13探索三角形全等的条件（一~三）（原卷版）

1.3探索三角形全等的条件（一~三）【推本溯源】1.由上一节课我们已经知道了全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？想一想：（1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？（2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？（3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？动手做一做：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：1．作∠MAN＝∠α．2．在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．3．连接BC，△ABC就是所求作的三角形．通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？

动手做一做：按下列作法，用圆规和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于点C．△ABC就是所求作的三角形．通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【解惑】例1：如图，为测量池塘两侧A，B两点间距离，在地面上找一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定点D，使，得到，通过测量的长，就能得出的长．那么的理由是（

）

A． B． C． D．例2：如图，，，三点在同一直线上，，，．求证：．

例3：如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（

）A． B． C． D．例4：如图，，点D在边上，，，和相交于点O．求证：．例5：在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．(1)当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是_________；(2)当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．【摩拳擦掌】1．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，已知，，则的依据是（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川成都·统考二模）如图，与相交于点O，且O是的中点，则与全等的理由是（）A． B． C． D．3．（2022秋·七年级单元测试）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，中，，平分，则_____≌_____．

6.（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽_________．

7．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，是上的中线，点F、E分別在和的延长线上，且，连接、．试说明：．8．（2023·广东广州·统考二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，，，，证明：．

9．（2023春·陕西西安·七年级西安市远东第二中学校考阶段练习）如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了120步.

(1)根据题意，画出示意图；(2)若小刚一步约米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）.10．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，和相交于点C，，．求证：．

【知不足】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动．每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动（

）分钟后，与全等．A．2或4 B．3 C．4 D．4或62．（2023秋·八年级单元测试）如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（

）A． B． C． D．3．（2023春·全国·七年级专题练习）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去4．（2023春·全国·七年级专题练习）中，，边上的中线，则边的取值范围是__．5．（2021春·广东河源·七年级统考期末）如图，在和中，，，点A，F，C，D在同一条直线上且．请说明．

6．（2023·云南昆明·统考一模）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．

7．（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：．

8．（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．

【一览众山小】1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到过程中，运用的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，，于A，于，且，点从向A运动，每秒钟走，点从向运动，每秒钟走，点，同时出发，运动______秒后，与全等．3．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，要测量池塘两端，的距离，可先在平地上取一个可以直接到达，两点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就等于的长，这是因为，而这个判定全等的依据是______（填字母）．4．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

5．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，．

(1)求证：；(2)若是的中点，的面积是20，求的面积．6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．(1)求证：．(2)若，求的度数．7．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；(2)与全等，且不与重合．8．（2023·云南昆明·校考三模）如图，在和中，，，．求证：．

9．（2022春·七年级单元测试）如图，＝，＝，点在边上，＝，和相交于点．求证：．

10．（2022秋·七年级单元测试）如图，在中，，于点，于点，，与相交于点．求证：．

11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在中，，，连接，E为边上一点，，求证：．12．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在中，，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的面积．13．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）（1