高考数学（北师大版理）讲义第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ27

§2.7函数的图像最新考纲考情考向分析1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像．2．图像变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸缩变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)\s\do5()倍，纵坐标不变,0<a<1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变))y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)．(4)翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图像),\s\do5(将x轴下方图像翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图像，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图像))y＝f(|x|)．知识拓展1．关于对称的三个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．2．函数图像平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同．(×)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同．(×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称．(×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．(√)题组二教材改编2．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的图像关于()A．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称答案C解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.3．函数y＝21－x的大致图像为()答案A解析y＝21－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，因为0<eq\f(1,2)<1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1为减函数，取x＝0，则y＝2，故选A.4．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图像(如图)．由图像知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图像是函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图像的是()答案C6．将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像．答案f(－x＋1)解析图像向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是．答案(4，＋∞)解析画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图像如图所示．由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2eq\r(ab)(由于a<b，故取不到等号)，所以ab>4.

题型一作函数的图像作出下列函数的图像：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图像，如图①实线部分．(2)将函数y＝log2x的图像向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②实线部分．(3)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，如图③实线部分．思维升华图像变换法作函数的图像(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函数．(2)若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图像的辨识典例(1)(2017·湖北百所重点学校联考)函数y＝eq\f(x2ln|x|,|x|)的图像大致是()答案D解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是减少的，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上是增加的．由此可知应选D.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为()答案B解析方法一由y＝f(x)的图像知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,1，1<x≤2.))当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x<1，,2－x，1≤x≤2，))故y＝－f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x<1，,x－2，1≤x≤2.))图像应为B.方法二当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.思维升华函数图像的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．跟踪训练(1)(2017·湖南长沙四县联考)函数f(x)＝eq\f(sinx,lnx＋2)的图像可能是()答案A解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,lnx＋2≠0，))∴x>－2且x≠－1，故排除B，D，由f(1)＝eq\f(sin1,ln3)>0可排除C，故选A.(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图像大致是()答案B解析y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图像是由y＝log2x的图像向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．

题型三函数图像的应用命题点1研究函数的性质典例(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C解析(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上是减少的．(2)(2017·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则eq\f(n,m)＝.答案9解析作出函数f(x)＝|log3x|的图像，观察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，从图像分析应有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).从而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.命题点2解不等式典例函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集为．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))解析当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝cosx>0.当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))时，y＝cosx<0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图像知，当1<x<eq\f(π,2)时，eq\f(fx,cosx)<0.又函数y＝eq\f(fx,cosx)为偶函数，所以在[－4,0]上，eq\f(fx,cosx)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))，所以eq\f(fx,cosx)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).命题点3求参数的取值范围典例(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是．答案(0,1]解析作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，由图可知k∈(0,1]．(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．思维升华(1)注意函数图像特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题．跟踪训练(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是．答案(－1,0)∪(1，eq\r(2)]解析由图像可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，eq\r(2)]．高考中的函数图像及应用问题考点分析高考中考查函数图像问题主要有函数图像的识别，函数图像的变换及函数图像的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图像和解析式问题典例1(1)(2017·太原二模)函数f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|1－x|)的图像大致为()(2)已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x) B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)解析(1)函数f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|1－x|)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图像关于x＝1对称，排除B，C.取特殊值，当x＝eq\f(1,2)时，f(x)＝2lneq\f(1,2)<0，故选D.(2)由函数图像可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－eq\f(1,x)，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.答案(1)D(2)A二、函数图像的变换问题典例2若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为()解析由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确．答案C三、函数图像的应用典例3(1)若函数f(x)＝eq\f(2－mx,x2＋m)的图像如图所示，则m的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,2)C．(0,2) D．(1,2)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是．答案(1)D(2)(3，＋∞)解析(1)根据图像可知，函数图像过原点，即f(0)＝0，∴m≠0.当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，函数f(x)在[－1,1]上是增加的，∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，f′(x)＝eq\f(2－mx2＋m－2x2－mx,x2＋m2)＝eq\f(m－2x2－m,x2＋m2)>0，∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，∴(x2－m)max<0，∴m>1，综上所述，1<m<2，故选D.(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m在(m，＋∞)上为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.1．函数f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)的图像大致为()答案A解析因为f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)，所以f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，排除选项C，D；当0<x<π时，sinx>0，所以当0<x<π时，f(x)>0，排除选项B，故选A.2．函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图像大致为()答案C解析由已知得a＝2，所以g(x)＝|log2(x＋1)|.函数y＝log2(x＋1)在(－1,0)上是增加的且y<0，在(0，＋∞)上是增加的且y>0，所以函数g(x)在(－1,0)上是减少的且g(x)>0，在(0，＋∞)上是增加的且g(x)>0，观察各选项，只有C符合．3．若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图像的对称轴方程是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2答案A解析因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x)＝f(2－x)，所以f(x)图像的对称轴为直线x＝1.4．已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析在平面直角坐标系内作出f(x)，g(x)的图像如图所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图像的下方，故函数f(x)＝2lnx的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像有2个交点．5．函数f(x)的图像向右平移1个单位，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1答案D解析与y＝ex的图像关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图像向右平移一个单位，－1.6．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0答案B解析作出f(x)的图像，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图像可知函数存在最小值0.所以①②正确．7．如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f3)))＝.答案2解析∵由图像知f(3)＝1，∴eq\f(1,f3)＝1.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f3)))＝f(1)＝2.8．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图像过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为．答案{x|x≤0或1<x≤2}解析画出f(x)的大致图像如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,fx≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1，,fx≥0.))由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．9．(2017·银川调研)给定min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，b<a，))已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，则实数m的取值范围为．答案(4,5)解析作出函数f(x)的图像，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图像如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．10．已知定义在R上的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝.答案0解析方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)与y＝c的图像有三个交点，画出函数f(x)的图像(图略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.11．函数y＝ln|x－1|的图像与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于．答案6解析作出函数y＝ln|x－1|的图像，又y＝－2cosπx的最小正周期为T＝2，如图所示，两图像都关于直线x＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.12．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图像；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1<x<3，))∴f(x)的图像为：(2)由函数的图像可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是递减区间；(1,2]，[3，＋∞)是递增区间．(3)由f(x)的图像知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}．13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是()A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0答案D解析函数f(x)的图像如图实线部分所示，且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,x，x>1，))若对任意的x