2024-2025学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.如果直线l不平行于平面α，那么平面α内不存在与l平行的直线

B.如果直线l//平面α，平面α//平面β，那么直线l//平面β

C.如果直线l与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l与平面β也相交

D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β2.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是(

)A.8，8.5 B.8，8 C.9，8 D.8，93.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点(−a,0)且倾斜角为34A.35 B.23 C.344.定义：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(A.(35,65) B.(二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式x−2x+1≤0的解集是______．6.已知复数z=1+i(i是虚数单位)，则|1−iz|=______．7.已知x>0，y>0，xy=1，则1x+28.若α∈(π2,π),cos(π−α)=39.若A(1,2)、B(−3,4)、C(5,m)三点不能构成三角形，则m=______．10.某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有______种．(用数字作答)11.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn.若a1=1，a12.过直线y=x上一点作圆(x−5)2+(y−1)2=2的两条切线l1，l2，当l1，l13.已知函数f(x)=lnx−ax−2在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为______．14.如图，正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值范围是______．15.已知(1+2024x)50+(2024−x)50=a0+a1x+a2x2+⋯+16.已知数列{an}满足：对于任意正整数n有an∈(0,π2)，且a1=π4,f(an+1)=三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为棱PD，PC的中点，PA=AD，平面PAD⊥平面ABCD.求证：

(1)MN//平面PAB；

(2)AM⊥平面PCD．18.(本小题14分)

已知向量m=(23cosx2,−2sinx2)，n=(cosx2,cosx2)，函数y=f(x)=m⋅n．

(1)设θ∈[−19.(本小题14分)

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x％(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)={30,0<x⩽302x+1800x−90,30<x<100(单位：分钟)，

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S20.(本小题18分)

已知椭圆C：x2t+y2=1(t>1)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx+m(m≠0)与椭圆C交于M、N两点(M点在N点的上方)，与y轴交于点E．

(1)当t=2时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△AF1F2的周长；

(2)当t=3且直线l过点D(−1,0)时，设EM=λDM，EN=μDN，求证：21.(本小题18分)

对于函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)，若在其定义域内存在实数x0和t，使得f(x0+t)=(t+1)⋅f′(x0)成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”．

(1)若函数y=sinx−m(x∈R)是“π2跃点”函数，求实数m的取值范围；

(2)若函数y=x2−ax+1是定义在(−1,3)上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a的取值范围；参考答案1.C

2.A

3.A

4.A

5.(−1,2]

6.5

7.28.=−49.0

10.180

11.8

12.60°

13.(114.[2,3]

15.23

16.20

17.证明：(1)由于M，N分别为棱PD，PC的中点，

所以MN/​/CD，由于四边形ABCD是矩形，所以CD/​/AB，

所以MN//AB，由于MN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以MN/​/平面PAB；

(2)由于PA=AD，M是PD的中点，所以AM⊥PD，

由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，

由于AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，

由于PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD．

18.解：(1)f(x)=23cos2x2−2sinx2cosx2=3(1+cosx)−sinx=2cos(x+π6)+3，

∴f(θ)=2cos(θ+π6)+3=3+1，∴cos(θ+π6)=12，

∴θ+π6=2kπ±π3(k∈Z)，θ∈[−π2,π2]，

∴θ=−π2或19.解：(1)由题意知，当30<x<100时，

f(x)=2x+1800x−90>40，

即x2−65x+900>0，

解得x<20或x>45，

∴45<x<100，

∴x∈(45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

(2)当0<x≤30时，

g(x)=30⋅x%+40(1−x%)=40−x10；

当30<x<100时，

g(x)=(2x+1800x−90)⋅x%+40(1−x%)

=x250−1310x+58；

∴g(x)=40−x10,0<x≤30x250−1310x+58,30<x<100；

y=x250−131020.解：(1)当t=2时，椭圆C：x22+y2=1，△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=22+2；

(2)证明：当t=3且直线l过点D(−1,0)时，椭圆C：x22+y2=1，直线斜率存在，y=k(x+1)，

联立x23+y2=1y=k(x+1)，消去y得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2−3=0，

Δ=(6k2)2−4(3k2−3)(3k2+1)=24k2+12>0恒成立，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=−6k23k2+1x1x2=3k2−33k2+1,

由EM=λDM21.解：(1)函数数y=sinx−m的导函数为y′=cosx，

因为函数y=sinx−m(x∈R)是“π2跃点”函数，

则方程sin(x0+π2)−m=(π2+1)cosx0有解，即−m=π2cosx0有解，

而cosx0∈[−1,1]，因此−m∈[−π2,π2]，解得m∈[−π2,π2]，

所以实数m的取值范围是[−π2,π2]；

(2)函数y=x2−ax+1，x∈(−1,3)的导函数为y′=2x−a，

依题意，方程(x0+1)2−a(x0+1)+1=2(2x0−a)，

即x02−(a+2)x0+a+2=0在(−1,3)上有两个不等实根，

令ℎ(x)=x2−(a+2)x+a+2，x∈(−1,3)，