183矩形的性质与判定（原卷版）

八年级下册数学《第十八章平行四边形》18.3矩形的性质与判定知识点一知识点一矩形的定义●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.知识点二矩形的性质知识点二矩形的性质●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.几何语言：∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.◆4、矩形的面积=长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.知识点三知识点三直角三角形斜边上的中线◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何语言：∵在Rt△ABC中，点O是AB的中点，∴OB=AO=CO=AC.◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.知识点四知识点四矩形的判定●矩形的判定方法：方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，

∴四边形ABCD是矩形.方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形.方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴四边形ABCD是矩形.◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.题型一利用矩形的性质求线段长题型一利用矩形的性质求线段长【例题1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（）A．3 B．2 C．23 D．4解题技巧提炼在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.【变式11】（2022秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式12】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．22−2 B．22−1 C．3−【变式13】（2022春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【变式14】（2021•香坊区模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为．【变式15】（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．125 B．65 C．24题型二利用矩形的性质求角度题型二利用矩形的性质求角度【例题2】（2022秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（）A．45° B．30° C．15° D．60°解题技巧提炼矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质.【变式21】（2022春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（）A．30° B．45° C．50° D．55°【变式22】（2022春•抚顺期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF＝．【变式23】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是．【变式24】（2022春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．【变式25】（2022秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（）A．105° B．120° C．90° D．135°题型三利用矩形的性质求面积题型三利用矩形的性质求面积【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（）A．22 B．24 C．26 D．28解题技巧提炼求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.【变式31】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是．【变式32】（2022•鼓楼区校级二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为．【变式33】如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．23 B．33 C．4 D．43【变式34】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．题型四利用矩形的性质证明题型四利用矩形的性质证明【例题4】（2022春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形．解题技巧提炼与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.【变式41】在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：DF＝AB；（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．【变式42】（2022春•姜堰区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC．（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；（2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离．【变式43】（2022•安顺模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB，CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O．（1）求证：△AOM≌△CON；（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的长．【变式44】（2022秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE+BF＝16，求BC的长．【变式45】（2022秋•南岸区校级期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．（1）求证：BG＝DG；（2）连接BD，求∠BDG的度数．题型五直角三角形斜边上的中线的性质题型五直角三角形斜边上的中线的性质【例题5】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．解题技巧提炼在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.【变式51】（2022•宁南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为．【变式52】（2022秋•新田县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长．【变式53】（2021秋•莲都区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．（1）求证：AE＝CD；（2）求∠ACE的度数．【变式54】（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）求证：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．【变式55】（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．题型六判断四边形是矩形题型六判断四边形是矩形【例题6】（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；解题技巧提炼如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单.【变式61】（2021秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直【变式62】（2021春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC【变式63】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．【变式64】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．【变式65】（2021春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．题型七判断平行四边形是矩形题型七判断平行四边形是矩形【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形．解题技巧提炼已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可.【变式71】（2022春•南票区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【变式72】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．【变式73】已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE＝CF．求证：平行四边形ABCD是矩形．【变式74】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．【变式75】如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．【变式76】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；（2）当线段