中考数学压轴大题之经典模型培优案9

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题7弦图与垂直模型

解题策略

----------------------------------------------------Z

模型1:垂直模型

如图：ZD=ZBCA=ZE=90°,BC=AC.,结论：RtABCD^RtACAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂

直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是

我们经常会见到的两种弦图.

三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

模型2：弦图模型

如图，在正方形ABCD中，8F_LCG,CG_1_DH.DHJ_AE,AE_L3EJ"：

△ABE^ABCF^ACDG^ADAH.

经典例题

【例1工（2021.全国.八年级专题练习）如图I,正方形ABC。中，点。是对角线AC的中点，点P是线段

AO上（不与点A,O重合）的一个动点，过点尸作PELP8且PE交边CD于点E.

DD

图1图2

(1)求证：PE=PB；

(2)如图2,若正方形ABC。的边长为2,过点E作EFLAC于点入在点P运动的过程中，P尸的长度是

否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；

(3)用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系.

【答案】(1)见解析；(2)在P点运动的过程中，尸尸的长度不发生变化.尸产的长为定值“；(3)PC=PA+

y/2EC.理由见解析.

【分析】(1)做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明ABMP即可求解.

(2)如图，连接0B,通过证明△OBPWAFPE,得到PF=OB,则PF为定值是或.

(3)根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA=&PM，PC=&NC，整理可得结论.

【详解】(1)证明：如图①，过点P作MN〃A。，交A8于点M,交C。于点M

ZBPE=90°,

:.NMPB+NEPN=9Q°.

•••四边形ABCD是正方形,

；.NBAD=ND=90°.

■：AD//MN,

：.NBMP=NBAD=NPNE=ZD=90,

VZMPB+ZMBP^90°,

：./EPN=NMBP.

在RtZ\PNC中，ZPCN=45°,

•♦.△PNC是等腰直角三角形，

:・PN=CN,

:・BM=CN=PN,

:・/\BMP9ApNE(4SA),

：.PB=PE.

(2)解：在P点运动的过程中，PE的长度不发生变化.

•:点0是正方形ABCD对角线AC的中点，

・•・OBA.AC,

：.ZAOB=90Q,

・・・NAOB=NEFP=90°,

；・NOBP+NBPO=90°.

AZBPE=90°,

AZBP0+Z0PE=9()°,

：,/OBP=/OPE.

由(1)得PB=PE,

：./\OBP^/\FPE(A4S),

:・PF=OB.

VAB=2,△AB。是等腰直角三角形，・・・0B=，=«

・・・PF的长为定值企.

(3)解：PC=PA+aEC.

理由：如图1,VZBAC=45°,

・・・/XAMP是等腰直角三角形，

：.PA=y[2PM.

由（1）知PM=NE,

PA=V2NE.

,/4PCN是等腰直角三角形，

二PC=V2/VC=V2（NE+EC）=&NE+mEC=PA+近EC.

【点睛】本题主要考查了四边形综合应用，通过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求

解是解题的关键.

【例2】.（2021•黑龙江・哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形A8CO中，点E、/在BC、CD

上，KBE=CF,AE与BF交于点G.

（1）如图1,求证AELBF；

（2）如图2,在GF上截取GM=GB,/M4O的平分线交CO于点H,交BF于点、N,连接CM求证：4V+CN

=&BN；

【答案】（I）见解析；（2）见解析；

【分析】（1）根据正方形的性质得AB=8C,/.ABC=乙BCD=90。，用SAS证明△4BE=△BCF,得MAE=

乙CBF,根据三角形内角和定理和等量代换即可得；

（2）过点B作BH1BN,交AN于点”，根据正方形的性质和平行线的性质，用SA5证明A4GB三AAGM,

得NB4G=NM4G,根据角平分线性质得4BHA=NGAN=45。，则△“BN是等腰直角三角形，用SAS证明

△ABHaCBN,得AH=CN,在RtAHBN中,根据勾股定理即可得；

【详解】解：（1）•••四边形A8C。是正方形，

：.AB=BC,Z.ABC=乙BCD=90°,

在AABE和ABCF中，

AB=BC

/.ABE=Z.BCF

BE=CF

：.^ABE=△BCF(SAS),

：.Z.BAE=乙CBF,

\^AEB+Z.BAE=180°-/-ABC=180°-90°=90°,

：.Z.AEBZ.CBF=90°,

:,乙EGB=180°-^AEB+乙CBF)=180°-90°=90°,

：.AELBF；

(2)如图所示，过点8作BH18N,交.AN于点、H,

.四边形ABCD是正方形，

乙

：.AB=ACfZ.ABC=HBN=90°,

■:乙HBN=Z.HBA+乙ABN=90°,

/.ABC=乙CBN+乙ABN=90°,

・"HBA=乙CBN,

由(1)得，AEJ.BF,

：.Z.AGB=zL4GM=90°,

:•乙HBG=Z.AGM=90°,

:.HBL

：./LBHA=乙EAN,

在△AGB和△4GM中，

AG=AG

乙4GB=乙4GM

GB=GM

A△AGB=^AGM(SAS),

"BAG=〃MG,

〈AN平分4ZX4M,

：.Z.DAN=Z.MAN,

，乙BAG+乙MAG+乙MAN+Z.DAN=90°,

2/-MAG+2乙MAN=90°,

Z.MAG+乙MAN=45°,

LGAN=45°,

：.2LBHA=乙GAN=45°,

:.乙BNH=180°一乙HBN-Z.BHA=180°—90°-45°=45°,

是等腰直角三角形，

:・BH;BN,

在△/8”和4CBN中,

BH=BN

乙HBA=乙CBN

AB=CB

：.△ABHw&CBN(SAS),

:・AH=CN,

在RtAHBN中,根据勾股定理

HN=y/BH2+BN2=yflBN，

••AN+CN=AN+AH=HN=&BN;

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角

三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点.

【例3】.(2021•云南曲靖•八年级期末)如图1,在正方形/8C0中，E为8C上一点，连接AE,过点8作14E

于点H,交CD于点、G.

（1）求证：AE=BG；

（2）如图2,连接4G、GE,点M、N、P、Q分别是AB、AG,GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形

状，并说明理由；

（3）如图3,点尸、R分别在正方形ZBCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰

好经过点4过点Z作/O_LFR于点。，若4夕=1,正方形的边长为3,求线段OF的长.

【答案】（I）见解析；（2）四边形MNPQ为正方形，理由见解析；（3）平

【分析】（1）由四边形4BCD为正方形，可得41BC=乙BCD=90°,推得乙4BG+4CBG=90°,由BG_L4E,

可得NB4E+44BG=90°,可证△48E三△BCGQ4s4）即可；

（2）M、N为AB、4G中点，可得MN为△48G的中位线，可证MN〃BG,MN=”G,由点M、N、P、Q分

别是48、4G、GE、EB的中点，可得P。是△BEG的中位线，M。为△ABE的中位线，NP为A4EG的中位线，

可证PQ〃8G,PQ=^BG,MQ//AE,MQ=^AE,NP//AE,NP=^AE,可证四边形MNPQ为平行四边形.再

证四边形MNPQ为菱形，最后证MN_LMQ即可；

（3）延长40交BC于点S,由对称性可得8F=8'尸，AB'=BS=1,AO=SO,由勾股定理可求4s=同,

可得40=14S=叵，设AF=x,在RtAAB'F中，拶+（3一支）2=/,解得％=三，在RtA4。尸中，可求

O八F17=—国•

6

【详解】（1）证明：・・•四边形48CD为正方形，

Az?lBC=zBCD=90o,

・♦•乙4BG+/CBG=90°,

VBGli4F,

，ZAHB=90°,

：.^BAE+AABG=90°,

：.^BAE=“BG,

在△48后与4BCG中，

ZBAE=乙CBG

AB=BC,

.AABC=乙BCD

：.△ABE=△BCG^ASA),

：.AE=BG.

(2)解：四边形MNPQ为正方形，理由如下：

：M、N为AB、AG中点，

为A/IBG的中位线，

C.MN//BG,MN=：BG,

•.•点M、N、P、Q分别是48、AG.GE、EB的中点，

是aBEG的中位线，M。为A4BE的中位线，NP为△4EG的中位线，,

：.PQ//BG,PQ=\BG,MQ//AE,MQ=\AE,NP//AE,NP=^AE,

:.MN=PQ,MQ=NP,

•••四边形MNPQ为平行四边形.

'：AE=BG,

：.MN=MQ,

.,•四边形MNPQ为菱形，

'：BG1AE,MQ//AE,

：.MQ1BG,

\'MN//BG,

：.MN1MQ,

二四边形MNPQ为正方形.

(3)解：延长40交BC于点S,

由对称性可知

BF=B'F,AB'=BS=1,AO=SO,

在RtzMBS中,

4s=7AB2+BS2=V10，

•.iVio

--AOn=-AS=—»

22

设4F=x,则BF=B'F=3—x,

在Rt△4B'F中，

I2+(3-x)2=x2,

5

x=?

.MF=£

在RtA/lOF中，

OF=>/AF^-AO2=J(|)2-(v)2=萼

【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，

勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键.

【例4】.(2021•河南商丘•八年级期中)在平面直角坐标系中，点4的坐标为(4,0),点8为y轴正半轴上的一

个动点，以B为直角顶点，4B为直角边在第一象限作等腰RA4BC.

图1图2图3~

(1)如图1,若0B=3,则点C的坐标为；

(2)如图2,若。B=4,点。为。4延长线上一点，以。为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰MABOE,

连接4E,求证：AELAB；

(3)如图3,以B为直角顶点，0B为直角边在第三象限作等腰RA08F.连接CF,交y轴于点P,求线段BP的

长度.

【答案】⑴点C(3,7)：

(2)证明见详解过程；

(3)2.

【分析】(1)如图1,过点C作CH_Ly轴，由“AAS”可证AABO会△BC“，可得C”=O8=3,BH=AO=4,可

求解；

(2)过点E作轴于F,由“AAS”可证可得80。尸4=,OD=EF,由等腰直角三角形

的性质可得/区4。=45。，ZEAF=ZAEF=45°,可得结论；

(3)由(1)可知I"80g△BCG,可得BO=GC,AO=BG=4,再由“AAS”可证2kCPG丝△FPB,可得PB=PG=2.

⑴

如图1,过点C作CHLy轴于H,

・・・ZCHB=ZABC=ZAOB=90°,

JZBCH+ZHBC=900=ZHBC+AABO,

/./ABO=/BCH,

在448。和4BCH中,

(乙CHB=Z-AOB

=Z.ABO,

(BC=AB

:./XABOtABCH(AAS),

：.CH=OB=39BH=AO=4f

：.0H=7,

，点、C(3,7),

故答案为：(3,7)；

(2)

过点E作EF_Lx轴于凡

・・・/BDO+/EDF=900=/BDO+NDBO,

:./DBO-EDF,

在小BODaiA。产E中,

(/.BOD=乙EFD

\^DBO=乙EDF，

(BD=ED

：./\BOD^ADFE(AAS),

：.BO=DF=4,OD=EF,

・・•点A的坐标为(4,0),

・・・04=08=4,

・•・ZBA045°,

*/0A=DF=4f

J0D=AF=EFf

：.ZEAF=ZAEF=45°f

：.NBAE=90。,

：.BA.LAE；

(3)

过点C作。G，y轴G,

:・BO^GC,A0=BG=4,

•:BF=B0,N086=90。，

:・BF=GC,NCGP=NFBP=90。,

又•：NCPG=/FPB,

:'△CPG妾4FPB(AAS),

:.BP;GP,

：.BP=-BG=2.

2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰

当辅助线构造直角三角形是本题的关键.

【例5】.（2021•黑龙江・哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图1,正方形ABC。中，点E是边BC延长

线上一点，连接。E,过点B作垂足为点F,8F与CO相交于点G.

（1）求证：&BCG44DCE；

（2）如图2,连接B。，若BE=4&,DG=2&,求的值.

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）!

【分析】（I）由正方形的性质结合已知条件，利用4sA判定三角形全等即可；

（2）过点G作G//L8Q垂足为“，由全等求得CG=CE,进一步结合图形求得BC和CG的长，然后在

RTABQC中求得G”和的长，最后在RTABHG中,利用tan/QBG=^,即可求得答案.

【详解】（1）证明：♦・♦四边形A8CO是正方形，

・・・NBCG=NDCE=90。，BC=CD,

■:BF1.DE,

.\ZDFG=ZBCG=90°,

•:/BGC=/DGF,

：.ZCBG=ZCDE.

LCBG=乙CDE

在和△QCE中，BC=CD

/BCG=Z-DCE

:•△BCGW4DCE,

（2）解：过点G作垂足为H,

AD

VABCG^ADCE,

:・CG=CE,

,:BE=BC+CE=4&,DG=CD-CG=2班,

:.BC=CD=3五,CG=CE=y[2,

在???△BDC中，

VZBCD=90°,

:.BD=、CD2+元=]（3夜）2+（3®2=6）

•:NDHG=45。,NDHG=9。。,DG=2y[2,

...”=sin45°=它,

DG2

:・DH=2,

:・GH=DH=2,

•:BH=BD-DH,

，8”=6-2=4,

在R72BHG中,

■:NBHG=90。,

AtanZDBG=—,

BH

/.tanZDBG=-

2

【点睛】本题考查三角形全等的证明，直角三角形中锐角三角函数的定义等相关知识点，熟练掌握数形结

合思想解题是重点.

培优训练

_________________________y

一、解答题

1.（2022•江苏♦八年级课时练习）如图1,在△ABC中，乙4cB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,RAD1MN

TD,

图1图2图3

(1)由图1,证明：DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出OE,AD,BE的等量关系并说明理由；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE,AD,BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量

关系(不必说明理由).

【答案】(1)证明见解析；(2)DE=AD-8E,证明过程见解析；(3)DE=BE-4D,证明过程见解析

【分析】⑴先证明△4OC四△CE8,得至IJAO=CE,DC=BE,进而得到DE=CE+OC=4£)+BE即可；

(2)同(1)中思路，证明△4OC丝△CE8,进而得至ljDE=CE-Z)C=AO-8E即可；

(3)同(1)中思路，证明AAOC丝△CEB,进而得到QE=OC-CE=BE-A。即可.

【详解】解：(1)证明：在AABC中，：乙4cB=90。，

：.Z.ACD+Z.BCE=90°,

,：AD1MN,

C.Z.ACD+/.CAD=90°,

"BCE=/.CAD,

又=BC,/.ADC=乙CEB=90。，

A△ADCCEB(4AS),

：.AD=CE,DC=BE,

•直线MN经过点C,

：.DE=CE+DC=AD+BEi

(2)DE,AD,BE的等量关系为：DE=AD—BE,理由如下：

J.MN于。，BEJ.MN于E

：./-ADC=乙BEC=乙4cB=90°,

：.Z.CAD+/.ACD=90°,Z.ACD+乙BCE=90°,

：.Z.CAD=乙BCE,

I/.CAD=乙BCE

在^ADC^ALCEB中=乙BEC=90°,

(AC=CB

：.^ADC=△CEB(AAS)

：.CE=AD,CD=BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)当MN旋转到图3的位置时，DE.AD,BE所满足的等量关系是。E=BE-AC,理由如下：

•.,4DJ.MN于。，BEJ.MN于E

J./.ADC=乙BEC=/.ACB=90°,

：.Z.CAD+^.ACD=90°,/.ACD+/.BCE=90°,

：.^CAD=乙BCE,

乙CAD=乙BCE

在^TlDCfilACEB中'Z.ADC=乙BEC=90°,

AC=CB

：.△ADCCEB(AAS)

：.CE=AD,CD=BE,

.,.DE=CD-CE=BE-AD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌

握三角形全等的判定方法是求解的关键.

2.(2022•全国•八年级专题练习)如图所示，AABC中，AB=AC,ZB47=90。，点。为48上一点，过点B作

直线CC的垂线，垂足为E,连接4E,过点4作AE的垂线交CE于点F.

图1图2图3

(1)如图1,求乙4EC的度数：

(2)如图2,连接BF,且乙4BF-NE4B=15。，求证：BF=2CF；

(3)如图3,在(2)的条件下，G为CF上一点，连接4G,若="BF,AG=2,求CF的长.

【答案】(1)45°；(2)见解析；(3)2

【分析】(1)先证明4应48=Z.FAC,匕AEB=乙4FC,再证明△4BE三△儿:凡再利用全等三角形的性质结合等

腰直角三角形的性质可得答案；

(2)利用全等三角形的性质先求解4EB尸=60。，证明BE=C凡再求解乙EFB=30。，从而可得结论；

(3)如图，过4作AM1EF于M,交BF于N,连接EN,证明△BEN为等边三角形，再证明△AGM三/kENM,

再利用全等三角形的性质可得答案.

【详解】解：(1)vZ-BAC=90°,AE1AF,

+乙

・•・Z.EAB+Z.DAF=ADAFFAC=90°f/.EAF=90。，

:.Z.EAB=Z.FAC,

vBE1CE,

・•・乙BED=90。，

:.Z-AEB=乙BED+LAEF=90°+/LAEF=Z.AFC,即N4EB=Z.AFC,

・•・△ABE=△ACF,

・•・AE=AFfZ.AEC=45°.

(2)•••△ABE三2ACF,

^ABE=/LACFfBE=CFt

・•・Z.AEB=Z.AFC=90°+45°=135°,

・・.LEBA+乙EAB=45°,

vUBF-LEAB=15°,

:.乙ABF=15°+/.EAB,

・•・乙EBF=Z.EBA+Z.ABF=Z.EBA+Z.EAB+15°=60。，

・•・乙BFE=90°-60°=30°,

：.BF=2BE,

TBE=CF,

:・BF=2CF.

BC

图2

(3)如图，过4作4MJ_EF于M,交BF于N,连接EN,

图3

-AE=AF,AM1EF,AE1AF,

・・・EM=MF=AM,NE=NF,

・・・乙NEF=乙NFE=30°,

・•・乙ENB=乙NEF+乙NFE=60°,

・・・乙EBN=乙ENB=60°,

:.△BEN为等边三角形,Z.ENF=120°,

••.BE=BN=*F=FN=EN,

乙

•・•/.AGD=EBF=60°,AM1EFt

・♦・乙ENM=三乙ENF=60。，

乙乙

・・•AM=EMfZ.AMG=EMN=90°,AAGM=ENM=60°,

ALAGM三2ENM,

：.AG=EN=2,

：.CF=BE=2.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边

的一半，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.

3.(2020•北京市第十三中学九年级期中)已知：心zkABC中，ZACB=90°,AC=BC.

、X

B

B

图1图2

（1）如图1,点。是BC边上一点（不与点B,C重合），连接AD,过点8作BELAO,交AO的延长线于

点E,连接CE.

①若NBAD=a,求NDBE的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段E4,EB和EC之间的数量关系，并证明.

（2）如图2,点。在线段BC的延长线上时，连接AZ）,过点B作BELA。，垂足E在线段A£>上，连接CE.

①依题意补全图2；

②直接写出线段EA,EB和EC之间的数量关系.

【答案】（1）①NOBE=45°-a；②AE-BE=近EC,证明见解析;（2）①补全图形见解析;②E8-EA=近EC.

【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到NC48E5。，即可求出/。。=45。-心根据三角形的内角

和即可求出/DBE=ZCAD=45°-a；

②过点C作C7?J_CE交AE于R,然后证明△ACRg/\BCE,得到AR=BE,CR=CE,即可得到ACER是等

腰直角三角形，ER=&CE,由此即可求解；

（2）①根据题目要求作图即可；

②过点C作CELCE,交A力的延长线于点尺根据三角形的内角和定理得到/CAF=NCBE,证明

△根据全等三角形的性质有4F=BE,CF=CE.根据等腰直角三角形的性质有EF=VlEC.则有

AF-EA=>/2EC,即可求出线段EA,EB和EC之间的数量关系.

【详解】解：（1）①如图1中，

VZACB=90°,AC^BC,

：.NC48=45。，

'：ZBAD=a,

：.ZCAD=45°-a.

•.•NAC8=90。，BE±AD,NADC=NBDE,

：.NDBE=ZCAD=45°-a：

②结论：AE-BE=y/2EC.

理由：如图，过点。作CRJ_CE交4E丁R.

，NAC3=NHCE=90。,

・・・/ACR=/BCE,

VZCA7?+ZADC=90°,NCBE+NBDE=90。,NADC=NBDE,

:・NCAR=NCBE,

在仆AC/?^ABCE中，

LACR=乙BCE

CA=CB,

Z.CAR=乙CBE

:•△ACR9XBCE(ASA),

:・AR=BE,CR=CEt

・♦.ACER是等腰直角三角形,

:,ER=\p2.CEi

图2

②猜想：当。在5C边的延长线上时，EB-EA=V2£C；理由如下:

过点C作。ELCE,交AD的延长线于点F,

如图3所示：则NEC尸=90。，

D

图3

VNAC8=90。，

：.ZACD=90°,

：.NECF+NACE=ZACB+ZACE,

即NACF=NBCE,

VZCAF+/A£>B=90。,ZCBE+ZADB=90°,

:.NCAF=NCBE,

在443和48虑中，

(AACF=乙BCE

AC=BC,

{/.CAF=4CBE

.♦.△AC〜/XBCE(ASA),

:.AF=BE,CF=CE.

'：NECF=90。,

.•.△CE尸是等腰直角三角形，

：.EF=yf2EC,

BPAF-EA=近EC.

：.EB-EA=五EC.

【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌

握全等三角形的判定定理是解题的关键.

4.(2021.四川省成都市七中育才学校七年级期中)已知：AABC中，/.ACB=90°,AC=CB,D为直线BC上

一动点，连接4D,在直线AC右侧作4EJ./W,且AE=AD.

E

图1图2备用图

(1)如图1,当点。在线段BC上时，过点E作EH14C于“，连接DE.求证：EH=AC；

(2)如图2,当点。在线段BC的延长线上时，连接8E交C4的延长线于点M.求证：BM=EM；

(3)当点。在直线CB上时，连接BE交直线4c于M,若24c=5CM,请求出受也的值.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)g或T

【分析】(1)由“A4S'可证△/1///三△DC4,可得EH=AC,即可求证；

(2)过点E作EN_LAC,交CA延长线于N,由“44歹可证△ANE三△CCA,可得AC=EN=BC,由“44户可证

AENM三4BCM,可得BM=EM-,

(3)AC=Sa,CM=2a,分三种情况：当点Q在线段BC上，点。在线段8c的延长线上，点。在线段

CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解.

【详解】证明(I)'：AELAD,44cB=90。，

4EAH=90°-4CAD,^ADC=90°-/.CAD,

•••/LEAH=/ADC,

在ZkAHE与ADC4中

/.AHE=4ACB=90°

Z.EAH=Z.ADC,

AE=AD

.*.△AHE三△DCA(4/S),

AEH=AC；

(2)如图2,过点E作EN_LAC,交CA延长线于N,

图2

9：AE1AD,/LACB=90°,

J乙EAN=90°-乙CAD,/.ADC=90°-^CAD,

・•・cEAN=乙4DC,

在△/可后与^D&4中，

^ANE=Z-DCA=90°

乙ENA=Z.ACD

AN=AD

•••△4NEmADC4(>L4S),

：・EN=AC,

又・・FC=BC,

・・・EN=BC,

又在△ENM与ABCM中，

乙EMN=乙BMC

乙N=乙BCA=90°

EN=BC

/.△ENM=△BCMQ44S),

则=EM；

(3)如图，当点。在线段BC上时,

V2AC=5cM,

，可设AC=5a,CM=2a,

由(1)得：AAHEDCA,

则AH=CD,EH=AC=BC=5a,

由VzFWM=乙BCM=90°,4BMC=乙EMH,

・MMHEWAMCB(AAS),

/.CM=HM,

即HM=CM=2a,

：.AH=AC-CM-HM=5a-2a-2a=a,

：.AM=AH+=3Q,CD=AH=a,

EH=AC5a,

BD=BC-CD=4a,

S&ADB=』"AC=*ax5a=土

S“EM-^AMXEH-iX3ax5a-3'

如图，点。在C8延长线上时，过点E作ENJ.4C,交4c延长线于N,

；・可设4C=5a,CM=2a,

■:EN工AC,AELAD,

，乙ANE=LEAD=LACB=90°,

・♦・Z.EAN=90°一乙CAD,Z.ADC=90°-^CAD,

・•・乙EAN=乙4DC,

在△ANE与△OCA中，

LANE=Z.DCA=90°

乙ENA=乙ACD

AN=AD

/.△ANE=^DCA(AAS)f

：,EN=AC,AN=CD,

又24c=BC,

・•・EN=BC,

又在△ENM与中，

乙EMN=乙BMC

乙N=乙BCA=90°

EN=BC

.*.△ENM三△BCM（44S）,

/.CM=NM=2a,

NE=BC=AC=Sa,

：.AN=AC+CM+MN=9a,

AM=AC+CM=7a,

AN=CD=9a,

:・BD—4Q,

・S^ADB_\BDXAC_^X4ax5a_4

•,*-1-7=1,

S—EM-AMXEN-x7ax5a7

点。在BC延长线上

由图2得：AC<CM,

：.2AC=5cM不可能，故舍去

综上：受也的值为？或:

37

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助

线构造全等三角形是本题的关键.

5.（2022•江苏•八年级课时练习）在AABC中，AB=BC,NB=90。，点。为直线8c上的一个动点（不与

B、C重合），连结A。，将线段4。绕点力按顺时针方向旋转90。，使点A旋转到点E,连结EC.

（1）如果点。在线段BC上运动，如图I：求证：/.BAD=/.EDC

（2）如果点O在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系.通过观察、交流，小明形成了以下的解题

思路：过点E作EF_LBC交直线BC于F,如图2所示，通过证明△OEF三△4BO,可推证△CEF等腰直角

三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程.

（3）如果点。在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析

【分析】（1）根据直角三角形的性质证明即可；

（2）过点E作EFJLBC交直线8c于凡如图2所示，通过证明△DEF三△48。，可推证ACEF等腰直角三

角形，从而得出4c与CE的位置关系；

（3）如图3所示，过点E作EF1DC于F,证明AABD三ZkOFE,进一步可证明4c1EC

【详解】解：（1）证明：=90。

：.^BDA+^BAD=90°

9：Z.ADE=90°

・・・48D4+4EDC=90。

"BAD=乙EDC

BDC

图1

（2）垂直

BDCF

图2

'：EF1BC

LEFD=90°

•:乙B=90°

:•乙EFD=乙B

在和△/)/£■中

ZBAD=乙FDE

乙B=Z.DFE

.AD=DE

：.△ABD三△OFEQL4S)

：.AB=DF,BD=EF

9：AB=BC

：.BC=DF,

：.BC-DC=DF-DC

即80=CF.

：.EF=CF

又,；MFC=90°

：.Z.ECF=45°,且乙4c8=45。

：.Z.ACE=180°-90°=90°

即AC1CE.

(3)(2)中的结论仍然成立

如图3所示，过点E作EF_LDC于尸

♦；乙ABD=90°

:,(EDF=/.DAB=90°-Z-ADB

在△ABO和△/)?£■中

Z.DAB=乙EDF

Z-ABD=Z.DFE

AD=DE

：.△ABDDFEiAAS)

：.DB=EF,AB=DF=BC

：.BC-BF=DF-BF

即FC=DB

：.FC=EF

:.乙DCE=45°

，乙4CE=4DCE+乙4cB=90°

：.AC1EC.

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明△48。三ADFE

是解本题的关键.

6.(2021•黑龙江・哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试)如图，已知△力BC中，AB=AC,^BAC=90°,

分别过B、C向过4的直线作垂线，垂足分别为E、F.

(1)如图1,过4的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是；

(2)如图2,过4的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、C尸的数量关系并加以证明；

(3)在(2)的条件下，如图3,直线凡4交BC于点H,延长BE交4c于点G,连接BF、FG、,若乙4HB=4GHC,

EF=CF=6,EH=2FH,四边形4BFG的面积是90,求4G"C的面积.

【答案】(1)数量关系为：EF=BE+CF；⑵数量关系为：EF=BE-CF.证明见详解；(3)S^GHC=15.

【分析】(1)数量关系为：EF=BE+CF.利用一线三直角得到NBEA=NAFC=90。，ZEBA=ZFAC,再证

△EBA^/^FEC(A45)可得BE=AF,AE=CF即可；

(2)数量关系为：EF=BE-CF.先证/8£4=NAFC=90°,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC^=90°,可得

NEBA=NFAC,再证△E&4丝ZXFEC(A4S),可得BE=AF,AE=CF即可；

(3)先由(2)结论EF=BE-CF；EF=CF=6,求出BE=AF=12,由EH=2FH,可求FH=2,EH=4,利

用对角线垂直的四边形面积可求BG=^_^_15,再求EG=3,A〃=10,分别求出S"CF=；AF-FC.36,

AF-12-2-

S^HCF含HF・FC=6,SLAGH^AH•EG=15,利用面积差即可求出.

【详解】解：(1)数量关系为：EF=BE+CF.

・；BELEF,CF±EF,ZBAC=90°,

AZBEA=ZAFC=9009NEBA+NEA8=90。，ZEAB+ZMC=180°-ZBAC=90°,

；・NEBA=NFAC,

在△E8A和△尸EC中，

(/.AEB=Z.CFA

y\z-EBA=^FAC,

(AB=CA

:AEBA2FAC(/LAS),

・：BE=AF,AE=CFf

：.EF=AF+AE=BE+CF；

(2)数量关系为：EF=BE-CF.

*：BELAF,CFLAF,NBA090。，

AZBE4=ZAFC=90°,ZEBA+ZE4B=90°,ZE4B+ZMC==90°,

・・・ZEBA=ZFAC9

在△EBA和△FEC中，

Z-AEB=4CFA

*：\/,EBA=乙FAC,

AB=CA

:•△EBA丝〉FAC(A4S),

・：BE=AF,AE=CF,

：.EF=AF-AE=BE-CF；

(3)9：EF=BE-CF；EF=CF=6,

.•・BE=AF=EF+CF=6+6=12,

EH=2FH,EH+FH=EF=6,

：.2FH+FH=6,

解得FH=2,

：.EH=2FH=4f

S举形ABFG=^AF-BG=90,

・2x90180._

••fj\j-_—~15,

AF-12—

，EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE-^-EH=6+4=10,

VSAACF=ii4F-FC=|xl2x6=36,SAHCF当HF-FC=|x2x6=6,SAAGH=^AH-FG=1X10X

3=15,

ASAGHC=SAACF-SAHCF-SAAGH=36-6-15=15.

【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面

积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角

形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键.

7.(2021•江苏泰州•八年级期末)如图，正方形A8CD边长为4,点G在边4。上(不与点4、。重合)，BG

的垂直平分线分别交A8、CD于E、F两点，连接EG.

(1)当AG=1时，求EG的长；

(2)当AG的值等于时，BE=8-2DF；

(3)过G点作GMJ_EG交C£)于M

①求证：GB平分NAGM；

②设AG=x,CM=y,试说明^一：一2-1的值为定值.

xy

BC

【答案】（1）（2）8-4次（3）①见解析；若一^一；-1=0,理由见解析

【分析】（1）根据EF是线段BG的垂直平分线，BE=EG,设EG=EB=x,贝I」A£=AB-BE=4-x,再由勾股定理

求解即可：

（2）过点尸作于，，连接尸8,FG,由8E=8-2。尸，CF=CD-DF=4-DF,得至lj8E=2CF,先证明四

边形BCFH是矩形，得至ijCF=HB，则BH=EH=FC,设AG=x,BE=y,则AE^4-y,GD=4-x,CF^y,OF=4-jy

2222222

由AE2+4。2=EG2,GD+DF=GF,BC+FC=BF,可以得到（4一y）2+/=产①，（4-x）+

（4一=42+gy）②，联立①②求解即可得到答案；

（3）①先证明NE8G=NEG8,然后根据48G+N4G8=90。，NEG8+NBGM=90。，即可得到NAG8=NBGM；

②连接BM,过点B作BH±GM,由角平分线的性质得到BH=AB=4,由S正方形ABCD=SAABC+S^MBG+S^BCM+

SACDM=4x4=16,可以得至lj2x+2GM+2y+44-%）（4-y）=16，由勾股定理可以得到DM?+G。？=

GM2即（4-x）2+（4-y）2=（4-今）2,最后解方程即可得到答案.

【详解】解：（1）YEF是线段BG的垂直平分线，

：.BE=EG,

•.•四边形ABC。是正方形，且边长为4,

：.AB^4,ZA=90°,

设EG=EB=x,则AE=AB-BE=4-x,

'：AE2+AG2=EG2,

.,.（4-x）2+l2=x2,

解得x=/

o

•••EG/

__苧___________z>

EV

BC

(2)如图所示，过点尸作连接F3,FG

,.•石尸是线段BG的垂直平分线，

:.BF=FG,

VBE=8-2DF,CF=CD-DF=4・DF,

：・BE=2CF,

•・,四边形ABC。是正方形，FHA.AB,

：.ZHBC=ZC=ZBHF=90°t

・・・四边形8CF77是矩形，

:.CF=HB,

:・BH=EH=FC,

设AG=xfBE=yf则A£=4-y,GD=4-x,CF=|y,DF=4—

9222222222

：AE+AG=EG,GD+DF=GF,BC+FC=BFf

222

•**(4-y)4-%=p①，(4一xy+(4_1)=4-Fgy)②,

联立①②解得久=8-46或%=8+48(舍去)，

/.当月G=8-4旧时,BE=8-2DF,

故答案为：8-473:

(3)①•・・£/是线段BG的垂直平分线,

:・EG=BE,

：.NEBG=NEGB,

•・,四边形ABC。是正方形，EG1GM,

：.ZA=ZEGM=WQ,

・・・NABG+NAG8=90。，NEGB+NBGM=90。,

，ZAGB=ZBGM,

平分NAGM；

②如图，连接BM,过点8作

由(3)①得BG平分/AGM,

*/AG=x,CM=y9

/.DG=4-x,£)M=4-y,

•S正方形ABCD=S»ABG+SAMBG+S&BCM+SACDM—4x4=16,

liii

：.-AG•4B+士GM•8H+士CM•BC4--DM•GD_16,

2222—

/•2x+2GM+2y+-(4—x)(4—y)__16,

：.GM=4一?，

4

\'DM2^GD2=GM2,

(4-x)2+(4-y)?=(4-^)2

；・16—8%+/+16—8y+y?=16—2xy+^―

16

(x+y)2—8(%+y)+16=上匕，

16

(x+y-4)2=

：.x+y-4=±^-,

当x+y-4=节时，贝lj4%+4y—16=%y,

・・.y=?二竺=4(不符合题意)，

4—X

**.4x+4y—16=—xy

Axy---x--y-1=0.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角

形的性质与判定，三角形的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

8.