【不等式证明的若干方法探究（论文）5800字】

不等式证明的若干方法研究目录TOC\o"1-3"\h\u16225摘要 摘要在数学中，证明不等式的方法有很多种，本文主要围绕“不等式的若干证明方法”展开讨论。在初等数学中通常利用比较法、反证法、综合法、分析法、换元法、判别式法、数学归纳法等方法证明不等式。在高等数学中又通常利用定积分性质、函数的性质和中值定理法证明不等式。我们还会利用一些著名不等式：柯西不等式、均值不等式、施瓦兹不等式来证明不等式。通过对这些证明方法的学习和探讨，有利于促进学生数学逻辑思维能力、推理论证能力以及问题解决能力的培养。关键词不等式；函数；著名不等式第一章引言1.1不等式的发展历程1631年，英国著名的代数学家哈里奥特在其出版的数学著作中，首先创用了“＞”（大于号）及“＜”（小于号），但未被采用；同时期的英国数学家奥特雷德也发明了以“＞”表示大于，以“＜”表示小于的符号，这种符号，至十八世纪仍被采用REF_Ref25304\r\h[1]。有关不等式的研究最早出现在东欧国家。Hardy，Littlewood和Plya于1934年出版的著作《Inequality》将不等式从零散的公式归纳整理成了一门系统的学科REF_Ref24386\r\h[2]。1970年，密特利诺维奇出版的《解析不等式》将不等式的方法和议题扩大，在第三部分收集的459个特殊不等式是不等式课题的宝贵来源，其中许多不等式可作为更一般性理论的出发点REF_Ref24357\r\h[3]。2001年7月9日至14日，在罗马尼亚UniversityoftheWest举办的不等式国际会议INEQUALITIES，让各国交流了关于不等式的研究成果，促进了不等式理论水平的完善REF_Ref8382\r\h[4]。在我国也存在很多对不等式理论感兴趣的数学工作者。上个世纪80年代杨路教授在几何不等式方面开展了一系列开创性的研究工作，在不等式的自动推理及其在高科技领域的应用方面取得了巨大成果，将我国几何不等式的研究推向了一个高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授出版的《建立不等式的方法》是我国第一部系统的论述古现代不等式的建立及其证明方法的著作，此书中介绍了众多方法，其中有很多凸显了我国的特色，如机械化、降维等，直到现在世界上也没有一部文献介绍了那么多种方法且尽人如意的专著REF_Ref25477\r\h[5]。对于解析不等式，胡克教授于1981年在《中国科学》上发表的论文《一个不等式及其若干应用》，针对Holder不等式的缺陷，他提出一个新的不等式，被美国数学评论称为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克(HK)不等式，胡克教授对这个不等式及其应用进行了系统而深入的研究REF_Ref24990\r\h[9]。1.2研究不等式的目的和意义在数学的学习中，将数学问题整理为一套系统，可以让学生在解题时有清晰的思路。将初等数学和高等数学中不等式的证明方法及一些著名的不等式证明方法进行归纳与整理，找出规律，以此来证明出不等式，并发现证明不等式方法的应用。所以不等式既能帮助学生掌握解题规律、加深思维深度，还能帮助学生解决现实问题。由此可见，研究初等数学和高等数学中不等式的证明的应用，能够帮助学生更好地掌握不等式证明方面的知识，提高学生学习不等式的兴趣，同时能拓大导数的应用范围，对掌握数学不等式的应用有很大帮助。第二章初等数学中不等式的证明方法初等数学中，不等式的证明是非常重要的内容。在初等数学中使用较多的不等式的证明方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、放缩法、数学归纳法等。2.1比较法比较法分为作差比较法、作商比较法。比较法是不等式证明方法中最基本、最重要的方法之一。作差比较法：由的符号来判断两个实数a和b的大小，如果，则说明；如果，则说明。步骤为：作差—变形—判断。通常用因式分解、配方、通分、公式、应用已知定理等方法来变形，判断时注意结果是正号、负号还是零REF_Ref24223\r\h[13]。例1：已知a，b为非负数，求证证明：因为a，b≥0，所以作商比较法判断大小的依据：当a，b均为正数时，如果，则；如果，则。步骤为：作商—变形—判断。判断时注意结果是大于1还是小于1。例2：a>0，b>0，求证：证明：由a>0，b>0知，所以当遇到判断两个式子的大小关系的题目时，我们通常使用比较法。又根据两个式子的性质选择不同的方法，当两式都是分式或多项式时，用作差比较法来证明；当两式都是幂指数形式或乘积形式时，用作商比较法来证明。2.2反证法反证法也是数学不等式证明中非常重要的一种方法，我们又把它叫做“间接证明法”，如果用直接证明的方法证明不等式比较困难时，利用反证法可能会更加简单、有效。其步骤：（1）首先否定题中所给不等式的结论；（2）从否定的结论逐步倒着推理，直到出现与已知条件矛盾的情况；（3）根据矛盾的出现，可以判定原假设“结论不成立的不等式”是错误的；（4）该命题结论正确。例3：已知，，，求证：，均大于0证明：设，又则与题设矛盾当时与矛盾因此必有同理可证，b>0，c>0。当题目中给出的已知条件很少或根据已知条件能推出的结论很少，或者所证结论是某些定理的逆命题的结论时，就适合使用反证法来证明不等式，该方法能很好的锻炼学生的逆向思维，打破他们死板的学习方式。2.3综合法综合法是指根据已知条件，利用不等式的性质或其他已知的结论一步一步的推理，通过推出所要证明的不等式的方法，此过程需要利用到其他已学知识，所以综合法的学习与利用能够培养学生不同定理、公式的综合运用能力。例4：设a，b，c∈R+，求证：证明：由于所以得，a，b∈R+同理三式相加得所以我们可以根据不等式的基本性质，从已知条件入手将原不等式进行变形，一步步进行推理，最终得到要证不等式。这是综合法证不等式的过程，我们也可以称之为“由因导果”。2.4分析法分析法的特点是“由果导因”。其过程是先找出使所求不等式成立的条件，然后分析已知条件中是否具备这些条件。如果具备这些条件，可以得到原不等式成立；反之，那么原不等式不成立。分析法是帮助学生打开证明思路、寻找问题解决路径的重要方法。例5：已知a，b，c∈R+，且，求证：证明：预证，由于a，b，c∈R+要证（a+b+c）2≥3原不等式成立。由以上分析可以看出，分析法是从所求结论出发，反过来求使它成立的条件，直到与已知条件相通，从而找出解题方法。所以对于已知条件很隐蔽的不等式证明题，很难用综合法直接证明，此时就需要用到分析法解题。2.5换元法在利用换元法解题时，需要引入一个或多个未知量，用新的未知量来代替原有的未知量，从而证明出原不等式。三角换元法和增量换元法是我们常用的两种方法。换元法是常用且重要的一种解决数学问题的方法，将隐性或复杂的条件转变为熟悉且简单的形式，将复杂的计算与推导过程简单化。例6：设n为大于1的自然数，试证明证明：由，（n>1），所以令，则需证即证由二项式定理得所以故不等式成立。当不等式中存在对称的式子，或者已知未知数的大小关系，如时，我们可以通过换元法来实现减元，让问题由难变简单，这就是常用的增量换元法，这种方法相较上面四种难度增加了一些，但是更能锻炼学生的思维能力。2.6放缩法放缩法通常是指利用不等式的传递性，将式子适当的放大或者缩小，用更完美的不等式来替代原有不等式。利用基本不等式（当且仅当a=b时取“=”）；（当且仅当a=b时取“=”）REF_Ref25402\r\h[15]。推广：（当且仅当a=b=c时取“=”）；当a1，a2，...an为正数时（a1=a2=...=an时取“=”）。例7：已知an=5n-4，证明不等式成立。（mn为任意正整数）证明：欲证，要证因为，故证即证因为所以命题得证。我们常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，而放缩的前提条件是不等式可求积或求和，所以对于这内不等式的证明我们常用放缩法来解决。还要注意的是，在放缩时要把握好放缩的程度，保证恰到好处。2.7数学归纳法数学归纳法是从具体到一般，依次推理已知条件的方法，所以我们通常使用数学归纳法来证明不等式与自然数有关的题目，它是解决数学不等式题的基础方法之一。其步骤：（1）证明当n为第一个值时不等式成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥）时也成立，证明当n=k+1时不等式也成立。由（1）（2）知，对于一切n≥的自然数n都成立。例8：证明不等式证：当n=1时，不等式成立假设n=k时，不等式成立，即那么则n=k+1时不等式成立。可以得出，不等式对n∈N都成立。所以当遇到与正整数n有关的不等式证明时，可考虑应用数学归纳法，其关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立。本章中例举了比较法、分析法、综合法、放缩法等不等式的证明方法，它们都是比较简单的证明方法；而换元法需要引入参数与变量，假设出辅助函数来证明，相对较为复杂。反证法、数学归纳法等方法则是通过一系列代换、构造、转化等过程来证明不等式。第三章高等数学中不等式的证明方法3.1利用定积分性质证明不等式在用定积分证明时，常用到的性质是它对积分区间的可加性，这是高等数学中的重要内容。若给定的式子可以看作是某个函数（假设具有连续导函数）在[a，b]上的增量，则可以利用牛顿—莱布尼茨公式把此增量表示为在[a，b]上的定积分，即，然后依据在积分区间[a，b]上所满足的不等式及定积分的单调性等可得到所要证明的不等式REF_Ref25209\r\h[11]。例9：设ａ＞ｂ＞０，ｎ＞１，证明证明：先把看作是幂函数在闭区间[b，a]上的增量，即，再把表示为在闭区间[b，a]上的定积分，即然后利用被积函数在闭区间[b，a]上所满足的不等式，及定积分的单调性便有可得当遇到形如或者与自然数n有关的不等式，并且对定积分掌握熟练时，可使用该方法。3.2利用函数的性质证明不等式3.2.1利用函数极值与最值证明不等式在不等式证明的各种方法中，是较为简单的方法是利用函数极值与最值来证明不等式。极值与最值本是可以转化为不等式的式子，因此我们可以很简便的应用该方法证明不等式。例11：当时，证明证明：令，则令，得驻点x=1且当x＜1时，；当x＞1时，，所以是极大值也是最大值，从而得，即。3.2.2利用函数凹凸性证明不等式当所求证的不等式中出现了形如，的式子时，我们可以考虑根据函数凹凸性的一些性质来证明REF_Ref21595\r\h[10]。例12：已知，证明：证明：设函数，，则，。由引理可知：函数，是凹函数。设，，，则而，且由已知得到，所以，故有。3.3利用中值定理法证明不等式3.3.1利用拉格朗日中值定理证明不等式函数的增减性是我们在使用拉格朗日中值定理证明不等式时需要考虑的问题，如果函数的导数的正负性始终保持不变，那么我们可以判断出函数的增减性，从而求证出不等式。步骤：（1）根据题目给出的已知条件设出函数和区间；（2）根据拉格朗日中值定理得REF_Ref16237\r\h[8]；（3）依据在（a，b）上的增减性，把进行一定的放大或缩小，进而求证出不等式。例13：若0<b≤a，试证：证明：设，当0<b≤a时，在区间[b,a]内符合拉格朗日中值定理,所以，,而，（0<b≤a），得出。对于不等式中含有形如的题目，这时利用拉格朗日中值定理证明不等式。3.3.2利用积分第一中值定理证明不等式积分第一中值定理：设函数在[a，b]连续，则至少存在一点，使得REF_Ref27581\r\h[12]。例14：设在[0,1]上连续，且单调下降，，求证。证明：因为在[0,1]上连续，则有积分第一中值定理知，使得，使得，又在[0,1]上单调下降，，故，从而有，又因为，所以。上面所讨论的这些不等式的证明方法，很多是初等数学中不等式证明方法的延伸，所以不等式之间都是交相辉映的。通过对这些方法的学习，我们可以更简单、方便的解决相关问题。第四章利用著名不等式证明不等式的方法4.1利用柯西不等式证明不等式一般形式的柯西不等式是：，等号成立的充要条件为：存在λ，μ（不全为零），使（i=1,2，...n）REF_Ref30592\r\h[6]。例15：设正数满足，求证：，并给出等号成立条件。证明：由得，由柯西不等式得，所以，等号成立的条件为。本题经过变形积极创造了柯西不等式中“积和”与“平方和”的形式，非常值得深入研究。4.2利用均值不等式证明不等式一般不等式的证明，通常会考虑综合法、比较法、分析法，但对于部分不等式问题并不能用这些方法解决，这是就考虑用均值不等式，或均值不等式与综合法相结合的方法，这种方法可以在某些方面使问题简单化，进而达到最终证明的目的。例16：设是不为的不相等实数，证明：证明：引入大于参数由均值不等式知.设∵得令，解得.当时，有最大值.当所求不等式中含有根号、平方和时，常利用均值不等式求解不等式。4.3利用施瓦兹不等式证明不等式施瓦兹不等式：，在高等数学推广与应用中具有很重要的价值REF_Ref9038\r\h[7]。例17：设为上的连续函数，且，证明对任意的实数恒有。证明：注意到，由施瓦兹不等式可得上述两式相加可得要证不等式。第五章结语不等式的证明与求解是初等数学、高等数学中的重要内容，通过实践学习，学生可以掌握不同的方法和技巧，从根本上培养和提高他们的思维能力、分析和解决数学问题的能力，为他们未来的成长与发展打下坚实的基础。因此，在教学中教师要明确在讲授不等式解法的同时，更重要的是要教会学生更多的解题思路和技巧，使学生能够举一反三，灵活的掌握各种解题能力。数学不等式是数学研究的重要内容，其广泛的运用在对数学问题的分析与解决中，更是学生高考的关注热点。不等式在日常生活中的应用也十分广泛，如在实践生活中对花园、迎宾大道等进行造型设计，饮料工厂进行新型产品的原料配比与成本分析等，都需要不等式的帮助。参考文献李良.初等数学最值问题的解法探讨[J].中学教学参考,2021(02):20-22.苏明刚,陈明.数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法[J].遵义师范学院学报,20