浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为或，又，所以.故选：C.2.已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，，，所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.故选：D3.设是三个不同平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得；但当，时，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.若命题p：，且，则命题为（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，只需将存在量词改为全称量词，并否定结论即可得答案.【详解】存在量词命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量词，并否定结论，故命题为或．故选：B．5.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.6.已知函数，则下列说法正确的是（

）A.的图象关于直线对称 B.的周期为C.是的一个对称中心 D.在区间上单调递增【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案．【详解】由函数，由此可作出的函数图象，如图所示，对于A中，由，所以关于直线不对称，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误；对于D中，因为，，，所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误.故选：B.7.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（）A.没有水的部分始终呈棱柱形B.棱始终与水面所在平面平行C.水面所在四边形的面积为定值D.当容器倾斜如图所示时，是定值【答案】C【解析】【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断.【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面，平面，平面，平面，平面都是平行四边形，所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；对于B：面，面，所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确；对于C：如下图：水面所在四边形的面积等于长方形的面积，如下图：水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误；对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值，可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确.故选：C.8.已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.【详解】因，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，结合，可得，即，解得，当且仅当时取得等号；故的面积，当且仅当时取得等号.即面积的最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数是的共轭复数，则（）AB.的虚部是C.在复平面内对应的点位于第二象限D.复数是方程的一个根【答案】AC【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知，所以，故A正确；易知的虚部是，故B错误；在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；对于，显然不符合题意，故D错误.故选：AC10.已知非零向量，以下命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则与的夹角为锐角D.已知，，，则【答案】BD【解析】【分析】由已知可得，可判断A；两边平方可得，可得，可判断B；由已知可得，可判断C；，利用和向量的平行四边形法则可判断D.【详解】对于A：由，可得，所以，故A错误；对于B：由，两边平方得，所以，又，所以，故B正确；对于C.：，由，可得，所以，则，又，所以，故C错误；对于D：因为，所以，所以，，又，结合向量的平行四边形法则可得，故D正确.故选：BD.11.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（）A.记的中点为，上存在一点，使得面∥面B.动点轨迹的长度为C.三棱锥体积的最小值为D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，取中点，的中点，通过证明平面平面，从而判断A；对于B，结合A选项分析可得点轨迹为线段，从而判断B；由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断C；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可判断.【详解】对于A，取中点，的中点，连接，则，正方体中易知，从而，又平面，而平面，所以平面，又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等，则是平行四边形，所以，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，所以当点与点重合，即点为的中点时，有平面平面，故A正确；对于B，平面平面，所以当时，平面，即线段为点的轨迹，，故B不正确；对于C，点到平面即平面的距离为，而于三角形的面积而言，底边是固定的，而线段为点的轨迹，当且仅当点与点重合时，此时点到的距离最短，且为，综上所述，三棱锥体积的最小值为，故C正确；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球球心为O，半径为，由，，可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确.故选：ACD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_________．【答案】##【解析】【分析】化简式子，结合已知条件即可求出的值.【详解】由题意，，∴，，故答案：.13.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆可得，进而求得球表面积.【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得，可知，所以球的表面积.故答案为：14.如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得，过点作，结合直角三角形运算求解.【详解】设，则，在中，因为，由余弦定理可得：，解得：，则.过点作，由题意可得：，则，，可得，，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，为虚数单位．（1）求；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；（3）若复数满足，求的最值．【答案】（1）（2），（3），【解析】【分析】（1）根据复数的除法运算及加法运算求出，再根据共轭复数的定义即可得解；（2）法一：将代入即可得解；法二：根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解；（3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，进而可得出答案.【小问1详解】，所以；【小问2详解】法一：因为复数是关于的方程的一个根，所以，可得，即所以，解得，；法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，根据韦达定理得，，解得；【小问3详解】设，则，即，所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，表示复数对应的点与点间的距离，，则，.16.在中，点在边上，，，，．（1）求的模；（2）求向量与夹角的余弦值；（3）若点在边上，求的范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知可得，两边平方可求；（2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值；（3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论.【小问1详解】由，可得，所以，可得，所以；【小问2详解】，又，所以；【小问3详解】设边的中点为，连接，，由余弦定理可得，到的距离为，所以，所以.17.三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．（1）求证：直线平面；（2）若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明，即可得证；（2）根据线面平行可得，由等体积法求解.【小问1详解】在三棱柱中，，取中点F，连接DF，EF，∵D和E分别是和的中点，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面，∴面//平面，而面DEF，故直线//平面．法二，连接CE交于点G，连接CD交于点H，连接HG，如图，在三棱柱中，，，∴，，∴，则，又面，面，∴直线平面.小问2详解】如图，∵直线//平面，∴，又，所以平行四边形边上的高，由B到面的高，则.18.在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；（2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.【小问1详解】因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；【小问2详解】由正弦定理，则，所以，，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.19.已知函数，，（1）求的解析式；（2）关于的不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围；（3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据函数的解析式进行化简，即可求解；（2）由（1）化简，并分离参数，利用换元法，构造法求出函数的最值，即可求解；（3）由（1）化简，结合条件将不等式化为，利用函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，，则，所以函数的解析式；（2）由（1）和，可得，即的解集为，设，则，即，又由函数在为单