数学自主广场：向量的线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（）A。一条线段B.一段圆弧C。两个孤立点D.一个圆思路解析：由单位向量的定义可知,如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上,则所有的终点到这个起点的距离都等于1,构成的图形是一个圆.答案：D2。下列命题正确的是（)A。若|a|=0，则a=0B.若｜a|=｜b|，则a=bC.若|a｜=｜b｜,则a∥bD。若a∥b,则a=b思路解析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向，当｜a|=|b｜时,只说明a与b的长度相等，无法确定方向,故B、C均错；当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系,不能确定相等，故D错；由定义得A正确.答案：A3。设()+（）=a，而b是一非零向量，则下列结论中，正确的有（）①a∥b②a+b=a③a+b=b④|a+b|＜｜a|+|b|A.①③B。②③C.②④D。①②思路解析:由题目的条件可以得到a=0,而零向量与任何向量平行,与任何向量相加得任何向量，所以①和③正确；④中的“＜”应为“=”才是正确的；很明显②不正确.答案：A4.（2006广东高考卷，4）如图2-图2-1A。-+B。-—C。-D。+思路解析：+.答案：A5。点P是△ABC所在平面内一点,若=λ，其中λ∈R，则点P一定在（）A.△ABC内部B。AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D。BC边所在的直线上思路解析：∵=λ,∴=λ。∴=λ。∴P、A、C共线.∴点P一定在AC边所在的直线上。答案：B6.如图2-1—7所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=a,=b,则=____（用a、b思路解析：∵CE=3EB，∴=.又∵，∴+=a+(b-a）=a+b.答案：a+b7。如图2-1—图2思路分析：作出图形，再将上式一边的向量用另一边的向量表示出来,可以得到相等关系。解:如右图所示,=()+()=()+(）=()+0=。∴原式成立。我综合我发展8。如图2—1—9，图2-1思路分析：转化为证明∥。证明：设=a,=b，则=a+(-a+b）=a+b，=a+b，∴=3。∴∥。∴M、N、C三点共线.9。如图2—1-10，在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b,试用a、b表示，。图2-1-10思路分析：可以用向量加法的几何意义来处理;也可以用数乘向量来分析，转化成方程来处理。解法一:=a，==b，∴=a-b，=a+b。解法二：设=x,=y.∵，∴x+y=a。∵,∴y-x=b.∴x=（a-b），y=(a+b)。∴=（a—b),=(a+b）.10。如图2-1—11，四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=（图2思路分析：在图形中通过作共线向量来构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，使EF作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决，==（），本题也可以创造相同起点，以建立向量间关系.解法一：如图2—1—图2-1∴EF是△ADG的中位线.∴EF=DG。∴=.∵,∴=（）。解法二：如图2—1-13,连结EB，EC，则有图2∴。