2022年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形同步单元教案

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等；

2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质，并解决相关简单的问题.

【过程与方法】

掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.

【情感、态度与价值观】

联系学生的生活环境，创设情景，使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识，激发

学生的学习兴趣.

◊教学重难点◊

【教学重点】

全等三角形的性质及其应用.

【教学难点】

能正确地识别全等三角形的对应元素.

◊教学过程◊

一、情境导入

观察下面这些图形,它们能够完全重合吗？

二、合作探究

探究点1全等形的概念

典例1下列四组图形中，是全等图形的一组是（）

Oo口□FPHFFR

ABCD

［解析］观察图形的特点可发现：48,，中的两个图形大小不同，〃则完全相同.

［答案］D

探究点2全等三角形的概念

典例2如图，如果比上N%C=NM,N6=N〃对于以下结论：

①46与5是对应边;②“1与G4是对应边;③点/与点力是对应顶点;④点。与点C是对应顶点;⑤乙

与是对应角.其中正确的是（）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

［解析］AB与切是对应边，①正确;〃'与。是对应边，②正确；点4与点C是对应顶点，③错误;点。与

点A是对应顶点,④错误；ZACB与/CAD是对应角,⑤正确.

［答案］B

探究点3全等三角形的性质

典例3如图，△"隹△力'6'C/力龙=90°,/4'0=20°,则N6纺'的度数为（）

A.20°

B.40°

C.70°

D.90°

［解析］'：MAC监XNCB',

:.NACB=NA'CB',

:.NBCB'=NA'CB'-NA'CB=7Q；

［答案］C

归纳总结

全等三角形的性质：能够重合的边是对应边,重合的角是对应角；对应边所对的角是对应角，对应角

所对的边是对应边；两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；两个全等三角形最大的

角是对应角，最小的角也是对应角.

探究点4利用全等三角形的性质解决问题

典例4

如图所示，XAB哈/\ACD,/夙C=90°.

⑴求N8的大小；

（2）判断/〃与区的位置关系,并说明理由.

［解析］2：&AB恒&ACD,

：.AB=AC.

又劭C=90°,.\/QNU45°.

⑵ADLBC.

理由：/\ABD^^\ACD,

:.NBDA=NCDA.

'：ZBDA+ZCDA=18O0,

:.NBDA=NCDA=90°，,ADLBC.

三、板书设计

全等三角形

全等

'全等形

（定义

表示方法（符号语言）

一名山全等三角形4（平移

i”变换方式1翻折

【（旋转

全等三角形的性质

、全等三角形性质应用

◊教学反思◊

由于学生学习平面几何的时间不长,识图能力还比较薄弱，学生的思维依赖于具体的直观形象，在

教学时借助几何画板演示图形的形成与变换，来帮助学生更好地发现理解图形的特征，尤其对于较复杂

的几何图形中的对应边、对应角，方便学生迅速地找出，简化难点.

12.2三角形全等的判定

第1课时利用三边判定三角形全等(SSS)

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.掌握边边边条件的内容；

2.能初步应用边边边条件判定两个三角形全等.

【过程与方法】

经历探索三角形全等条件的过程,体会用操作、归纳得出数量结论的过程.

【情感、态度与价值观】

通过探索三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好品质以

及发现问题的能力.

◊教学重难点◊

【教学重点】

判定三角形全等的条件.

【教学难点】

理解边边边条件判定三角形全等.

◊教学过程◊

一、情境导入

在课堂上,老师要求同学们每人画一个三角形，使三角形的三边长分别为3cm,5cm,7cm,老师发现

小明和他同桌画的三角形不一样大，肯定地说,你们看看谁画错了，老师是怎么知道的呢？

二、合作探究

探究点1边边边判定两三角形全等

典例1在4ABe与丛DEF中，AB=DF,AC=DE,CB=EF,那＞么()

A.[\ABC^i\DEF

B.△ABSXDFE

C.△AB84EDF

D.△ABMXEFD

(AB=DF,

［解析］在a'与中，［47=。区.二八4比丝△以旗SSS).

\cB=EF,

［答案］B

探究点2边边边判定两三角形全等的应用

典例2已知：如图夕〃在同一条直线上,加三阳/片以式三能求证:^/比用/^跖

［解析］­：AF=DC,

：.AF~CF=DC-CF,即AC=DF.

(AC^DF,

在△/6C和△颂中,JAB=DE,

、BC=EF,

.,.△^C^AZ^XSSS).

三、板书设计

利用三边判定三角形全等(SSS)

三角形全

判定的条件:边边边

等的判定

.边边边判定两三角形全等的应用

◊教学反思◊

本节课是全等三角形判定的第一节,主要是用SSS判定两个三角形全等,在授课过程中，通过同学们

的操作、交流、互动，基本实现了同学们对全等三角形的判定(SSS)的多层面了解.在实际应用时，应强

调证明格式的问题,但学生在证的过程中，找全等条件还有一定的难度,今后要多加练习.

第2课时利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)

◊教学目标◊

【知识与技能】

掌握边角边条件的内容,能初步应用边角边条件判定两个三角形全等.

【过程与方法】

经历探索三角形边角边判定定理的过程,在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说

理的基本方法.

【情感、态度与价值观】

通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索

的良好品质以及发现问题的能力.

◊教学重难点◊

【教学重点】

边角边判定两三角形全等.

【教学难点】

寻求三角形全等的条件.

◊教学过程◊

一、情境导入

在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一

定全等.给出三个条件时,有四种可能,能说出是哪四种吗？

二、合作探究

探究点1用边角边判定两个三角形全等

典例1如图所示，g。,N1=N2,灯=8C求证:△〃比

［解析］=

AZ1+ZECA=Z2+ZECA,即N/必/旌:

(CA=CD,

在a'和中，(/ACB=ADCE,

\BC=EC,

探究点2边角边判定的应用

\典例2如图，点笈尸在然上"8〃效四=〃求证：国△期

［解析］,:AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,即AF=CEy

'：AB//CD,：.AA=AC,

(AB=CD,

在△/班'与△破"中,{N/=NC

\AF=CE,

.•.△被组△吸(SAS).

探究点3边边角不能判定两三角形全等

---典例3如图，NABC=NDEF,AB=DE,要证明△力成运△磔需要添加一个条件为.(只

添加一个条件即可)

［解析］,/BC=EF,AABC=ADEF,AB=DE,：.△/比丝△㈤^SAS).

［答案］BC=EF

归纳总结

全等三角形我们已经学过2种判定方法,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对

应相等,则找它们的夹角或第三边,用SAS或SSS;若已知一边以及邻角相等,则找角的另一邻边,用SAS,

注意这时不能用角的对边.

三、板书设计

利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)

三角形全

筌的生产/三角形全等的条件二一一边角边

I三角形全等的条件二的应用

◊教学反思◊

本节课的内容是运用“边角边”方法证明两个三角形全等,仍然通过画图验证引入边角边的判定方

法，所设计的例题、练习都是运用“边角边”方法进行证明，学生会用“边角边”判定方法解决实际问

题.

第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)

◊教学目标◊

【知识与技能】

掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件,能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.

【过程与方法】

经历探究全等三角形条件的过程,掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.

【情感、态度与价值观】

通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神.

◊教学重难点◊

【教学重点】

已知两角一边的三角形全等探究.

【教学难点】

灵活运用三角形全等条件证明.

◊教学过程◊

一、情境导入

学完“三角形全等判定”后，小明把一块三角形纸片分为如图四块，分别给了编号为1、2、3、4的

四名同学,要求他们画出与原三角形全等的三角形,则编号为几的同学能完成任务?你的根据是什么？

二、合作探究

探究点1用角边角判定两三角形全等

一典例1根据已知条件，能画出唯一的是()

A.力。=4,四=5,8C=10

B.AC=4,AB=5,/6=60°

C.ZJ=50°,N6=60°,AB=2

I).NC=90°,48=5

［解析］4C+4?=4+5=9<10=8C三边不能组成三角形,A不正确；,.3C=4,45=5,N6=60°,SSA不

能证出两三角形全等，，不能确定唯一的三角形,B不正确；月=50°,/6=60°,/6=2,ASA能证出

两三角形全等，...能确定唯一的三角形,C正确；/C=90°,/6=5不能确定唯一的三角形,D不正确.

［答案］C

探究点2用角角边判定两三角形全等

\一典例2

如图,4B=/D,Z1=Z2.

求证:/XA?走

［解析］VZ1=Z2,

.,.Z1+ZEAC=ZEAC+N2,

即/胡C=N%£

(NB=/D,

在△/回和△/!"中，(N历1C=N%£

\AC=AE,

.•.△/比丝△/庞(AAS).

探究点3判定三角形全等的综合应用

\一典例3如图所示,在下列条件中，不能判断△力峰△%C的条件是()

A.AD=ZC,ABAD=AABC

B.NBAD=AABC,NABD=ABAC

C.BD=AC,4BAD=NABC

\).AD=BC,BD=AC

［解析］A符合AAS,能判断△/应右△为C;B符合ASA,能判断△/应匕△为C;C符合SSA,不能判断△力劭

且△胡C;D符合SSS,能判断屋△力C

［答案］C

三、板书设计

利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)

三角形全

‘三角形全等I两角夹边

的条件三（两角以及一角的对边

等的判定

,三角形全等的条件的应用

◊教学反思◊

本节是全等三角形的ASA,AAS两种判定方法,三角形全等是证明线段相等、角相等的重要方法之一,

对今后的学习是至关重要的，要求学生学好全等三角形，也为后面相似三角形的学习打下了良好的基

础.

第4课时利用斜边、直角边判定直角三角形全等(HL)

◊教学目标◊

【知识与技能】

掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问

题.【过程与方法】

经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.

【情感、态度与价值观】

通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.

◊教学重难点◊

【教学重点】

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.

【教学难点】

解决简单的推理证明问题.

◊教学过程◊

一、情境导入

小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度4c与右边滑梯水平方向的

长度如相等,小明说只要测量出左边滑梯46的长度就可以知道右边滑梯有多高了，小明的说法正确吗？

二、合作探究

探究点1直角三角形全等的判定

典例1如图,用三角尺可按下面的方法画角平分线:在//如的两边上，分别取。再分别

过点M,川作0A,仍的垂线,交点为P,画射线0P,通过证明△〃勿也△。格可以说明0户是N406的角平分

线，那么△。修的依据是()

A

A.SSSB.SASC.AASD.HL

［解析］...两三角尺为直角三角形，护=Nft\P=90°.：〃犷=附；，Rt△〃四出□△

(W(HL).

［答案］D

归纳总结

直角三角形的特殊判定方法HL,是指两个直角三角形具有斜边和一条直角边分别相等时,两个直角

三角形全等.应注意用HL证明全等的格式.

探究点2HL的应用

典例2如图，4人£6四点共线,/d。；劭，仍然=被求证:△力启△应!£

［解析］'：AC1CE,BD，DF,

:.NACE=NBDF=9Q：

〜入「.

在和RtZ\HW中，1{AE=BF,

lAC=BD,

：.Rt△力的Rt△戚(HL),

二ZJ=NB.

•：AE=BF,

：.AE-EF=BF-EF,即AF=BE.

(AF=BE,

在'和△核中，{/Z=NA

\AC=BD,

.,.△JCT^A^(SAS).

探究点3三角形全等判定的综合应用

典例3如图，已知Rt△/比'中，NZ390°,。=能〃是“'上一点，后在比的延长线上，且施

=BD,劭的延长线与力£交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与有何特殊的位置关系，

并说明你猜想的正确性.

［解析］BFYAE.

理由：丁//==90°/6g90°.

又BC=AC,BD=AE,

△川屋△/J£C(HL).ZCBD=ZCAE.

又•.•NO£+N«=90°.

:.NEBF+/E=9G.

N砸'=90°,即即L4£

三、板书设计

利用斜边、直角边判定直角三角形全等(HL)

直角三角形

(直角三角形全等的条件:斜边、

全等的判定(直角边

(直角三角形全等的应用

◊教学反思◊

本节的内容是直角三角形全等的判定方法,主要让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研

究直角三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理

解.

12.3角的平分线的性质

第1课时角的平分线的性质

◊教学目标◊

【知识与技能】

会作一个角的平分线,探索并证明角平分线的性质定理.

【过程与方法】

经历探索角的平分线的性质，提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心，获得解决问题成功体验,逐步培养学生的理性精

神.

◊教学重难点◊

【教学重点】

角的平分线的性质的证明及运用.

【教学难点】

角平分线的性质的探究.

◊教学过程◊

一、情境导入

在纸上任意画一个角，用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?有一个简易平分角的仪器

（如图），其中/6=池,%=网将力点放角的顶点，沿“画一条射线/就是/劭〃的平分线，为什么？

二、合作探究

探究点1角平分线的尺规作图

\一典例1如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C

为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则如是角的平分线的依据是（）

A.SSSB.SAS

C.ASAD.AAS

［解析］由作图可知，和△物中，BA=BC,AD=CD,再加上如为公共边,可有SSS判定两个三角形

全等.

［答案］A

探究点2角平分线的性质

\___典例2如图所示，在RtZ\4必中，/仁90。，4〃平分N为C若比三16,被=10,则点〃到〃的

距离是（）

A.9B.8C.7D.6

［解析］•:BC=16,BD=10,：.CD=6.由角平分线的性质，得点。到46的距离等于CD=6.

［答案］D

探究点3角平分线的性质的应用

\一典例3直线九七A表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的

距离相等,则可选择的地址共有（）

A.一处B.两处C.三处D.四处

［解析］如图，可选择的地址有四处.

［答案］D

【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质，熟记性质及其基本图形是解题的关键,注意分类讨论,不要

漏掉所围成区域外面的三个点.

三、板书设计

角的平分线的性质

（角的平分线作图

角的平分线的性质1角的平分线的性质

（角的平分线性质的应用

◊教学反思◊

本节课的内容为角平分线的性质,注重用数学语言给出条件和结论,让学生熟悉定理的条件和结论

后,再拿一些具体题目让学生在情境当中运用这两个定理.

第2课时角的平分线的判定

◊教学目标◊

【知识与技能】

掌握角平分线性质的逆定理，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.

【过程与方法】

经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.

【情感、态度与价值观】

结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探

索精神，树立学习的信心.

◊教学重难点◊

【教学重点】

角平分线性质和判定的应用.

【教学难点】

运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.

◊教学过程◊

一、情境导入

小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一

个角的平分线.如图，一把直尺压住射线0B,另一把直尺压住射线向并且与第一把直尺交于点£小明说:

“射线8就是N6的的角平分线.”他这样做的依据是什么？

二、合作探究

探究点1角平分线的判定

\一典例1如图，已知点2到AE,AD,8c的距离相等,下列说法:①点。在/以。的平分线上;②点P

在/鹿的平分线上;③点。在/反力的平分线上;④点。在N为C4CBE,N8切的平分线的交点上.其中

正确的说法是（