2025届湘潭市重点中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2025届湘潭市重点中学数学高二上期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在空间四边形中，（）A. B.C. D.2．设是可导函数，当，则（）A.2 B.C. D.3．已知，则（）A. B.C. D.4．若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆，且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为，则下列满足题意的方程为（）A. B.C. D.5．是等差数列，且，，则的值（）A. B.C. D.6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（）A. B.C. D.7．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8．命题“，均有”的否定为（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有9．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（）A. B.C. D.10．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若(为坐标原点)，则双曲线的离心率为（）.A. B.C. D.11．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C.对任意， D.对任意，12．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”，下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列前项和为，且，则_______.14．年月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为___________15．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________16．已知抛物线的焦点与的右焦点重合，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？18．（12分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程20．（12分）已知各项均为正数的等比数列{}的前4项和为15，且.（1）求{}的通项公式；（2）若，记数列{}前n项和为，求.21．（12分）(1)已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围(2)设命题p：；命题q：，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围22．（10分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.【详解】根据向量的加法、减法法则得.故选：A.2、C【解析】由导数的定义可得，即可得答案【详解】根据题意，，故.故选：C3、B【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】.故选：B.4、A【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切，所以矩形两边长分别为，由矩形面积为48，得，对于选项B，D由于，不符合条件，不正确.对于选项A，，满足题意.对于选项C，不正确.故选：A.5、B【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，所以故选：B6、B【解析】求出，根据点到直线的距离的向量公式进行求解.【详解】因为，为的一个方向向量，所以点到直线的距离.故选：B7、D【解析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.【详解】函数的定义域为，，在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分离参数得，所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.8、C【解析】全称命题的否定是特称命题【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“，均有”的否定为“，使得”故选：C9、C【解析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，，，，故选：C10、A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由到渐近线的距离为，所以，又，所以，因为，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：A.11、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.12、A【解析】由题意可得，所给的椭圆中的，的值求出的值，进而判断所给命题的真假【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即，即，中，，，所以，故，所以正确；中，，，所以，所以不正确；中，，，所以，所以不正确；中，，，所以，所以不正确；故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、，.【解析】由的递推关系，讨论、求及，注意验证是否满足通项，即可写出的通项公式.【详解】当时，，当且时，，而，即也满足，∴，.故答案为：，.14、【解析】根据题意由a-c=439+6371，a+c=2384+6371，求得2a即可.【详解】设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意得：a-c=439+6371，a+c=2384+6371,两式相加得：2a=15565，因为椭圆上任意两点间的距离的最大值为长轴长2a,所以卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为，故答案为：1556515、【解析】首先利用椭圆的对称性和为平行四边形，可以得出、两点是关于轴对称，进而得到；设，，，从而求出，然后由，利用，求得，最后根据得出离心率【详解】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，、两点是关于轴对称的由题知：四边形为平行四边形，所以可设，，代入椭圆方程解得：设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形对点：解得：根据：得：故答案为：16、【解析】求出抛物线的焦点坐标即为的右焦点可得答案.【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，由题意知表示焦点在轴的椭圆，在椭圆中：，所以，因为，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.【小问1详解】记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是【小问2详解】记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，，，，，，，故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为18、（1）（2）【解析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.【小问1详解】三点共线，【小问2详解】①②①—②得19、（1）（2）或【解析】(1)把点的坐标代入方程即可；(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为又因为点在抛物线C上，所以，解得，所以抛物线的方程为；【小问2详解】抛物线C的焦点为，当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设直线l交抛物线的两点坐标为，，由得，，，，由抛物线得定义可知，所以，解得，即，所以直线l的方程为或20、（1）（2）【解析】（1）设正项的等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由，结合乘公比错位相减求和，即可求解.小问1详解】解：设正项的等比数列的公比为，显然不为1，因为等比数列前4项和为且，可得，解得，所以数列的通项公式为.【小问2详解】解：由，所以，可得，两式相减得，所以.21、（1）（2）【解析】根据复合命题的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集【详解】命题p：，即；命题，即；由于“”为真命题，则p真q假，从而由q假得，，所以x的取值范围是命题p：，即命题q：，即由于是的充分不必要条件，则p是q的充分不