2024八年级数学上册提练第14招分类讨论思想在等腰三角形中的应用类型习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第14招分类讨论思想在等腰三角形中的应用类型01教你一招02典例剖析03分类训练目

录CONTENTS分类讨论思想是解题中经常用到的一种思想，在等腰三

角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要

分类讨论.通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清

晰、完整、严密的解答.其解题策略为先分类，再画图，后

计算.

等腰三角形

ABC

的底边

BC

长为5

cm，一腰上的中线

BD

把其分为周长差为3

cm的两部分，求腰长.

当满足条件的图形不确定时，分类是解决问题的首

选方法，本例由于题目中没有指明是“(

AB

＋

AD

＋

BD

)－

(

BC

＋

CD

＋

BD

)”为3

cm，还是“(

BC

＋

CD

＋

BD

)－(

AB

＋

AD

＋

BD

)”为3

cm，因此必须分两种情况讨论.解：∵

BD

为

AC

边上的中线，∴

AD

＝

CD

.

(1)当(

AB

＋

AD

＋

BD

)－(

BC

＋

CD

＋

BD

)＝3

cm时，

AB

－

BC

＝3

cm.∵

BC

＝5

cm，∴

AB

＝5＋3＝8(cm).(2)当(

BC

＋

CD

＋

BD

)－(

AB

＋

AD

＋

BD

)＝3

cm时，

BC

－

AB

＝3

cm.∵

BC

＝5

cm，∴

AB

＝5－3＝2(cm).当

AB

＝2

cm时，三边长分别为2

cm，2

cm，5

cm，∵2＋2＜5，不能构成三角形，∴舍去.故腰长为8

cm.

当顶角和底角不确定时分类讨论

A.45°B.75°C.45°或75°D.60°或75°12345678①如图①，当∠

BAC

是顶角时，易求出∠

B

＝45°；②如图②，当∠

BAC

是底角时，易求出∠

CAB

＝

75°.【点拨】根据题意画出图形，分两种情况讨论：【答案】C123456782.

[2024·亳州期末]如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

30°，在一腰所在直线上找一点

P

(点

P

与点

A

、点

B

、

点

C

均不重合)，使△

BCP

成为等腰三角形，则∠

BPC

＝

⁠.75°或52.5°或37.5°

12345678【点拨】∵

AB

＝

AC

，∠

A

＝30°，∴△

ABC

为等腰三

角形，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－30°)÷2＝75°.∵△

BCP

为等腰三角形，∴点

P

有以下三种情况，如图.当点

P

在线段

AB

上时，①当

CB

＝

CP1时，∠

BP1

C

＝∠

B

＝75°；12345678②当

BC

＝

BP2时，∠

BP2

C

＝(180°－75°)÷2＝

52.5°.

综上，∠

BPC

的度数为75°或52.5°或37.5°.12345678

当底和腰不确定时分类讨论3.

定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三

角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形

ABC

是“倍长三

角形”，底边

BC

的长为3，则腰

AB

的长为

⁠.6

12345678若

AB

＝2

BC

＝6，则△

ABC

的三边长分别是6，6，

3，符合题意，∴

AB

的长为6.若

BC

＝3＝2

AB

，则

AB

＝1.5.则△

ABC

的三边长分别是1.5，1.5，3，此时不能构

成三角形，这种情况不存在.综上，腰

AB

的长为6.【点拨】∵等腰三角形

ABC

是“倍长三角形”，∴

AB

＝2

BC

或

BC

＝2

AB

.

123456784.

(1)已知等腰三角形的一边长为10

cm，周长为28

cm，求

其余两边的长；【解】分两种情况：①若底边长为10

cm，则腰长为(28－10)÷2＝9(cm)，

能构成三角形，此时，其余两边的长为9

cm，9

cm；②若腰长为10

cm，则底边长为28－10－10＝8(cm)，

能构成三角形，此时，其余两边的长为10

cm，8

cm.综上所述，其余两边的长为9

cm，9

cm或10

cm，8

cm.12345678(2)已知等腰三角形的一边长为8

cm，一边长为9

cm，求

它的周长；【解】分两种情况：①或若腰长为8

cm，则底边长为9

cm，能构成三角

形，所以它的周长为8＋8＋9＝25

(cm)；②若腰长为9

cm，则底边长为8

cm，能构成三角形，所以它的周长为9＋9＋8＝26

(cm).综上所述，它的周长为25

cm或26

cm.12345678(3)已知等腰三角形的一边长为6

cm，一边长为13

cm，求

它的周长.【解】它的周长为32

cm.【点方法】已知等腰三角形一边长及周长，求另两边长或已

知两边长求周长时，需要对已知边长进行分类讨论.12345678

当高的位置不确定时分类讨论5.

一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，求这

个等腰三角形的底角的度数.【解】如图①，当高

BD

在等腰三角形

ABC

内部时，由题

意可知∠

ABD

＝50°，∠

ADB

＝90°，则∠

A

＝40°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝70°.12345678如图②，当高

BD

在等腰三角形

ABC

外部时，由题意可

知，∠

ABD

＝50°，∠

ADB

＝90°，则∠

DAB

＝40°，∴∠

BAC

＝140°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝20°.综上，这个等腰三角形的底角的度数是70°或20°.12345678

当腰的垂直平分线状况不确定时分类讨论6.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

的垂直平分线交

AB

于点

D

，交直线

AC

于点

E

.

若∠

EBC

＝42°，求∠

BAC

的度数.12345678

【解】分三种情况：12345678解得∠

BAC

＝32°.

12345678

当腰上的中线状况不确定时分类讨论7.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，周长为27

cm，且

AC

边上的中

线

BD

把△

ABC

分成周长差为3

cm的两个三角形.求△

ABC

各边的长.【解】设

AB

＝

AC

＝

x

cm，

BC

＝

y

cm.∵

AB

＋

AC

＋

BC

＝27

cm，∴2

x

＋

y

＝27.∵

BD

是

AC

边上的中线，∴

AD

＝

CD

.

当

C△

ABD

－

C△

CBD

＝3

cm时，

x

－

y

＝3，12345678

12345678

当点的位置不确定时分类讨论8.

已知

O

为等边三角形

ABD

的边

BD

的中点，

AB

＝4，

E

，

F

分别为射线

AB

，

DA

上的动点，且∠

EOF

＝

120°.若

AF

＝1，求

BE

的长.12345678①当点

F

在线段

DA

的延长线上时，如图①.∵△

ABD

为等边三角形，∴∠

BAD

＝∠

ABD

＝∠

D

＝60°，

AB

＝

BD

＝

AD

＝4.∵

OM

∥

AB

，【解】作

OM

∥

AB

交

AD

于点

M

，分两种情况讨论：∴∠

DMO

＝∠

BAD

＝60°，∠

DOM

＝∠

DBA

＝60°.∴∠

DMO

＝∠

DOM

＝∠

D

＝60°.12345678∴△

DMO

为等边三角形.∴

DM

＝

DO

＝

MO

.

∴

OB

＝

OM

＝

MA

＝2.∵∠

DOM

＝60°，∴∠

MOB

＝120°＝∠

EOF

.

∴∠

MOF

＝∠

BOE

.

∵∠

DMO