黑龙江哈尔滨市第三十二中学2025届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

黑龙江哈尔滨市第三十二中学2025届高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若椭圆对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）A. B.C.或 D.以上都不对2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）A.4 B.12C.15 D.183．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（）A. B.C. D.4．用这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”（）A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件C.是对立事件 D.是不可能事件5．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.6．已知函数在处取得极小值，则（）A. B.C. D.7．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.8．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）A. B.C. D.9．我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（）A.96 B.48C.24 D.1210．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为（）A.-20 B.-15C.-6 D.1511．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有1个白球”和“都是红球”B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D.“至多有1个白球”和“都是红球”12．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，且，则_______.14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.15．抛物线上的点到其焦点的最短距离为_________.16．已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代码1234人均年纯收入y/百元25283235（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）参考公式：，参考数据：，.18．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.19．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程.20．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率21．（12分）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为，且椭圆C1与抛物线C2：y2=2px（p>0）在第一象限的交点为Q，已知.（1）求的面积（2）求抛物线C2的标准方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求椭圆的方程.【详解】由题意可得，解得，，由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为或.故选：C.2、C【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，由题设有，，故公差为.故中间一尺的重量为所以这5项和为.故选：C.3、A【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线的距离求解.【详解】圆：的圆心为，半径，设四边形的面积为，由题设及圆的切线性质得，，∵，∴，圆心到直线的距离为，∴的最小值为，则的最小值为，故选：A4、B【解析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.故选：B.5、A【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A6、A【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.【详解】由条件可知，，，解得：，，检验，时，当，得或，函数的单调递增区间是和，当，得，所以函数的单调递减区间是，所以当时，函数取得极小值，满足条件.所以.故选：A7、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D8、B【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误故选：B9、C【解析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.第一天走了里，第4天走了.故选：C10、C【解析】先由只有第4项的二项式系数最大，求出n=6；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出,用通项公式求出的项的系数.【详解】∵在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，∴在的展开式有7项，即n=6；而展开式的所有项的系数和为0，令x=1，代入，即，所以.∴是展开式的通项公式为：，要求含的项，只需，解得，所以系数为.故选：C11、C【解析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球,与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.12、B【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可【详解】根据题意可得：，，，故数列为周期数列可得：故答案为：14、【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.【详解】，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.15、1【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助函数性质计算作答.【详解】抛物线的焦点，设点为抛物线上任意一点，于是有，当且仅当时取“=”，所以当，即点P为抛物线顶点时，取最小值1.故答案为：116、##【解析】根据线面平行列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）散点图见解析；（2），能够脱贫.【解析】（1）直接画出点即可；（2）利用公式求出与，即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.【小问1详解】画出y关于x的散点图，如图所示：【小问2详解】根据表中数据，计算，，又因为，，所以，，关于的线性回归方程，当时，（百元），估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.18、（1）在、上是增函数，在上是减函数；（2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】由（1）可知，函数在，，上为增函数，在上为减函数，，（1），，，在区间，上的最大值为2，最小值为19、（1）；（2）或或.【解析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【小问1详解】因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.20、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟（2）【解析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为，由题意得，解得所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟【小问2详解】由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，所以从名学生中抽取名的样本空间，共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”则，共有个样本点，所以这名学生中，两组各有名的概率21、（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，计算即可求解；（2）假设线段上存在点符合题意，设可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【详解】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则，，，.不妨设平面的一个法向量,则有，即，取.设直线与平面所成的角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为；（2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值.设，则,从而，，.设平面的法向量,则有，即，取.设平面的法向量,则有，即，取.,解得：或（舍）,故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点【点睛】求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角