查补重难点08 解直角三角形及其应用（原卷版）

查补重难点08.解直角三角形及其应用考点一：解直角三角形及其性质1.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sinA随∠A的增大而增大；cosA随∠A的增大而减小；tanA随∠A的增大而增大。2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。3.在解直角三角形的过程中，常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1。4.三角函数特殊值（熟记）：sin30°=；sin45°=；sin60°=；cos30°=；cos45°=；cos60°=；tan30°=；tan45°=1；tan60°=题型1.求锐角三角函数值在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比，但最重要的还是要以记清三角函数特殊角的函数值为前提。根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则．

变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为．变式2．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图所示的造型恰好放入矩形中其中点，，，都在矩形边上，若，则的正切值为．题型2.网格图与锐角三角函数在网格中求锐角三角形函数值，关键是利用锐角边上的格点找到直角三角形或构造直角三角形来进行求解。当锐角所在的三角形是直角三角形时，根据锐角三角函数的定义就可以直接求解;若锐角所在的三角形是非直角三角形时，常需要通过作垂线、平移线段等方式构造直角三角形，并辅以等积法求关键线段来解决。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则．

变式1．（2024·江苏连云港·一模）如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则．变式2．（2023·江苏连云港·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点O，A，B，C都在格点上，若，则的值为．题型3.解直角三角形解直角三角形的基本策略：1）有“弦”用“弦”；2）无“弦”用“切”；3）宁“乘”毋“除”；4）化“斜”为“直”；5）取“原”避“中”。注意：当已知条件为斜三角形的边和角时，往往需要通过适当添加辅助线构造出直角三角形，进而转化为解直角三角形的问题。例1.（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8变式1．（2023·江苏苏州·一模）如图，点O是正五边形的中心，于点H．则（）A．B．C．D．变式2.（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则．

题型4.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sinA随∠A的增大而增大；cosA随∠A的增大而减小；tanA随∠A的增大而增大。例1.（2023·重庆·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（

）A．随的增大而增大B．cos随的减小而减小C．tan随的增大而增大D．0<sin<1变式1．（2023·四川成都·校考模拟预测）比较大小：（填“”“”）．变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°题型5.新定义问题锐角三角函数新定义问题主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。图1图22）余弦定理：如图2，；；．3）正弦面积公式：如图2，.4）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1.（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．变式1．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．变式2．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，考点二：锐角三角形函数的实际应用1.测量物体的高度（距离）的常见模型：（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。（2）测量底部可以到达的物体高度解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。（3）测量底部不可到达的物体的高度注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。2.解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．题型1.与视角相关的实际应用视角：视线与水平线的夹角叫做视角。仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。例1．（2023·江苏·中考真题）根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量

说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．参考数据项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．变式1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（

）

A． B． C． D．变式2．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．题型2.与方位角相关的实际应用方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角。例1.（2022·江苏南京·中考真题）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）

变式1．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里．变式2.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

题型3.与坡角相关的实际应用坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．例1．（2023·江苏连云港·中考真题）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）（参考数据：）

变式1．（2023年湖北省中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

变式2．（2024·江苏苏州·一模）如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．(1)求从点到点的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）．题型4.其他的实际应用问题例1．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）变式1．（2023·江苏苏州·中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．参考数据：，，，，，．课后训练：1．（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，所对的边分别为，且，则（

）A． B． C． D．2．（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定3．（2024·山东济南·模拟预测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（

）

A． B． C． D．5．（2023·江苏无锡·二模）如图，在点处，看建筑物顶端的仰角为，向前走了6米到达点即米，在点处看点的仰角为，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·一模）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（

）A．B．C．D．7．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（

）A．B．C．D．8．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为米（结果精确到米）．

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

9．（2023·湖南株洲·校联考三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是．10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于．

11．（2023·重庆·中考模拟预测）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．12．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则．

13．（2023·江苏盐城·中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为m.（计算结果保留整数，参考数据：）

14．（2023·江苏南通·二模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与处的距离为海里(结果保留根号)．15．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，则点的位置较原来的位置上升高度为．16．（2023年四川广元中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；(2)求风叶的长度．

17．（2024·江苏徐州·一模）如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图是它的简易平面图．小明想知道灯管距地面的高度，他在地面处测得灯管的仰角为，在地面处测得在灯管仰角为，并测得，已知点、、在同一条直线上，请你帮小明算出灯管距地面的高度(结果精确到,参考数据：，，)18．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．