查补重难点06 四边形与特殊四边形（原卷版）

查补重难点06.四边形与特殊四边形考点一：平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。3.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。4.平行四边形的判定定理：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。5.三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。6.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。题型1.平行四边形的性质平行四边形除边角对角线的基本性质外，还有下列重要性质：（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE。（2）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。（3）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。（4）过对角线中点垂直于对角线的直线与一边的交点到该对角线的两端点距离相等。（5）一组对边与过对角线交点的直线所截得线段的中点是对角线的中点。（6）过对角线交点平行于一边的直线与另一边的交点到中心O的距离等于被平行变长的一半。例1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为．变式1．（2024·江苏·中考模拟预测）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为．变式2．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，若，则的度数是．变式3．（2024·江苏·校联考）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是．

题型2.平行四边形的判定判定平行四边形时,应严格按照平行四边形的判定定理。错误地将下列结论作为平行四边形的判别方法：错误判定（1）一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。错误判定（2）一组对边相等，-组对角相等的四边形是平行四边形。例1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．(1)求证：≌．(2)连接，求证：四边形是平行四边形．变式1.（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（

）

A． B． C． D．变式2．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为4，求的面积．

题型3.平行四边形的性质与判定综合压轴平行四边形中常用辅助线的添法：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。例1.（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（

）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④变式1．（2023·江苏宿迁·二模）如图，平行四边形中，，，在上，且，是的中点，连接、，交于点，连接，过作于，于，则等于（

）

A． B． C． D．变式2．（2024·江苏淮安·一模）如图，平行四边形面积为24，其中为锐角．点P是边上的一动点．(1)如图1，点P到边上的距离为；(2)当点A，D同时绕点P按顺时针方向旋转90°得点，①如图2，当落在射线上时，求的长；②当是直角三角形时，直接写出的长．题型4.中位线三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线平行；（2）证明数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。例1．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，平分，点E是的中点，且于点D．若，，则的长为．变式1.（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（

）

A．2 B． C．4 D．变式2．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：

（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；（4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．考点二：特殊的平行四边形1.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。【推论】在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。2.矩形的判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。4.菱形的判定：（1）A对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。A5.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；

（5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形对角线与边的夹角为45°；

（6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。6.正方形的判定：（1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；（2）矩形+一组邻边相等；（3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+一个角是直角；（5）菱形+对角线相等.题型1.矩形的性质与判定矩形的判定思路：要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明。矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3)折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．变式1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．变式2．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．游戏1

折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．变式3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，点D为边上中点(1)尺规作图：作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接，若，，，求证：四边形为矩形。题型2.菱形的性质与判定菱形的判定思路：判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。菱形的面积：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）；菱形的周长：周长C=4a。例1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，菱形中，是对角线，分别为边，的中点，连接，交于点G．(1)求证；(2)若，，则的长为．

变式1．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（

）A．和的面积相等B．四边形是平行四边形C．若，则四边形是菱形D．若，则四边形是矩形变式2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线、交点D．将菱形绕点O逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2次后，点D的坐标是，旋转2022次后．点D的坐标是．

变式3．（2024·江苏扬州·一模）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．题型3.正方形的性质与判定正方形的判定思路：判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等。例1．（2024·江苏徐州·一模）如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．(1)求证：；(2)若，求正方形的边长．

变式1．（2021·江苏泰州·中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则为（）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α变式2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)当满足时，四边形为正方形.变式3．（2024·江苏南京·一模）已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)当满足_____时，四边形为正方形．题型4.中点四边形1、中点四边形是平行四边形。2、原四边形对角线互相垂直的中点四边形是矩形。3、原四边形对角线相等的中点四边形是菱形。4、原四边形对角线互相垂直且相等的中点四边形是正方形。例1.（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．∵分别为的中点，∴．（依据1）

∴．∵，∴．∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．∵，即，∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．∵，∴．同理，…任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．

变式1.（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（

）A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形课后训练1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（

）

A． B． C． D．2．（2024·江苏徐州·一模）如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为(

)A．3 B． C．-1 D．3．（2023·河南周口·统考二模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（

）

A． B． C． D．4．（2023·河北·模拟预测）如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点保持不动时，下列结论成立的是(

)

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小C．线段的长不变 D．线段的长先增大后减小5．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或26．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接交于点，则的长为（

）A． B． C． D．9．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则．10．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为．11．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是．

12．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．13．（2024·山东·一模）在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为．14．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)如图2，当是等边三角形且边长是12时，求四边形的面积．15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．(1)求出对角线的长；(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）

16．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．17．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______；(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数；(3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由．

18．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相