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文档简介

新疆巴楚县一中2025届数学高三第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④2.已知不重合的平面和直线,则“”的充分不必要条件是()A.内有无数条直线与平行 B.且C.且 D.内的任何直线都与平行3.单位正方体ABCD-,黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥,黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(iN*).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两蚂蚁的距离是()A.1 B. C. D.04.已知等差数列的前项和为,,,则()A.25 B.32 C.35 D.405.如图,已知平面,,、是直线上的两点,、是平面内的两点,且,,,,.是平面上的一动点,且直线,与平面所成角相等,则二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.6.已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为()A.6 B.3 C. D.7.己知,,,则()A. B. C. D.8.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.9.在中,点为中点,过点的直线与,所在直线分别交于点,,若,,则的最小值为()A. B.2 C.3 D.10.已知定义在上函数的图象关于原点对称,且,若,则()A.0 B.1 C.673 D.67411.设复数,则=()A.1 B. C. D.12.如图,抛物线:的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,若直线与以为圆心,线段(为坐标原点)长为半径的圆交于,两点,则关于值的说法正确的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____14.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_________,该几何体的表面积为_________.15.已知数列中,为其前项和,,,则_________,_________.16.已知为双曲线:的左焦点,直线经过点,若点,关于直线对称,则双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动,当天各店铺销售额破十亿,为了提高各店铺销售的积极性,采用摇号抽奖的方式,抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额(单位:千元)的频率分布直方图.(1)求抽取的这家店铺,元旦当天销售额的平均值;(2)估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家;(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案,销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究,求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.18.(12分)已知函数,且曲线在处的切线方程为.(1)求的极值点与极值.(2)当,时,证明:.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为、,焦距为2,直线与椭圆交于两点(均异于椭圆的左、右顶点).当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时,四边形的面积为6.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线的斜率分别为.①若,求证:直线过定点;②若直线过椭圆的右焦点,试判断是否为定值,并说明理由.20.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.21.(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,M、N分别为、的中点.​(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.22.(10分)如图,在四棱锥中,,,,和均为边长为的等边三角形.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、B【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行,则相交或,排除;B.且,故,当,不能得到且,满足;C.且,,则相交或,排除;D.内的任何直线都与平行,故,若,则内的任何直线都与平行,充要条件,排除.故选:.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.3、B【解析】

根据规则,观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点,得到每爬1步回到起点,周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点,即可计算出它们的距离.【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即过1段后又回到起点,可以看作以1为周期,由,白蚂蚁爬完2020段后到回到C点;同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点,所以它们此时的距离为.故选B.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题,考查空间想象与推理能力,属于中等题.4、C【解析】

设出等差数列的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则,解得,∴,即有.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前项和公式的应用,属于容易题.5、B【解析】

为所求的二面角的平面角,由得出,求出在内的轨迹,根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【详解】,,,,同理为直线与平面所成的角,为直线与平面所成的角,又,在平面内,以为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则,设,整理可得:在内的轨迹为为圆心,以为半径的上半圆平面平面,,为二面角的平面角,当与圆相切时,最大,取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依据题目选择方法求出结果.6、B【解析】

求得直线的方程,画出曲线表示的下半圆,结合图象可得位于,结合点到直线的距离公式和两点的距离公式,以及三角形的面积公式,可得所求最小值.【详解】解:曲线表示以原点为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点),如图,直线的方程为,可得,由圆与直线的位置关系知在时,到直线距离最短,即为,则的面积的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积最值,解题关键是掌握直线与圆的位置关系,确定半圆上的点到直线距离的最小值,这由数形结合思想易得.7、B【解析】

先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【详解】因为,,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.8、A【解析】

设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.9、B【解析】

由,,三点共线,可得,转化,利用均值不等式,即得解.【详解】因为点为中点,所以,又因为,,所以.因为,,三点共线,所以,所以,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为1.故选:B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10、B【解析】

由题知为奇函数,且可得函数的周期为3,分别求出知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数,故;因为,故,可知函数的周期为3;在中,令,故,故函数在一个周期内的函数值和为0,故.故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.11、A【解析】

根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【详解】复数,则故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.12、A【解析】

利用的坐标为,设直线的方程为,然后联立方程得,最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意,得点的坐标为.设直线的方程为,点,的坐标分别为,.讨论:当时,;当时,据,得,所以,所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题,解题核心在于联立直线与抛物线的方程,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2025【解析】

利用赋值法,结合展开式中各项系数之和列方程,由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的系数.【详解】依题意,令,解得,所以,则二项式的展开式的通项为:令,得,所以的系数为.故答案为:2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和,考查二项式展开式指定项系数的求法,属于基础题.14、;【解析】试题分析:如图:此几何体是四棱锥,底面是边长为的正方形,平面平面,并且,,所以体积是,解得,四个侧面都是直角三角形,所以计算出边长,表面积是考点:1.三视图;2.几何体的表面积.15、8(写为也得分)【解析】

由,得,.当时,,所以,所以的奇数项是以1为首项,以2为公比的等比数列;其偶数项是以2为首项,以2为公比的等比数列.则,.16、【解析】

由点,关于直线对称,得到直线的斜率,再根据直线过点,可求出直线方程,又,中点在直线上,代入直线的方程,化简整理,即可求出结果.【详解】因为为双曲线:的左焦点,所以,又点,关于直线对称,,所以可得直线的方程为,又,中点在直线上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因为,所以.故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质,先由两点对称,求出直线斜率,再由焦点坐标求出直线方程,根据中点在直线上,即可求出结果,属于常考题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)元;(2)32家;(3)分布列见解析;【解析】

(1)根据频率分布直方图求出各组频率,再由平均数公式,即可求解;(2)求出的频率即可;(3)中的个数的所有可能取值为,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【详解】(1)频率分布直方图销售额的平均值为千元,所以销售额的平均值为元;(2)不低于元的有家(3)销售额在的店铺有家,销售额在的店铺有家.选取两家,设销售额在的有家.则的所有可能取值为,,.,,所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.18、(1)极小值点为,极小值为,无极大值;(2)证明见解析【解析】

先对函数求导,结合已知及导数的几何意义可求,结合单调性即可求解函数的极值点及极值;令,问题可转化为求解函数的最值,结合导数可求.【详解】(1)由题得函数的定义域为.,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上单调递增.令,得∴在上单调递减∴的极小值点为,极小值为,无极大值.(2)证明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上单调递增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题,考查利用导数证明不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.19、(1);(2)①证明见解析;②【解析】

(1)由题意焦距为2,设点,代入椭圆,解得,从而四边形的面积,由此能求出椭圆的标准方程.(2)①由题意,联立直线与椭圆的方程,得,推导出,,,,由此猜想:直线过定点,从而能证明,,三点共线,直线过定点.②由题意设,,,,直线,代入椭圆标准方程:,得,推导出,,由此推导出(定值).【详解】(1)由题意焦距为2,可设点,代入椭圆,得,解得,四边形的面积,,,椭圆的标准方程为.(2)①由题意,联立直线与椭圆的方程,得,,解得,从而,,,同理可得,,猜想:直线过定点,下证之:,,,,三点共线,直线过定点.②为定值,理由如下:由题意设,,,,直线,代入椭圆标准方程:,得,,,,(定值).【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线过定点的证明,考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法,考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题.20、(1)见解析,0(2)【解析】

(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可;(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:(1)的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为:13所以(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题,此时的概率为(或).【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.21、(1

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