专题07 探索规律（教师版）

2022-2023学年广东省小升初数学专题真题汇编学问讲练专题07探究规律小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观看分析,找到数列中的规律,然后填空解答学问点一：数字中的规律1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发觉规律；2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方；重要提示：依据规律找到空缺的数后留意与前后数运用规律检验学问点二：图形中的规律1.依据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换.....2.可通过观看、分析、猜想等方法探究学问点三：算式中的规律1.先要真正观看算式与结果的特点，再依据规律计算出这一类算式结果2.可运用计算器计算，发觉得数的规律。学问点四：数形结合中的规律1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题2.可将“形”转化为“数"，再探究变化规律。学问点五：周期规律1.找出图形或数字依次重复消灭的现象，从而找出规律解决问题2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。学问点六：找规律问题常见策略1．依据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．依据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．擅长从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们机敏地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他学问，一种方法不行，就要准时调整思路，换一种方法再分析；6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。重要提示：对于找到的规律，应当适合这组数中的全部数或这组算式中的全部算式.一．选择题（共13小题）1．（2022•湛江）如图，○、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观看下面图与数的关系，第4图形表示的两位数是（）A．54 B．43 C．34【思路引导】前3个图中都有圆，表示的数字中都有5，即5表示圆形；进而可以得出3表示三角形；4表示正方形；而且第一个数字表示的图形在外面，其次个数字表示图形在第一个数字表示图形的里面．【规范解答】解：图形中有一个正方形和一个三角形，正方形在外，三角形在内，所以用数字：43表示．故选：B．【考点评析】依据第一幅、其次幅和第三幅图中的数字，得出：○△□各表示的数字是解决本题的关键．2．（2022•龙岗区）把一些正方形纸片按规律拼成如下的图案，第（）个图案中恰好有365个纸片。A．73 B．81 C．91 D．93【思路引导】第1个图案有5个正方形纸片，即4×1+1；第2个图案有9个正方形纸片，即4×2+1；第3个图案有13个正方形纸片，即4×3+1；……第n个图案有正方形纸片的个数为：4n+1。【规范解答】解：（365﹣1）÷4＝364÷4＝91（个）答：第91个图案中恰好有365个纸片。故选：C。【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，发觉每多1个图案就多4个正方形纸片是解本题的关键。3．（2022•龙岗区）菱形纸片依据规律拼成如图的图案，第（）个图案中恰好有2020个菱形纸片。A．674 B．672 C．673 D．680【思路引导】第1个图案有4个菱形纸片，即3×1+1；第2个图案有7个菱形纸片，即3×2+1；第3个图案有10个菱形纸片，即3×3+1；……第n个图案中菱形纸片的个数为：3n+1。【规范解答】解：3n+1＝20203n＝2019n＝673答：第673个图案中恰好有2020个菱形纸片。故选：C。【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，发觉每多1个图案就多3个菱形纸片是解本题的关键。4．（2021•台山市）3.28532853……的小数部分第2021位上的数字是（）A．3 B．2 C．8 D．5【思路引导】依据题意，小数点后面每4位数一循环，计算第2021位是第几组循环零几位，即可推断是几。【规范解答】解：2021÷4＝505（组）……1（位）答：小数部分第2021位上的数字是2。故选：B。【考点评析】先找到规律，再依据规律求解，找到循环节做题即可。5．（2022•揭东区）找规律填一填，1.2，2.4，4.8，（），19.2。A．9.6 B．7.2 C．10.8【思路引导】依次乘2。【规范解答】解：1.2，2.4，4.8，9.6，19.2。故选：A。【考点评析】通过观看，分析、归纳发觉其中的规律，并应用发觉的规律解决问题是应当具备的基本力量。6．（2022•香洲区）把同样的小棒按下面的方式摆放，第9个图形需要（）根小棒。A．24 B．27 C．30【思路引导】①图的小棒根数是3+3，②图的小棒根数是3+3+3，③图是3+3+3+3……第9个图应是3×10个。【规范解答】解：依据分析可得：小棒数＝3×（挨次数+1）第9个图小棒数＝3×（9+1）＝3×10＝30（根）故选：C。【考点评析】本题关键是找到规律，考查了同学认真观看，擅长发觉的良好品质。7．（2022•龙岗区）观看右边的数阵，第七行第1个数是（）第一行1，2其次行3，4，5，6第三行7，8，9，10，11，12第四行13，14，15，16，17，18，19，20A．31 B．43 C．57 D．73【思路引导】依据题意可知，每行数字的个数是行数的2倍，并且这是一组从1开头的有序数列，据此规律可推算出第七行第1个数是几。【规范解答】解：第五行21，22，23，24，25，26，27，28，29，30第六行31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41，42所以第七行第1个数是43。故选：B。【考点评析】解决此题要认真观看图中的数字规律，运用规律解题可以快速、精确     的解决问题。8．（2022•宁津县）小伴侣玩玩耍，老师让小伴侣们站成一排，并从第一位开头依照1、2、3循环报数，最终一位小伴侣报的数是2，请问，这一排可能有（）个小伴侣．A．25 B．26 C．27 D．28【思路引导】依据题意，每3个小伴侣一循环，由于最终一个报的是2，所以小伴侣的个数应当是3的倍数多2人．分别计算各选项人数，即可找到符合题意的选项。【规范解答】解：25÷8＝3（组）……1（个）26÷3＝8（组）……2（个）27÷3＝9（组）28÷3＝9（组）……1（个）所以26个小伴侣最终一个报数是2。答：这一排可能有26个小伴侣。故选：B。【考点评析】先找到规律，再依据规律求解。9．（2021•南海区）如图，用棋子摆方阵，那么，图n要摆（）枚棋子。A．4n B．4n﹣1 C．4n+1 D．4（n﹣1）【思路引导】图①有5枚棋子，图②有9枚棋子，图③有13枚棋子，图④有17枚棋子……，可得数列：5，9，13，17……，这是一个等差数列，依据等差数列求项公式“an＝a1+（n﹣1）d”解答即可。【规范解答】解：an＝a1+（n﹣1）d＝5+（n﹣1）×（9﹣5）＝5+4（n﹣1）＝5+4n﹣4＝4n+1答：图n要摆（4n+1）枚棋子。故选：C。【考点评析】把握等差数列求项公式“an＝a1+（n﹣1）d”是解答本题的关键。10．（2022•龙岗区）按如图的规律摆图形，第n个图形的周长是（）cm。（每个小正方形的边长是1cm）A．3n+4 B．4n+2 C．2n+4 D．5n+2【思路引导】从题中可以看出，第1个图形的周长是6cm，6＝2×1+4，第2个图形的周长是8cm，8＝2×2+4第3个图形的周长是10cm，10＝2×3+4，……第n个图形的周长是：2n+4。【规范解答】解：第1个图形的周长是6cm，6＝2×1+4，第2个图形的周长是8cm，8＝2×2+4第3个图形的周长是10cm，10＝2×3+4，……第n个图形的周长是：2n+4。故选：C。【考点评析】解决此类探究性问题，关键在观看、分析已知数据，查找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律。11．（2022•龙岗区）一种传染性特殊强的病毒，人一旦感染就会发热咳嗽，而且每24小时会传染给其它两个人，被传染的人，每24小时又会传染给另外两个人。现在小新不当心感染了，假如不预防把握和治疗，经过72小时，包括小新在内共有（）人感染这种病毒。A．9 B．18 C．27 D．无法确定【思路引导】72小时里面有3个24小时，已知24小时就会传染给两个人，第一个24小时，传染给2个人，这样就有3个人感染病毒；其次个24小时，3个病人就会传染给6个人，这样一共有9个人感染病毒；第三个24小时，9个病人就会传染给18个人，这样感染病毒一共有9+18＝27个人；据此解答即可。【规范解答】解：72÷24＝3第一个24小时，小新传染给2个人，这样就有1+2＝3个人感染病毒；其次个24小时，3个病人就会传染给3×2＝6个人，这样一共有3+6＝9个人感染病毒；第三个24小时，9个病人就会传染给9×2＝18个人，这样一共有9+18＝27个人感染病毒。答：经过72小时，包括小新在内共有27个人感染这种病毒。故选：C。【考点评析】解答本题的关键是从较小的数据动身，找出规律，从而解决问题。12．（2021•麻章区）有一串彩灯依据1红、2黄、3蓝排列，第60个彩灯是（）色的A．红 B．黄 C．蓝【思路引导】依据按1红、2黄、3蓝的挨次排列，可得每个循环有1+2+3＝6（个）彩灯，用60除以6，求出第60个彩灯是第几个循环的第几个，进而推断出它的颜色即可。【规范解答】解：1+2+3＝6（个）60÷6＝10（组）那么第60个彩灯是蓝色的。故选：C。【考点评析】解决这类问题往往是把重复消灭的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再依据规律求解。13．（2021•宝安区）一串珠子，按2个红色，3个黄色，4个蓝色，2个红色，3个黄色，4个蓝色……规律排列，第120个珠子的颜色是（）色。A．红 B．黄 C．蓝 D．白【思路引导】依据题干可知，这串珠子是按2个红色，3个黄色，4个蓝色，一组共：2+3+4＝9（个）珠子循环排列的，求出第120个珠子是几组循环零几个，零几个就是每组循环中的第几个珠子，即能知道其颜色。【规范解答】解：2+3+4＝9（个）120÷9＝13（组）......3（个）余数是3，所以是每组循环中第3个珠子，第3个珠子是黄色的。故选：B。【考点评析】找到这组图形排列的周期特点，是解决本题的关键。二．填空题（共14小题）14．（2022•电白区）学校在运动场边挂起了一排彩灯，从第一盏开头依据3盏红灯，2盏黄灯，1盏绿灯，2盏蓝灯重复地排下去，第2022盏灯是绿灯。【思路引导】每（3+2+1+2）盏一循环，计算第2022盏是第几组循环零几盏，即可推断其颜色。【规范解答】解：2022÷（3+2+1+2）＝2022÷8＝252（组）……6（盏）答：第2022盏灯是绿灯。故答案为：绿。【考点评析】先找到规律，再依据规律求解。15．（2022•超群区）如图，第4个小正方形的点数是14个；第n个图的点数是（3n+2）个。【思路引导】第1个小正方形的点数是5；第2个小正方形的点数是5+3；第3个小正方形的点数是5+3+3；……第n个小正方形的点数是5+3（n﹣1）＝（3n+2）个。据此解答。【规范解答】解：第1个小正方形的点数是5；第2个小正方形的点数是5+3；第3个小正方形的点数是5+3+3；第4个小正方形的点数是5+3+3+3＝14（个）；……第n个小正方形的点数是5+3（n﹣1）＝（3n+2）个。答：第4个小正方形的点数是14个；第n个图的点数是（3n+2）个。故答案为：14；（3n+2）。【考点评析】主要考查了同学通过特例分析从而归纳总结出一般结论的力量。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。16．（2022•坪山区）图的图案是按规律排列的。照这样的规律第4个图案上有14朵花。【思路引导】依据图示可知，第n个图形花的朵数是：5+3（n﹣1）＝（3n+2）朵。据此解答。【规范解答】解：3×4+2＝12+2＝14（朵）答：第4个图案上有14朵花。故答案为：14。【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培育同学的观看力量和总结力量。17．（2022•英德市）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化状况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是亮的。【思路引导】依据题意，照明灯是依据“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒是亮，第7秒是暗……”每6个一循环，计算第47秒是第几组零几个，即可推断明暗。【规范解答】解：47÷6＝7（组）•••••••5（秒）答：第47秒是亮。故答案为：亮。【考点评析】明确排列的周期特点，是解决本题的关键，解答本题先找到规律，再依据规律求解。18．（2022•龙华区）2000多年前，古希腊毕达哥拉斯在沙滩上画点或用小石子来表示数，依据点或小石子能排列的外形对数进行分类（如图），1，3，6，10……由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数。依据这样的规律，第11个三角形数有66个小石子。【思路引导】通过观看可看出，三角形石子的排列规律是：后一堆是在前一堆的下方添了连续的自然数个石子。三角形数的排列是：1，3，6，10，……规律是1，1+2，1+2+3，1+2+3＝4，……。照此规律可求得第11个三角形数。【规范解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝（1+11）+（2+10）+……+6＝12×5+6＝66故答案为：66。【考点评析】本题关键是先找到规律，依据规律求出答案。19．（2022•海丰县）如图，一张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人。像这样18张桌子拼起来可坐38人。【思路引导】一张桌子坐4人，两张桌子坐6人，三张坐8人；第一张坐4人，可以看出每张在桌子坐2人加上两端的2人，以后每增加1张桌子就增加2人；所以可写为（2n+2）人一张方桌坐4人，每多一张方桌就多两个人，按此规律可知4张方桌和n张方桌坐人的个数，得出规律：n张方桌，则所坐人数是4+2（n﹣1）＝2n+2，当2n+2＝38时，求n的值即可。【规范解答】解：一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人；假如是n张方桌，则所坐人数是4+2（n﹣1）＝（2n+2）人2n+2＝382n＝36n＝18答：像这样18张桌子拼起来可坐38人。故答案为：18。【考点评析】主要考查了同学通过特例分析从而归纳总结出一般结论的力量。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。20．（2022•电白区）如图，用小棒摆六边形，摆n个正六边形，需要（5n+1）根小棒。【思路引导】依据图示，每增加一个正六边形，就增加5根小棒，据此可以总结出摆n个正六边形需要（5n+1）根小棒，据此解答即可。【规范解答】解：摆n个正六边形需要（5n+1）根小棒。故答案为：（5n+1）。【考点评析】本题考查了图形的变化规律学问，结合题意分析解答即可。明确每增加一个正六边形，就增加5根小棒是解答关键。21．（2022•梅县区）88个小球排成一排，依据此规律，第30个小球是黑色的，这些球中白球一共有12个。【思路引导】每5个图形一循环，计算第30个图形是第几组循环零几个，依据余数即可推断最终一个是什么颜色，再依据每组中白球的个数及组数，计算白球的个数即可。【规范解答】解：30÷5＝6（组）6×2＝12（个）答：第30个小球是黑色的，这些球中白球一共有12个。故答案为：黑，12。【考点评析】先找到规律，再依据规律求解。22．（2022•龙川县）六（1）班同学进行毕业联欢会，用气球装饰教室，按下面的规律，第72个气球是黄色。【思路引导】依据题干可知，气球依据颜色特点排列规律是：依据1红、2黄、2绿的挨次排列，每5个气球为一个循环周期，由此用所求气球总数除以5计算出72个气球是第几个周期的第几个即可，再进一步求解即可。【规范解答】解：5个气球为一个周期。72÷5＝14……2余数是2，所以第72个气球是第14组的第2个，是黄色的。答：第72个气球是黄颜色。故答案为：黄。【考点评析】解决这类问题关键是把重复消灭的部分看成一组，依据除法的意义，求出总数量里面有多少个这样的一组，还余几，然后依据余数进行推算。23．（2022•罗湖区）杨辉三角（如图）是中国古代数学珍宝之一，认真观看如图中数字排列规律，“？”代表的是数字5。【思路引导】观看发觉，每行中的数字除两边都是1以外，其它数都是上一行与之相邻的两数的和，据此解答即可。【规范解答】解：4+1＝5答：“？”代表的是数字5。故答案为：5。【考点评析】通过观看，分析、归纳发觉其中的规律，并应用发觉的规律解决问题是应当具备的基本力量。24．（2022•惠州）联欢晚会前，布置教室依据“1个黄气球，2个红气球，1个蓝气球”的挨次依次把气球挂起来装饰，第36个气球是蓝气球。。【思路引导】每（1+2+1）个气球一循环，计算第36个气球是第几组循环零几个，即可推断其颜色。【规范解答】解：36÷（1+2+1）＝36÷4＝9（组）答：第36个气球是蓝气球。故答案为：蓝气球。【考点评析】先找到规律，再依据规律求解。25．（2022•化州市）如图所示，第一个图案中有2个正方形，第2个图案中有5个正方形，第3个图案中有8个正方形……则第5个图案中有14个正方形，第n个图案中有（3n﹣1）个正方形。【思路引导】第①个图案有2个正方形，第②个图案比第①个图案增加了2个小正方形和1个由4个小正形组成的正方形，有5个正方形，第③个图案比第②个图案增加了2个小正方形和1个由4个小正形组成的正方形，有8个正方形……后一个图案比前一个图案多3个正方形，图案序数与正方形个数的关系是：正方形个数＝图案序数×3﹣1。【规范解答】解：5×3﹣1＝14（个）答：第5个图案中有14个正方形，第n个图案中有（3n﹣1）个正方形。故答案为：14，（3n﹣1）。【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，发觉后一个图案比前一个图案增加2个小正方形和1个由4个小正方形组成的正方形是解本题的关键。26．（2022•惠来县）如图，笑笑用小棒搭三角形，照这样的摆放方式，搭第5个图形需要11根小棒，搭第n个这样的图形需要（1+2n）根小棒。【思路引导】观看题干，搭一个三角形需要3根小棒，搭两个三角形需要5根小棒，搭三个三角形需要7根小棒，以后每增加1个三角形就增加2根小棒，则知搭n个三角形需要（2n+1）根小棒，由此即可推理出一般规律。【规范解答】解：摆一个三角形需要3根小棒，可以写成1+1×2；摆2个三角形需要5根小棒，可以写成1+2×2；摆3个三角形需要7根小棒，可以写成1+3×2；摆5个三角形需要小棒：1+5×2＝11（根），……所以摆n个三角形需要（1+2n）根小棒，答：搭第5个图形需要11根小棒，搭第n个这样的图形需要（1+2n）根小棒。故答案为：11，（1+2n）。【考点评析】本题考查规律型问题中的图形变化问题，这类题型在中考中经常消灭；对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的。27．（2022•龙川县）摆三角形。三角形个数摆成的图形小棒根数132537………（1）用含有字母的式子表示摆n个三角形需要的小棒根数是2n+1。（2）假如摆50个三角形，需要101根小棒。【思路引导】搭第一个图形需要3根火柴棒，结合图形，发觉：后边每多一个图形，则多用2根火柴。【规范解答】解：（1）要搭n个三角形时，需要小棒：3+2（n﹣1）＝2n+1（根）（2）摆50个三角形，需要小棒：3+2×（50﹣1）＝3+98＝101（根）答：假如摆50个三角形，需要101根小棒。故答案为：2n+1，101。【考点评析】此题考查了规律型中的图形变化问题，要能够从图形中发觉规律：搭第n个图形，需要3+2（n﹣1）＝2n+1（根）。三．解答题（共3小题）28．（2018•始兴县）按下图方式摆放餐桌和椅子，n张餐桌可坐多少人？列表试试看．桌子张数1234…可坐人数6…（1）摆10张桌子可以坐多少人？（2）有62人用餐，需要摆多少张桌子？【思路引导】观看摆放的餐桌和椅子图示，得到摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，…从中得到一个规律，那么依据摆放规律，就能表示出摆放n张餐桌，应放的椅子数．【规范解答】解：由图示，摆放1张，2张，3张，4张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，18，…6＝4×1+210＝4×2+214＝4×3+2桌子张数1234…可坐人数6101418……，那么，摆放n张餐桌应放的椅子数为：4n+2．（1）当n＝10时，4×10+2＝42（人），答：10张桌子可以坐42人．（2）当4n+2＝62时，