2019高三数学（人教A版理）一轮单元评估检测4　第4章　平面向量数系的扩充与复数的引入

单元评估检测(四)第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟150分)(对应学生用书第301页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝eq\f(1＋2i,2－i)(i为虚数单位)，则z的虚部为()A．－1 B．0C．1 D．i[答案]C2．若z＝4＋3i，则eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A．1 B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i[答案]D3．若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的虚部为()A．－1 B．－iC．i D．1[答案]A4．复数z＝eq\f(－3＋i,2＋i)的共扼复数是()【导学号：97190419】A．2＋i B．2－iC．－1＋i D．－1－i[答案]D5．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b＝()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)[答案]D6．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D7．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5[答案]A8．设复数z1＝2sinθ＋icosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＜θ＜\f(π,2)))在复平面上对应向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，将eq\o(OZ1,\s\up6(→))按顺时针方向旋转eq\f(3,4)π后得到向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为z2＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\f(y,x)＝()A.eq\f(2tanθ＋1,2tanθ－1) B．eq\f(2tanθ－1,2tanθ＋1)C.eq\f(1,2tanθ＋1) D．eq\f(1,2tanθ－1)[答案]A9．与向量a＝(3,4)同方向的单位向量为b，又向量c＝(－5,5)，则b·c＝()A．(－3,4) B．(3，－4)C．1 D．－1[答案]C10．如图4­1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()图4­1A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D11．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z2＝()A．3－2i B．2－3iC．－3－2i D．2＋3i[答案]D12．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8 B．－6C．6 D．8[答案]D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.[答案]214．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[答案]215．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.[答案]216．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i的“错位共轭”复数为________.【导学号：97190420】[答案]eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(10).(1)求D点坐标．(2)若D点在第二象限，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AC,\s\up6(→)).(3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝(m,2)，若3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))垂直，求eq\o(AE,\s\up6(→))的坐标．[解](1)D(2,1)或D(－2,3)(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))(3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－14,2)18．(本小题满分12分)如图4­2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，求eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值.【导学号：97190421】图4­2[解]eq\f(7,8)19．(本小题满分12分)已知复数z＝1＋i，ω＝eq\f(z2－3z＋6,z＋1).(1)求复数ω.(2)设复数ω在复平面内对应的向量为eq\o(OA,\s\up6(→))，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量eq\o(OA,\s\up6(→))的位置，求θ的最小值．[解](1)1－i(2)eq\f(5,4)π20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，－2sin\f(A,2)))，m·n＝－1.(1)求cosA的值．(2)若a＝2eq\r(3)，b＝2，求c的值．[解](1)－eq\f(1,2)(2)221．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，cosB)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.【导学号：97190422】(1)求角A的大小．(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．[解](1)因为m∥n，所以acosB－(2c－b)cosA＝0，由正弦定理得sinAcosB－(2sinC－sinB)cosA＝0，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，所以sin(A＋B)＝2sinCcosA，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinCcosA，因为0＜C＜π，所以sinC＞0，所以cosA＝eq\f(1,2)，因为0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，因此bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立；因此△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA≤4eq\r(3)，因此△ABC面积的最大值为4eq\r(3).22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝a，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝b，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，a2＋b2＝4.向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，且a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)求|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值．[解](1)因为点M为线段AB的中点，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)设点M为线段AB的中点，则由eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，知|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.又由(1)及a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1，得|eq\o(MP,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1.所以|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\