查补重难点03 反比例函数与一次函数的综合运用（解析版）

查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。例1．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（

）A．B．

C．

D．

【答案】D【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；故选：A．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。例1.（2023·江苏·九年级校考期中）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3．(1)求k的值(2)求A，B两点的坐标．【答案】(1)(2)，【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，以及反比例函数与一次函数的综合运用：（1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值；（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标；【详解】（1）解：由已知，，解得；（2）解：当时，一次函数为，反比例函数为，由，解得，∴故，；变式1．（2024·福建三明·一模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正、反比例函数的对称性结合一个交点的坐标找出另一交点的坐标是解题的关键．由正比例和反比例函数的对称性结合一个交点的坐标即可得出结论．【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为∴另一个交点坐标为．故选：A．变式2．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求与的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；(3)求点的坐标．【答案】(1)k的值为，m的值为12；(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）将点代入可求出，进而求出的坐标，将的坐标代入反比例函数中，可求出；（2）根据平行线的尺规作图方法作图即可；；（3）根据题意可得：直线的函数关系式为，然后联立方程组即可求解．【详解】（1）解：将点代入得，，解得：，一次函数关系式为，将点代入，得，解得：，，将代入，得，的值为，的值为；（2）如图所示：（3）一次函数关系式为，，直线的函数关系式为，可联立方程组，得，解得：，(舍去)，点的坐标为．题型3.反比例函数与一次函数的大小比较或不等式问题大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或【答案】B【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．【详解】解：∵把，直线与双曲线交于点和点，∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，∴不等式的解集是：，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．变式1．（2023·山东日照·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图像相交于点、．则时x的取值范围是（

）

A．或 B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数上方部分，结合交点即可得到答案.【详解】解：由图像可得，在B点右侧一次函数图像在反比例函数图像上方，且函数值大于0，∵，∴时，故选D；【点睛】本题考查根据函数图像解不等式，解题的关键是熟练掌握函数与不等式之间的关系，找到符合条件的图像．变式2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(

)A．或B．或C．或D．或【答案】D【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴．令，则，．将点和点代入，得；将点和点代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①当时，，∴不符合要求，应舍去；②当时，，∴符合要求；③当时，，∴不符合要求，应舍去；④当时，，∴符合要求；⑤当时，，∴不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是或．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．题型4.反比例函数与一次函数的面积问题1.三角形的面积型：当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．例1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．(1)求、的值；(2)求的面积．【答案】(1)4；6(2)6【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象轴交于点，∴，OB=4，∴一次函数解析式为，设点C（m，n），∵的面积是2．∴，解得：m=1，∵点C在一次函数图象上，∴，∴点C（1，6），把点C（1，6）代入得：k=6；（2）当y=0时，，解得：x=-2，∴点A（-2，0），∴OA=2，∴．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．变式1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，∴m=(-)•(-2m)=2，∴反比例函数的解析式为y=，∴B（2，1），A（-，-4），．把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，∴n=-3，∴直线AB的解析式为y=2x-3，直线AB与y轴的交点D（0，-3），∴OD=3，∴S△AOB=S△BOD+S△AOD=×3×2+×3×=．故选：D．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．变式2．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（）A．3 B．8 C．2 D．【答案】A【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵点A（－3，3），B（，），∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，∴OA＝＝6，OB＝＝3，∵tan∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，同理，∠BON＝30°，因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，由题意得，，解得，，因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，故选：A．【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．变式3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B，C．(1)求a、k的值和点C的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)，，(2)8【分析】（1）把点代入直线即可求出a，再把点B坐标代入即可求出k，然后求出点A的坐标，根据点D在x轴上，得到点A与点D点纵坐标相差4个单位长度，根据平行四边形的性质，则点B与点C纵坐标相差4个单位长度，得到点C的纵坐标为2，再代入反比例函数的解析式即可求出横坐标，可得点C坐标；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点M、A、E的坐标，根据平移的性质求出点D的坐标，再根据求解即可．【详解】（1）解：∵在直线上，∴，解得；∵点在上，∴；直线与y轴交于点A，当时，，，∵点D在x轴上，四边形是平行四边形，点D的纵坐标为0，即点A与点D点纵坐标相差个单位长度，点B与点C纵坐标相差4个单位长度，点C的纵坐标为，点在上，∴，∴；（2）解：设直线的解析式为，把和代入，得，解得，∴直线的解析式为，设交x轴于点M，当时，，解得，∴，对于直线，当时，，∴，当时，，∴，∵，，∴点B到C的平移方式是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，∴点A到D的平移方式也是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、平移的性质、函数图象上点的坐标特点以及利用割补法求图形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．题型5.反比例函数和一次函数的综合题型（新定义）根据新定义和相关函数的相关性质（重点考查单调性和最值、对称性、零点等）解答即可。例1.（2023·江苏宿迁·中考真题）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．(1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；(2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；(3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．【答案】(1)②(2)；、(3)【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：

与图像有三个不同的公共点，根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，，则，解得；②联立，即，是其中一个解，因式分解得，则，解得，另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：

联立，即，①当时，，即，当时，；②当时，，即，由①中，则，；由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，，，，，由得到，即．【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．变式1．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m取值范围．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”；函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）∵函数，令y=x，则，解得：(负值已舍)，∴函数的“等值点”为A(，)；∵函数，令y=x，则，解得：，∴函数的“等值点”为B(，)；的面积为，即，解得：或；（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，∴函数W的解析式为，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则，即，当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当时，观察图象，恰有2个“等值点”；当时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W2没有“等值点”，∴，整理得：，解得：．综上，m的取值范围为或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．考点二：反比例函数与几何综合压轴反比例函数与几何综合问题，是是历年来江苏中考的热点，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了几何最值、特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、等角（倍角）的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。题型1.反比例函数与最值问题反比例函数中的最值主要分两类：（1）面积类最值：常将几何图形的面积转化为代数式，利用函数求出代数式的最值即可；（2）长度类最值：①多线段和差类：常用将军饮马模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型解答，②单线段最值：常用瓜豆原理（模型）、隐圆模型解答；例1．（2023·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．(1)求一次函数与反比例函数的表达式．(2)当时，请你直接写出的取值范围．(3)若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．【答案】(1)(2)或，(3)【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据的面积为和直线解析式求出点坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点的坐标，结合函数图象可得出的取值范围；（3）作点关于轴的对称点，连接，交x轴于点，连接交轴于点，连接，则的值最小，求出点的坐标，再根据求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，∴把，代入得，，解得，，∴一次函数解析式为过点作轴于点，∵∴又∴∴∴，∴∴∵在双曲线上，∴∴（2）解：联立方程组得，解得，，∴根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，∴当时，求x的取值范围为或，（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交x轴于点，连接交x轴于点M，则，OM=1，连接，则的值最小，设直线的解析式为把代入得，解得，∴直线的解析式为当时，，解得，，∴∴∴，，∴．变式1.（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？【答案】(1)(2)当时，最大值【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，∴，解得，∴，∵点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为：；（2）解：∵点C在一次函数的图象上，且点C的横坐标为a，∴点C的纵坐标为，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，当时，最大值．变式2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，则，

∵点，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点A的坐标是，∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．∴，解得，∴点A的坐标是，点B的坐标是，∴，∴反比例函数的解析式是，设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，，解得,∴直线所对应的一次函数的表达式为，（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，∴点A与点关于x轴对称，∴，，∵，∴的最小值是的长度，∵，即是定值，∴此时的周长为最小，设直线的解析式是，则，解得，∴直线的解析式是，当时，，解得，即点P的坐标是，此时，综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．题型2.反比例函数与图形变换（轴对称、平移、旋转）反比例函数与图形变换主要运用反比例函数自身的性质及K的几何意义和轴对称、平移、旋转的相关性质解题即可。例1．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点，过作轴于点，已知，．(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)将线段沿直线向下平移得到线段，使得平移后的的中点恰好落在双曲线上，求线段平移的距离．

【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)线段平移的距离为【分析】（1）根据可求出的长度，确定的坐标，运用待定系数法即可求解；（2）先算线段的中点坐标，再算出线段的长度比，设线段沿直线方向平移个单位得到，即项右平移个单位，向下平移个单位，可得点的坐标为，再结合点在反比例函数图象上，由此即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，，即，∴设，∴，即，解得，（负值舍去），∴，∴，，，把点，代入一次函数得，，解得，，∴一次函数解析式为：，把点代入反比例函数得，，解得，，∴反比例函数解析式为：；（2）解：已知，，∴线段的中点坐标为，，∴，∴，设线段沿直线方向平移个单位得到，即项右平移个单位，向下平移个单位，∴点的坐标为，∴，解得，，（舍去），∴，∴线段平移的距离为．【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，角的正切值的计算，图形的平移，掌握待定系数法求解析式，正切值的计算，平移的性质是解题的关键．变式1．（2023·江苏南京·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．(1)分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的取值范围．【答案】(1)函数的图象上有两个“等值点”或；(2)或；(3)当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．【分析】（）根据定义分别求解即可求得答案；（）根据定义分别求，，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，可得与的图象关于对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】（1）在中，令，得不成立，∴函数的图象上不存在“等值点”；在中，令，解得：，，∴函数的图象上有两个“等值点”或；（2）在函数中，令，解得：，∴，在函数中，令，解得：，∴，∵轴，∴，∴，∵的面积为，∴，当时，，解得:，当时，，∵，∴方程没有实数根，当时，，解得：或，综上所述，的值为或；（3）令，解得：，，∴函数的图象上有两个“等值点”或，当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，：，：，令，整理得：，∵的图象上不存在“等值点”，∴，∴，∴，当时，有个“等值点”，，，当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．【点睛】此题考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性，掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键．变式2．（2023·四川成都·三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3)【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答；（2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答；（3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围．【详解】（1）解：代入，可得，解得，，将代入，可得，解得，反比例函数的解析式为，列方程，解得，，经检验，，是方程的解，当时，，；（2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，

当时，得，解得，当时，得，，，，设，故，，，，可得方程，解得，，点的坐标为或；（3）解：列方程，整理得，当和，只有一个交点时，只有一个解，此时，即，解得，当时，方程为，解得，和的交点为，如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，故，，，当时，可得，解得，，，，，，，，点M的横坐标为，当时，可得，，，将代入，可得，解得，满足条件的k的取值范围为．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键．题型3.反比例函数与相似（位似）、全等反比例函数与相似（位似）、全等问题，一般字母未对齐，故存在分类讨论的情形，纵然这类题型，放在以函数为背景的题型中，与反比例函数结合，相似三角形分类讨论的解题技巧，仍没有发生变化，故掌握了解题方法或解题技巧，受益的不只是一道题，而是一类型题的解决。例1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．

【答案】(1)，，(2)点P的坐标为或【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．【详解】（1）（1）将代入，得，∴．将代入，得，∴．如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故答案为：，，；（2）由（1）可知，，．当点P在x轴的负半轴上时，，∴．又∵，∴与不可能相似．当点P在x轴的正半轴上时，．①若，则，∵，∴，∴；②若，则，又∵，，∴，∴．综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．变式1．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为．

【答案】9【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得，设直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到，即，由根和系数的关系得，求出的值，据此即可求解．【详解】解：联立，解得或，∴点，，∴，∵与位似，相似比为，∴，∴，∵将直线向下平移b个单位，∴设直线的解析式为，点，，∴，整理得，，∴，

∵点恰好都落在反比例函数图象上，∴与反比例函数的交点方程为，即，由根与系数的关系得，，解得或(不合，舍去)，令，则，∴直线和与的交点分别为和，∴，故答案为：9．变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．【答案】(1)4，2(2)点的坐标为、【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得，解得，一次函数的关系式为；将点A（1，4）代入反比例函数，得，反比例函数的关系式为．故答案为：4，2；（2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．当x=0时，y=2，∴点B（0，2），∴OB=2．根据勾股定理可知．当点落在轴的正半轴上，则，∴与不可能相似．当点落在轴的负半轴上，若，则.∵，∴，∴；若，则．∵，，∴，∴．综上所述：点的坐标为、．【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等．题型4.反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）解反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。例1．（2023·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．(1)求m和n的值；(2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是；（直接写出答案）(3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为．（直接写出答案）

【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据待定系数法由条件可知，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将所给坐标代入函数解析式中，求出m,n的值；（2）点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得，所以有两种情况,，结合反比例函数的性质，再根据e的取值得出f的取值范围；（3）画出图形，由条件算出相应点的坐标，再利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形面积公式等于底×高，再通过，即可计算出．【详解】（1）解：∵函数（）的图像过，∴，解得m＝12．又∵也在反比例函数图像上，∴，解得：；（2）解：∵点在反比例函数的图像上，∴，当时，，∵，故每个分支y随x增大而减小，故当时，或；（3）解：把，代入得：，解得：，即直线的解析式为，令，则，∴，根据题意画图形如下：由题意得：，

，过A点作，∵，，∴，，∴在中，，由勾股定理得：，∵四边形为菱形，∴，∴，∴；【点睛】本题考查反比例函数和一次函数综合问题，涉及到勾股定理、菱形的性质等，灵活运用所学知识是关键．变式1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，，直线与轴交于点，当时，，即，与双曲线分别相交于点，联立，即，则，由，解得，，即，解得，故选：A．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．变式2．（2023·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)，(2)点的坐标为或或【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，锐角三角函数的应用，熟练的求解函数解析式是解本题的关键；（1）利用三角函数先求解的坐标可得反比例函数的解析式，再求解的坐标，可得一次函数的解析式，从而可得答案；（2）先利用勾股定理求解的长，再分两种情况建立方程求解即可．【详解】（1）解：过作轴于点，如图，，，，即，解得，，，反比例函数且过点，，反比例函数解析式为，反比例函数且经过点，，解得，，一次函数过、两点，，解得，一次函数解析式为；（2），，设点坐标为，则，，是以为腰的等腰三角形，或，当时，则有，解得，此时点坐标为或；当时，则有，解得或舍去，此时点坐标为，综上可知满足条件的点的坐标为或或．题型5.反比例函数与角度问题（等角、倍角、特殊角）

1）特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2）

遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。2）角的数量关系问题（1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决；（2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答；例1．（2019·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．（1）＝_____，＝_____；（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．【答案】（1）3，8；（2）.【分析】（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB=3，所以S△ODE=4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE=∠CBO，∠COB=∠PED=90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．【详解】（1）由一次函数知，．又点A的坐标是，．．．∵点是反比例函数图象上的点，，则．（2）由（1）知，反比例函数解析式是．，即．故，将其代入得到：．解得．∴直线的解析式是：．令，则，，．．由（1）知，．设，则，．，，，，即①，又②．联立①②，得（舍去）或．故．【点睛】考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，但是难度不是很大．变式1．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)直接写出A、B两点的坐标（用含有a的代数式表示）；(2)当时，在双曲线位于直线下方的图象上找一点D，使得，求出点D的坐标；(3)点C在y轴上，坐标为，且直线过一定点，试判断的值是否会发生变化．若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由．【答案】(1)，；(2)或；(3)不变，．【分析】（1）令，可求出点B的坐标，令，可求出点A的坐标；（2）分点D在第一象限和第三象限讨论即可；（3）由可得出此直线过定点，可得，作C点关于x轴对称点，过向作垂线，垂足设为D，利用求出，在中，求出，在中，利用可得结果．【详解】（1）解：对于，令得，令得，∴，；（2）解：当，，，∴双曲线为：，直线为：，①当D点在第一象限时，设，的方程为：，与y轴交于，此时，解得：，∴，令得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），，此时），将代入直线得：，∴D1在直线下方，符合题意；②当D在第三象限时，设，根据，求得方程为：（方法同求的方程），令得：，∴，∵，∴，整理得：，解得（舍），此时，将代入直线得：，∴在下方，符合题意，综上，D点坐标或；（3）不变，理由：∵，∴令可得，∴此直线过定点，根据题意，该直线过点，∴当时，该直线与x轴平行，∴，这与题中矛盾，从而，∴），作C点关于x轴对称点，由对称可知，∴，∴，过向作垂线，垂足设为D，∵，，，，∴=5a，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴=，在中，，∴，∴，即．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，三角函数等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数的相关知识是解题的关键．变式2．（2023·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点O为坐标原点，直线交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作轴，过点C作轴，点E为垂足，相交于点D，连接．(1)______；(2)求证：：(3)当时，求的长．【答案】(1)6(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先设出点C坐标，进而得到点D的坐标，再由对称性求出点B的坐标，接着利用待定系数法求出直线的解析式即可证明结论；（3）设与交于点F，由对称性可知，，证明，即点F为的中点，再证明，得到；进一步证明，得到，则，利用勾股定理得到，则．【详解】（1）解：把代入中得：，解得，故答案为：6；（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，由反比例函数的对称性可知点B的坐标为，设，则，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，同理可得直线解析式为，∴直线与直线平行，∴；（3）解：如图，设与交于点F，由对称性可知，，由（2）知，∴∴，即点F为的中点，∵轴，轴，∴CD⊥AD，∴，∴，∴，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理等等，熟知反比例函数的对称性以及一次函数中一次项系数相同时的两条直线平行是解题的关键．题型6.反比例函数与新定义几何图形例1．（2023·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接、，已知，的面积为1．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；(3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为(2)(3)点M的坐标为或【分析】本题考查了反比例函数综合，一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法，勾股定理等，熟练掌握新定义“直角等补形”是解题的关键．（1）根据三角函数定义即可求得，设，根据三角形面积可得，再利用待定系数法即可求得反比例函数解析式．（2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为，将直线向上平移b个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点A作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案．（3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当，时，当时，分别求得点M的坐标．【详解】（1）解：∵直线与坐标轴交于C、D两点，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴一次函数的解析式为，设，∵，∴，解得：，∴，∵直线经过点，∴，解得：，∴反比例函数的解析式为．（2）联立方程组，解得：，，∴，，∵P是线段的中点，∴，∴直线的解析式为，将直线向上平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图，过点A作交y轴于E，则，∵点P是线段的中点，∴，∵直线向上平移个单位将的面积分成两部分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，代入，得．（3）根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角，当，时，如图，过点A、B分别作y轴，x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴，当时，如图，过点B作轴于L，则，，，∴，∴，∴．综上所述，点M的坐标为或．变式1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围；(3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为(2)或(3)当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（1）依据题意，先将代入反比例函数解析式求得,再将代入反比例函数解析式求得,最后将点的坐标代入一次函数解析式，即可得解；（2）依据题意，由可知，当时，即为一次函数的图象在反比例函数图象的下方时对应的自变量x的取值范围，结合图象可以得解；（3）设，分两种情况进行讨论即可，当为边，为对角线时；当为边，为对角线时；总共存在三种答案.【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为.∵在反比例函数的图象上，∴，解得，∴.将点代入得解得∴一次函数的表达式为；（2）解：或；当时，，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，观察图象可知，此时x的取值范围是或.（3）解：设①如图①，当为边，为对角线时，由题意知，∴∴，整理得，∴或（舍），∴∵四边形为平行四边形，∴即解得∴；②如图①，当为边，为对角线时，同①可得.∵四边形ABDC为平行四边形，∴即解得∴③如图②，当为边，为对角线时，由题意得.联立解得或∴.∵四边形为平行四边形，∴即解得∴.综上所述，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或课后训练1．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设，则，根据图象可得，

将点代入，∴，∴，∵，∴，∴，对称轴为直线，当时，，∴抛物线经过点，∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，当时，，故选：A．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题关键．2．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则∴∴

∵,∴∴解得：∵点在上，∴解得：∴直线的解析式为当时，即又反比例函数在第一象限内的图象交于点∴,故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．3．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．【详解】解：连接，由对称性得：，∵Q是的中点，∴，∵长的最大值为，∴长的最大值为，如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D，∵，∴，∵B在直线上，设，则，，在中，由勾股定理得：，∴，解得（舍）或，∴，∵点B在反比例函数的图象上，∴；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置．4．（2023·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点，

∵，且在直线上，∴，，，∴．由旋转的性质可知，，∴．又∵，∴．∵，∴，∴，，∴．∵P是双曲线上的一点，∴，即．∴．故选：A．【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．5．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．【详解】解：如图所示：直线一定过点，，把代入得，，此时反比例函数过整点，，，阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，的取值可能是4，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．6．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴联立可得：解得：或∵点A在第一象限，∴，．∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．设直线AM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．∴．∴．∵，∴．设直线BM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线BM的解析式为．∵直线BM与y轴交于D点，∴．∴．∴．∵，∴．∴=4．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．7．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为．

【答案】4【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．【详解】解：∵轴于点轴于点，∴点P的横纵坐标相同，∴可设点P的坐标为，∵为的中点，∴，∵在直线上，∴，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．8．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是．【答案】或【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键．求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得的取值范围．【详解】解：令，解得，函数和的图象的交点的横坐标为和1，由图象可知当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象可知x的取值范围是或．故答案为：或．9．（2023·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，若双曲线与直线恰有1个交点，则的值是．【答案】/【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程，转化成一元二次方程利用根的判别式推出、的关系即可．【详解】解：∵双曲线与直线恰有1个交点，∴只有一个解，整理方程得：，，∴，∴，∴，故答案为：．10．（2023·江苏常州·一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为．【答案】【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时a的值，由图象可得a的取值范围．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为，∴二次函数图象的顶点坐标在直线上移动，∵y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在，∴二次函数的图象与以顶点坐标为，的正方形有交点，如图，当过点时，将代入得：，解得：或（舍去），当的顶点过点时，则，由图可知，若y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在，a的取值范围为：．故答案为：【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶好点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．11．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时，．

【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，证明，得出，求出，设点且，则，，求出点B的坐标，从而得出点C的坐标，求出直线的解析式，得出，求出直线的解析式，得出，根据面积列式求解即可得到答案；【详解】解：延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，如图所示，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，设点且，则，，∵，∴，∴，∴点坐标为∵、两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点，∴与关于原点对称，∴点坐标为，设直线的解析式为，把，代入得，，解得：，∴的解析式为：，把代入得，，∴，设直线的解析式为，把，代入得，，解得：，∴直线的解析式为，把代入得，，解得：，∴，∵的面积为1，∴，即：，解得：，∴，∴，故答案为：，．12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．【答案】或【分析】本题考查中位数，函数的图像等知识，解题的关键画出函数的图像，观察图像，利用图像法解决问题即可．也考查了函数图像之间的交点坐标．【详解】解：由题意：函数的图像如图所示（图中实线）．由，解得：或，∴，，由，解得：或，∴，，由，解得：，∴，由，当时，得，即函数图像与轴的交点坐标为，∵函数与直线有个交点，且，观察图像可知：符合条件的的取值范围是：或．故答案为：或．13.（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)若的面积是6，求点C的坐标．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；（2）设点，点E是一次函数与y轴的交点，求出，则，再由，得到，问题随之得解．【详解】（1）解：点在比例函数上，∴，∴，∴反比例函数解析式为，∵点在反比例函数上，∴，∴，∴，∵点，点在一次函数的图象上，∴，解得：，∴一次函数解析式为．（2）解：如图，所示：根据题意：设点，

∵点E是一次函数与y轴的交点，∴点，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴或，∴点C的坐标为或．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．14．（2023·四川成都·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式：(2)点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长．

【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为和(2)或(3)【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）由，点满足在与直线距离为的直线上，设直线与轴交于点，作作与点，求出点坐标，，根据在直线上方和下方分情况求解，确定过原点且与平行，得到点在，再利用平移得到点在上，列方程组求出交点，即可求出点；（3）由平移方式确定平移后的解析式，将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可．【详解】（1）解：一次函数的图像经过点，把代入中，得，，一次函数的表达式为，反比例函数的图像经过点，把代入中，得，，把代入反比例函数中，得，，反比例函数的表达式为，一次函数和反比例函数的表达式分别为和；（2），，，，，点满足在与直线距离为的直线上，如图，设直线与轴交于点，作作与点，令，则，，

①当该直线位于直线的下方时，即，过原点且与平行时，上任意一点到的距离都是，即：，②当该直线位于直线的上方时即，与关于对称，则上任意一点到的距离都是，向下平移两个单位得到：，可知向上平移两个单位得到：，点在或上，由，解得：，，是反比例函数图像在第一象限上的点，点的坐标为，由，解得：，，是反比例函数图像在第一象限上的点，点的坐标为，点的坐标为或；（3）一次函数和反比例函数的交点为，，由，解得：，，，，在第一象限的双曲线向左平移个单位，向下平移了个单位，在第三象限的双曲线向右平移个单位，向上平移了个单位，平移后的曲线为和，由，解得：，，点的坐标为，点的坐标为，．【点睛】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法，勾股定理，两点间距离，解答本题的关键是确定平移后的解析式．15．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析(2)①，；②点的坐标为【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．理由如下：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，设点的坐标为，点关于直线的对称点为点，，平分，连接交于，如图所示：

，轴于，轴，，，，，在Rt中，，，为边上的中线，即，，，，点在这个反比例函数的图像上；（2）解：①四边形为正方形，，垂直平分，，设点的坐标为，，，，（负值舍去），，，把，代入得，；②延长交轴于，如图所示：，，点与点关于轴对称，，则点即为符合条件的点，由①知，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，即，故当最大时，点的坐标为．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2023·江苏宿迁·三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当时，求点的坐标；(3)如图，在（）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求出点的坐标．【答案】(1)，；(2)(3)．【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；（）设，则有，过作于点，则，，根据可得，解方程即可求解；（）如图，连接，由平移可得，根据平移可得直线的解析式为，联立函数式，解方程组即可求解；此题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，三角函数等，掌握一次函数及反比例函数的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，解得，

∴一次函数解析式为，∵在的图象上，∴，解得，∴反比例函数解析式为；（2）解：设，则有，如图，过作于点，则，，∵，∴，即，∴，解得，，∵，∴，∴；（3）解：如图，连接，由平移可得，∴直线的解析式为，联立函数式得，，解得或(不合题意，舍去)，∴．17．（2021·江苏盐