在中，，，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含直角三角形的性质是解题的关键．2．B【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC、OD，分别与相切于点C，D，∴，，∴，的长，故选：B【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．3．A【分析】设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论．【详解】解：设正方形的边长为，则，，，点在外，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．4．B【分析】利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，∴，∵、是的切线，切点是D，交，于点，，∴，，∵的周长为4，即，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．5．C【分析】连接，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵是等边三角形，∴，即，∴．∴该角度可以为．故选：C【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键．6．.【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：如图，连接．∵是的直径，弦于点E，∴．又∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．7．(1)见解析；(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【详解】（1）补全图形如图所示，（2）证明：连接，．由作图可知，，．∴，∵点A在上，∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．8．(1)(2)(3)，，【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，可证得，从而得到，即可求解；（2）根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，坐标为m，表达点的坐标，可得出结论；（3）由（2）可知，点的坐标，由A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合可得出点的坐标，由线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出的取值范围．【详解】（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，∴由旋转可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵点和关于直线对称，∴点，即点A关于点P的二次关联图形的坐标为；故答案为：（2）解：根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，如图，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，由（1）得：，∴，∴，根据题意得：点A和点关于直线对称，∴，解得：，∴点P的坐标为，（3）解：设点P的纵坐标为n，由（2）得：，∴，∵在上，∴，解得：（舍去）或，∴点P的坐标为，∵，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，此时点是一个临界点，连接，如图，∵，∴是等边三角形，过点作轴于点M，则，∴，∴，∴，∴，由对称性得：另一个点的坐标为，∴的取值范围为．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．9．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明可得结论；（2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得；【详解】（1）证明：连接．∵是的直径，平分，∴.又∵，∴．即．∴直线为的切线．（2）解：∵是的直径，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，设则，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．10．弦的长为5【分析】连接并延长交于，根据圆周角定理得到，，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：连接并延长交于，连接，则，，的半径为5，，，，故弦的长为．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．11．(1)拱桥所在的圆的半径(2)不需要采取紧急措施，理由见解析【分析】（1）连接，作的垂直平分线，延长与的垂直平分线相交于点O，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，由垂径定理可知，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；（2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论．【详解】（1）如图，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，设半径为，则，由垂径定理可知，∵，∴，在中，，由勾股定理可得，，即，解得，∴拱桥所在的圆的半径；（2）∵，∴在中，由勾股定理可得，，∴，∴不需要采取紧急措施．【点睛】本题考查了作图—垂直平分线、垂径定理和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．12．(1)见解析(2)【分析】（1）由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等”得，又由“同角的余角相等”可得，因此，所以．（2）连接，作于．先证是等边三角形，，由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等”可得，则，因此是等边三角形．再证出，求出的长，再求出的面积和扇形的面积，相加即可得阴影部分的面积．【详解】（1）证明：∵A点平分弧弧=弧，．∵是⊙O的直径，．，．（2）解：连接，作于H．又是等边三角形，．∵弧=弧，．．又．是等边三角形，【点睛】本题主要考查了圆的相关性质：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于，以及圆中求阴影部分的面积．熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．13．(1)见解析；(2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．【详解】（1）解：补全图形，如图所示；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．【分析】连接，根据垂径定理求得，又由，即可由勾股定理求解．【详解】解：如图，连接．∵过圆心，，，∴．∵，∴．∵，∴．解得．∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．15．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是11m(2)8分钟【分析】（1）设4分钟后小明到达点，过点作

于点，先算出的度数，再根据三角函数计算出的长度，即可算出的长度.（2）假设距离地面31米，先算出长度，再根据三角函数值算出的度数，进而可知的度数，即可算出小明将连续保持在离地面31m以上的空中的时间.【详解】（1）解：设4分钟后小明到达点，过点作于点，即为小明离地的高度，∵∴(m)．答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；（2）解：∵当旋转到处时，作弦交的延长线于点，连接，此时离地面高度为．当时，，∵每分钟旋转的角度为：，

∴由点旋转到所用的时间为：（分钟）．答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.16．【分析】连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：如图，连接．∵，∴．∵，∴．∵为直径，∴．∴．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．17．(1)见解析(2)，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照作法作出图形即可；（2）连接，，，证明即可证明是的切线．【详解】（1）补全图形，如图所示：（2）连接，，．∵是的切线，A为切点，∴．∴．在与中，∴．∴．∴于点．∵是的半径，∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．18．(1)①，；②当时，直线上存在线段的融合点(2)或【分析】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域，则当直线与两圆相切时是临界点，据此求解即可；（2）先推理出的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与内切，外切时a的值即可得到答案．【详解】（1）解：①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点，故答案为；，；②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，∵点Q在线段的垂直平分线上，∴，∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．∵，，∴,∴或．∴当时，直线上存在线段的融合点．（2）解：如图3-1所示，假设线段位置确定，由轴对称的性质可知，∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动，∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；当时，如图3-2所示，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，∴，∴，∴，∴（负值舍去）；如图3-3所示，当以为圆心，为半径的圆与内切时，∴，∴，∴，∴（负值舍去）；∴时，存在直线，使得上有的融合点；同理当时，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；当以为圆心，为半径的圆与内切时，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；∴时，存在直线，使得上有的融合点；综上所述，当或时存在直线，使得上有的融合点．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等等，正确推理出对应线段的融合点的轨迹是解题的关键．19．见解析【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；【详解】作图如图，直线、即为所作的的切线．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．0.8m【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．【详解】解：如图，作于点，连接，∵，，∵，∴，在中，根据勾股定理，得，∴，∴水的最大深度为0.8m．【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．21．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，点为的中点，∴，∵∴是等边三角形，∴∴∴，∵∴，∴是的切线；（2）如图，过点作于点，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即的长为2．【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．22．(1)见解析(2)，直径所对的圆周角为直角【分析】（1）根据题意，画出图形即可；（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．【详解】（1）解：补全图形如图：（2）证明：∵是的直径，∴（直径所对的圆周角为直角）．∴，．∵，是的半径，∴，是的切线．故答案为：，直径所对的圆周角为直角【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．【分析】由题意可知于D，交圆弧于C，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果．【详解】解：如图，由题意可知，，，（米），，（米）（米）（米）（米）弧田面积（平方米）故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．24．20°/20度【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°，∴∠ADC=∠AOB=20°，∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．25．【分析】观察图形，先根据圆内接正方形的性质求得前几个正方形的边长，进而