第十二章 三角形 综合检测

第十二章三角形综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.下面和体育有关的图案是轴对称图形的是() A B C D2.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定3.(2022青海西宁中考)若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是()A.2 B.5 C.10 D.114.(2021内蒙古赤峰中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为()A.85° B.75° C.65° D.30° 第4题图 第5题图5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP6.(2023北京门头沟期末)如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC=()A.30° B.45° C.60° D.90°7.(2023北京一七一中月考)如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，则∠E的度数是()A.30° B.50° C.44° D.34°8.(2022山东淄博张店期末)如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8，则△AEF的面积是()A.2 B.3 C.4 D.69.(2023北京八中期中)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE=14AC，△ABC的面积是4，A.S1=S2 B.S1=2 C.S2=0.5 D.S1-S2=110.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边OA，OB上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上.若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为()A.4.5cm B.5.5cm C.6.5cm D.7cm二、填空题(每小题3分，共24分)11.(2023北京日坛中学期中)如图所示的是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的.

12.(2022北京晋元中学月考)下列四个命题，其中是真命题的是.(填序号)

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③无理数都是无限不循环小数；④负数没有立方根.13.(2023北京朝阳期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB=BD=CD，则∠C=°.

14.(2022北京延庆期末)等腰三角形一边长为5，另一边长为8，则其周长为.

15.在△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=60°，则BC边上的高AD=cm.

16.(2022湖南株洲中考)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=度.

17.一个圆柱形无盖桶的底面半径为5cm，高为24cm，将一根长为30cm的筷子放入此桶中，最多露出

cm，最少露出cm.

18.(2023北京大兴期中)如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，BD和CE相交于点P，连接AP.下面结论:①BD=CE；②∠EPD=60°；③PA不是∠BPE的平分线；④PE=PA+PD.其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(共46分)19.(2022广西贵港中考)(6分)尺规作图(保留作图痕迹，不要求写出作法):如图，已知线段m，n.求作△ABC，使∠A=90°，AB=m，BC=n.20.(2022广西柳州中考)(6分)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF，②∠ABC=∠DEF，③∠ACB=∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)(只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF的依据是

(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；

(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.21.(6分)如图所示，已知△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，连接AP.(1)判断AP是否平分∠BAC，请说明理由；(2)由此题可得到的结论是.

22.(2021广东潮州饶平期末)(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.(1)如图1，若B、C在DE的同侧，且AD=CE.求证:AB⊥AC；(2)如图2，若B、C在DE的两侧，且AD=CE，AB与AC仍垂直吗?若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由. 图1 图223.(2022北京五十七中期末)(10分)在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α.(1)如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O.①求证:BE=AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数(直接写出结果)；(2)如图2，当α=45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证:N是BD的中点.24.(2023北京三十五中期中)(10分)问题提出:(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，AC=7，BC=9，AB=10，P为AC上一点，当AP=时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；

问题探究:(2)如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=2，AC=6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AD的长度；问题解决:(3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°(0°<∠BCE<90°).△ACD与△BCE是偏等积三角形吗?请说明理由.

第十二章三角形综合检测答案全解全析1.B根据轴对称图形的概念可知，选项B中的图案是轴对称图形.故选B.2.A设这个三角形的最大的内角的度数为x°，由题可知，另外两个内角的和为x°，∴x+x=180，∴x=90，∴这个三角形的最大的内角的度数为90°，故这个三角形是直角三角形.故选A.3.B∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，∴6-4<a<6+4，∴2<a<10，∴只有选项B符合题意.故选B.4.B∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，∴30°+2∠D=180°，∴∠D=75°.故选B.5.D∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PB=PA，故A中的结论正确；易证得△AOP≌△BOP，∴OA=OB，∠APO=∠BPO，∴PO平分∠APB，故B、C中的结论正确；根据题中条件无法推出AB垂直平分OP，故D中的结论不一定成立.故选D.6.B设每个小正方形的边长为1，如图，作点B关于AC的对称点B'，连接B'A，B'D，则∠BAC=∠B'AC.∵AB'2=12+32=10，B'D2=12+32=10，AD2=42+22=20，∴AB'=B'D，AB'2+B'D2=AD2，∴△AB'D是等腰直角三角形，∴∠B'AD=45°，∴∠BAC+∠DAC=∠B'AC+∠DAC=∠B'AD=45°.故选B.7.D∵CD平分∠BCA，∴∠ACD=∠BCD=12∠BCA∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=30°，∵∠CGF=∠D+∠BCD，∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，∴∠BCA=116°，∴∠B=180°-30°-116°=34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=34°.故选D.8.A∵E为BD的中点，∴S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，∴S△ACE=S△ADE+S△CDE=12S△ABD+12S△BCD=12S△ABC=4，∵F为CE的中点，∴S△AEF=12S△9.D如图，设AD与BE相交于点O，连接OC，过点A作AF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，设△BOD的面积为x，∵点D是边BC的中点，∴△BOD的面积=△COD的面积=x，△ABD的面积=△ACD的面积，∴△ABD的面积-△BOD的面积=△ADC的面积-△COD的面积，∴△AOB的面积=△AOC的面积，∵CE=14AC，∴CE=13∴△AOE的面积=3△COE的面积，∴AF=3CG，∴△AOB的面积=3△BOC的面积=3·2x=6x，∴△AOC的面积=△AOB的面积=6x，∴△AOE的面积=34△AOC的面积=92x，△COE的面积=14△AOC的面积=∴S1=△AOB的面积=6x，S2=△DOC的面积+△OEC的面积=52x，∴S1≠S2∵△ABC的面积是4，∴2△ABD的面积=4，∴2(△AOB的面积+△BOD的面积)=4，∴2(6x+x)=4，∴x=27∴S1=6x=127，S2=52x=57，∴S1-S2=12故选D.10.A∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=RN.∵PM=2.5cm，PN=3cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，∵MN=4cm，∴NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5(cm)，∴QR=RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).故选A.11.答案稳定性12.答案②③解析①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是真命题，符合题意；③无理数都是无限不循环小数，原命题是真命题，符合题意；④负数有立方根，原命题是假命题，不符合题意.真命题有②③.13.答案36解析设∠C=α，∵BD=CD，∴∠CBD=∠C=α，∴∠ADB=∠CBD+∠C=2α.∵AB=BD，∴∠A=∠ADB=2α.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=α，在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB=180°，∴α+2α+2α=180°，∴α=36°，∴∠C=36°.14.答案18或21解析分两种情况讨论:①当5为底边长时，腰长为8，此时三边长为5，8，8，满足三角形的三边关系，则这个等腰三角形的周长=5+8+8=21；②当8为底边长时，腰长为5，此时三边长为8，5，5，满足三角形的三边关系，则这个等腰三角形的周长=5+5+8=18.综上，这个等腰三角形的周长为18或21.15.答案33解析如图，∵AB=AC=6cm，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC=6cm，∵AD⊥BC，∴BD=DC，∴BD=12在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴AD=AB2-BD2=616.答案15解析解法一:∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB=∠ONB=90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，OB=OB,∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，∴∠OBM=∠OBN，∵∠ABC=30°，∴∠ABO=15°.解法二:∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM=ON，∴BO平分∠ABC，∴∠OBM=∠OBN，∵∠ABC=30°，∴∠ABO=15°.17.答案6；4解析当筷子与桶底垂直时，露出的最多，最多露出30-24=6(cm).当筷子按如图所示的方式放置时，露出的最少，此时露出30-1018.答案①②④解析如图，设AD与CE交于点N，∵△ABC与△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，故①正确；∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB，∵∠ANE=∠DNP，∴∠EPD=∠DAE=60°，故②正确；如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为H，F，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，∴12BD·AH=12CE·∵BD=CE，∴AH=AF，∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴PA是∠BPE的平分线，故③错误；如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD(SAS)，∴AP=AO，∠PAD=∠OAE，∴∠PAO=∠DAE=60°，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD，故④正确.19.解析如图，△ABC为所作.20.解析(1)答案不唯一.在△ABC和△DEF中，AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS).选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS.(2)证明:∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∴AB∥DE.21.解析(1)AP平分∠BAC.理由如下:如图，过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC，∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，∴PK=PQ，PL=PQ，∴PK=PL，∴AP平分∠BAC.(2)三角形的三条角平分线相交于一点.22.解析(1)证明:∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB=AC,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△∴∠DBA=∠EAC.∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°.∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.证明如下:易证Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA，∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC.23.解析(1)①证明:∵CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α，∴∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC,∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD.②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，∵∠ABE=∠AOB+∠BAO，∴∠CBE+α=∠AOB+∠BAO，∴∠BAO+α+α=∠AOB+∠BAO，∴∠AOB=2α.(2)证明:如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，易知∠ACB=∠DCE=90°，∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC，∠BCA=∠AMC，∴∠BCP=∠CAM，在△CBP与△ACM中，∠BPC=∠CMA,∴△CBP≌△ACM(AAS)，∴MC=BP，同理可得，CM=D