寒假作业14相似三角形的基本模型

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业14相似三角形的基本模型相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型．本课时就相似三角形的基本模型：（双）A字模型、（双）8（X）字模型、母子模型（共边共角模型）、“手拉手”模型（旋转模型）、一线三等角（K字）模型、半角模型、对角互补模型等进行专项训练，方便同学们熟练掌握．1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【解析】如图，由题意可知，，，∴，而，∴四边形DCBM为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选D．2.如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即，故选C．3．如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．【答案】1∶3【解析】∵四边形和四边形均为正方形，∴设四边形和四边形的边长为x，则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得x＝2.5，∴AP＝2.5，EM＝5，∴，又∵＝25，∴＝，∴∶＝1∶3，故答案为：1∶3．4．如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．【解析】（1）在与中，，，∴.（2）∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得，∴，．5．在中，是斜边上的高．(1)证明：；(2)若，求的长．【解析】（1）∵是斜边上的高，∴，，∴，∴.又∵，∴.（2）∵，∴，又，∴．6．如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∵，∴，解得．7．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．【解析】（1）由题知和均为等腰三角形，且，，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴.（2）如图，取的中点H，连接，∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（负值已舍），经检验是所列方程的解，且符合题意，∴．8．(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．求的值．【解析】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE.(2).理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，.(3)∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，．9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．【解析】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∵∠DAE=45°，∴，∴，∴∠DAC=∠EAB，∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB，∴，又∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB．(2)∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°90°45°=45°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠CAD=180°∠ADE∠CDE∠ACD=180°90°22.5°45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE，又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是．【答案】【解析】如图，取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，∵点M，点N是AD，BC的中点，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴ABG≌AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE，∴AEG≌AEH（SAS），∴EH＝EG，∴EH＝BE+BG=BE+MH=2+MH，在RtHEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝．∵MN∥CD，∴AHM∽AFD，∴，∴DF＝×＝，故答案为：．11．(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．【解析】(1)∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．12．【问题呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：；【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．【解析】（1）结论成立.理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：成立．（2）如图2，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴.（3）线段的长为．理由：如图3，在上取一点，使，过作于，∵四边形为菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴2AN=AD，2AN=，∴，∵，∴，∴，∵菱形的边长为，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴线段的长为．故答案为．13．请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．如图1，直线交线段于点，交线段于点，交的延长线于点，可截得六条线段，，，，，，则这六条线段满足．下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有（依据），…(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；(4)在图1中，若，，则的值为________．【解析】（1）上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例.（2）该定理的证明过程补充完整如下：，，，，即．（3）点是的中点，，，，,即，，，．故答案为3.（4）如图，过点作交的延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为．14．请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于点D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．【解析】（1）在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．由赛瓦定理可得：，∴，∴，即点F为AB的中点；（2）∵为等边三角形，，∴．∵点D是BC边的中点，∴，∵，∴．由赛瓦定理可得：；如图，过点F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BCBG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴．15．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【解析】是的中位线，，，，，，∴．故选C．16．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线，的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正确；设，∴,∴，∴，故②正确；当点在的延长线上时，如图所示．

∵，，∴，∴．∵，．∴，，∴，∴，故③正确；④如图所示，以为圆心，长为半径画圆，∵，∴当在的下方且与相切时，的值最小，，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故④正确，故选D．17．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为．【答案】；【解析】如图，过作交的延长线于点，则四边形为矩形，，∴由题意可得：，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．过作交于点，交于点，如图，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与点重合时，，当点与点重合时，，，∴，∵，∴，∴，即，解得，∵，分别为，的中点，∴是的中位线，∴，即点运动的路径长为.故答案为：；.18．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．【解析】（1）在正方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如图1，过点Q作于点N，如图所示：∵，，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴．∵，∴，如图2，过点Q作于点N，

∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．19．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．【探究一】如