四川省合江县马街中学校2025届高三上学期9月月考数学试卷

数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第I卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．函数的定义域为A．， B． C．， D．，2．已知集合，1，2，，集合，，则集合的子集个数为A．7 B．8 C．16 D．323．设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则A． B． C． D．5．，都是复数，则下列命题中正确的是A．若，则 B． C． D．，则6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，7．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年天）中任何一天年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为A．21 B．22 C．23 D．248．函数在区间，上所有零点的和等于A．2 B．4 C．6 D．8二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知，，，则下列结论正确的是A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最小值为10．已知函数，则下列说法正确的是A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减 C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 D．若，则11．关于函数，，下列说法正确的是A．对任意的， B．对任意的， C．函数的最小值为 D．若存在使得不等式成立，则实数的最大值为第II卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共8个小题，共92分．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．已知函数．求在处的切线方程．13．已知函数，且（a），则的值为．14．已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线的对称轴；（Ⅱ）已知，，求的值．16．（15分）设函数，其中．（Ⅰ）若，且对任意的，，都有，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对任意的，，，都有，求实数的取值范围．17．（15分）已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若，令，求数列的前项和．18．（17分）已知，，是自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；（Ⅲ）当时，若满足，求证：．19．（17分）已知正整数，集合，，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令．（Ⅰ）直接写出的两个元素及的元素个数；（Ⅱ）已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；（Ⅲ）证明：对任意，，，，总存在，使得．数学试题参考答案一．单选题1．2．3．4．5．6．7．8．二．多选题9．10．11．三．填空题12．13．14．，，四．解答题15．解：（1），令，，则，，故函数的对称轴为，；（2）因为，，所以，，即，所以，则．16．解：因为，所以在区间，上单调减，在区间，上单调增，且对任意的，都有，（1）若，则，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．“对任意的，，都有”等价于“在区间，上，”．①当，即时，，，得，所以；②当，即时，，恒成立，故．综上所述，，实数的取值范围为区间，．（2）设函数在区间，上的最大值为，最小值为，所以“对任意的，，，都有”等价于“”．①当时，（4），，由，得，因此；②当时，（4），，由，得，因此；③当时，，，由，得，因此；④当时，，（4），由，得，因此．综上所述，实数的取值范围为区间，．17．解：（1）设等差数列的公差为，由，，可得，解得，所以；（2）由（1）知，，，所以；（3）因为，，所以，①，②，①②得，所以．18．解：（1）当时，，定义域为，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取到极小值0，无极大值；（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，若方程有两个不等实根，即与有2个交点，则，当或时，，在区间和上单调递减，并且时，，当时，，当时，，严格增，时，当时，取得最小值，（1），作出函数的图象，如下图所示：与有2个交点，则，即的取值范围为；（3）证明：，令，可得，函数在上单调递减，在上单调递增，由题意，则，，要证，只需证，而，且函数在上单调递减，故只需证，又，所以只需证，即证，令，即，，由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上严格增，由，可得，即，所以，又函数在上严格减，所以，即得证．19．解：（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，中6个分量中恰有3个1，的元素个数为．（2）对于的非空子集，，，，设，，，，，2，，，这里是的第个分量，定义，2，，，规定，0，，，设，，，，2，，，令，，，，，，，我们先证明引理：，2，，，．反证法：，2，，，，令，设，，，，满足，其中，2，，，，，2，，，且，，，，这与矛盾，引理证毕，回到原题，由引理，解得，，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，1，0，0，1，，，0，1，1，0，，符合题意，综上，当时，的最大值为4．（3）证明：，，，共有个非空子集，记为，，2，，，则在每分量得奇偶性下恰有2种不