2021年中考数学压轴题讲次21 解直角三角形专项训练

专题21解直角三角形专项训练

典例剖析

LJ

1.（2020•上海九年级一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干Z8垂直于

水平地面）被刮倾斜7°（即/以夕=7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面。

处，测得/CD4=37°,/D=5米,求这棵大树48的高度.（结果保留根号）（参考数据：

sin37g0.6,cos37=0.8,tan37七0.75）

【答案】（3、6+4）米.

【分析】过点/作ZE_LC£＞于点E,解RtZX/E。，求出OE及/E的长度，再解Rta/EC,

得出CE及/C的长，进而可得出结论.

【详解】解：过点/作/ELCO于点E,则//EC=//EO=90。.

:在RtZ\/ED中，NNOC=37。，

DEDE八0

；.cos37°=-----=------=0.8,.,.DE=4,

AD5

AEAE“

,；sin37°=-----=------=0.6,.'.AE—3,

AD5

在RtZ\/EC中，

/7

♦.•/C/E=90。-ZJC£=90°-60°=30°,：.CE=—AE=^,

：.AC=2CE=2yjj,

：.AB=AC+CE+ED=2y/j+y/3+4=3y/j+4(米).

答：这棵大树48原来的高度是(373+4)米.

与D

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键.

2.(2020•上海大学附属学校九年级三模)已知：如图，楼顶有一根天线，为了测量楼的高

度，在地面上取成一条直线的三点E、D、C,在点C处测得天线顶端A的仰角为60。，从

点C走到点D,CD=6米，从点D处测得天线下端B的仰角为45。.又知A、B、E在一条

线上，AB=25米，求楼高BE.

AA

B

□

□

□

□

□

□

L~~D

【答案】(7+19)米

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得DE=BE,设BE=x米，则AE=(x+25)米,

AE

CE=(x+6)米，然后根据tanC=一列出方程即可求出结论.

CE

【详解】解：；从点D处测得天线下端B的仰角为45。，；.DE=BE.

设BE=x米，则AE=(x+25)米，CE=(x+6)米,

在点C处测得天线顶端A的仰角为60°,

AEx+25

tanC=---=VJ,

CEx+6

.\x=—(7+1973)>即楼高BE=5(7+196)米・

答：楼高BE为g(7+19V3)米.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此

题的关键.

3.（2020・上海大学附属学校九年级三模）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD

的长为12米，视角a为60。，根据有关部门的规定，Na439。时，才能避免滑坡危险，学

校为了消除安全隐患，决定对斜坡进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少

要把坡顶。向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数，参考数据：

sin39°x0.63,cos39°®0.78,tan39°«0.81,72®1.41,73®1.73,后®2.24）

【答案】学校至少要把坡顶。向下水平移动7米才能保证教学楼的安全.

【分析】假设点D移到D，的位置时，恰好Na=39。，过点D作DE_LAC于点E,作DEUAC

于点日，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE，的长，进而可得出结论.

【详解】假设点D移到D，的位置时，恰好/a=39。，过D点作DEJ_AC于E点，作D'EIAC

于E'

VCD=12m,ZDCE=60°/.DE=CD-sin60°=673m>CE=CDcos600=6m

VDEIAC,D'E'LAC,DD'〃CE'.'.四边形DEE'D'是矩形

DE=DE=66m

•.•/D'CE'=39°；.CE'=-^va^lxl3；.EE'=CE'-CE=13-6=7（米）.

tan390.81

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全.

4.（2020・上海九年级二模）一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面A®

2

的正侧面示意图，其中A5表示显示屏的宽，与墙面的夹角£的正切值为不，在

地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°,屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处

与墙面之间的水平距离C。为3.4米，求显示屏的宽A8的长.（结果保留根号）

5

【分析】过A作APYDM丁尸，AHA.CD丁”，过5作BNJ_A//T'N，设AP=BN=2x,

AN=PB=5x,解宜角三角形即可得到结论.

【详解】解：过A作”_LDW于P,过8作于N,

2

vtanZABM=-,...设AP=8N=2x,AN=PB=5x,

•:BD=2,8=3.4,:.HN=2,CH=3.4-2x,AH=5x+2,

•：ZACD=45°,AH=CH,.-.3.4-2x=5x+2,

解得：x=0.2,:.PB=\,AP=0.4.

AB=y/PB2-AP2=J（0.4『+12=--（米），

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的

关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或

垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时;要善于读懂题意，把实际问

题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

5.（2020・上海九年级二模）如图1,一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM

上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得NABO

为37。，NAOB为45。,OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin370~0.6,cos37°=0.8,

tan37°~0.75）

【答案】AB的长为25厘米

【分析】作AC_LOB于点C,然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根

据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决.

【详解】作ACLOB于点C,如图2所示，

则NACO=/ACB=90。，

VZAOC=45°,.,.ZAOC=ZCOA=45°,AAC=OC,

设AC=x,则OC=x,BC=35-x,

x

：/ABC=37°,tan37M）.75,/.---------=0.75,

35-x

解得，x=15,.\35-x=20,

；.AB=，152+2（）2=25（厘米）,即AB的长为25厘米•

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解

答.

6.（2020・上海九年级二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i

=1：2.4,AC的长为7.2米，CD的长为0.4米.按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，

根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）.

【答案】该车库入口的限高数值为2.4米.

【分析】由题意延长CD交AB于E,并根据坡度和坡角可得CE=3,DE=2.6,过点D作DHLAB

于H,根据锐角三角函数即可求出DH的长.

Vi=l：2.4,

CE5

/.tanZCAB=—=—

2.412AC-12

VAC=7.2,；.CE=3,

VCD=0.4,，DE=2.6,

过点D作DHLAB于H,；./EDH=/CAB,

5I?

tanZCAB=—,Z.cosZEDH=cosZCAB=—

1213

DH=DExcosZEDH=2.6x—=2.4.

13

答：该车库入口的限高数值为2.4米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定

义.

7.（2020・上海九年级一模）有一个坡度i=l:2的斜坡A8,顶部A处的高AC为4米,

B,C在同一水平地面上，其横截面如图.

H

（1）求该斜坡的坡面A3的长度.

（2）现有一个侧面图为矩形OEFG的长方体货柜，其中。E=2.5米,Eb=2米，该货

柜沿斜坡向下时，点。离BC所在水平面的高度不断变化，求当BR=3.5米时，点。离

BC所在水平面的高度

【答案】（1）4技⑵2#）

【分析】

（1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可；

（2）证出/GDM=/HBM,根据9叫=,，得到GM=lm,利用勾股定理求出DM的长,

GD2

然后求出BM=5m,进而求出MH,然后得到DH.

【详解】

（1）•.•坡度i=l:2,AC=4米，

8C=4x2=8（米）

AB=VAC2+BC2=A/42+82=4后

（2）ZDGM=NBHM=90°,ZDMG=ZBMH：.NDGM=ZHBM

GM_1

~GD~2

,;DG=EF=2（米）；.GM=1（米）

.-.DM=y/l+4=y/5,BM=BF+FM=5（米）

设=x米，则BH=2x米，

.•./+3=52（米）：.HD=2也（米）

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义和勾股定理

是解题的关键.

8.（2020・上海九年级一模）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A

处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55。58,和57°,己知点A与楼底中间部位D的

距离约为80米,求避雷针BC的长度.（参考数据：sin55°58^0.83,cos55°58M）.56,

tan55°58'=1.48,sin57°=0.84,tan57yL54）

【答案】避雷针BC的长度为4.8米.

【分析】解直角三角形求出CD,BD,根据BC=CD-BD求解即可.

BD

【详解】解：在RtZ\ABD中，VtanABAD=——，

AD

.」48二吗

8（）

；AD=80米,.,.BD=118.4（米）,

在RtACAD中，VtanZCAD=——，

AD

CD

：.1.54=——，；.CD=123.2（米），；.BC=CD-BD=4.8（米）

AD

答：避雷针BC的长度为4.8米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

9.（2020・上海九年级一模）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用

所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度.他们先在点。用高1.5米的测角仪ZM测得

塔顶M的仰角为30。，然后沿。口方向前行40加到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角

为60。.请根据他们的测量数据求此塔Mb的高.（结果精确0.1加，参考数据：、历=1.41，

6=1.73，76=2.45).

【答案】36.1米

［分析】首先证明AB=BM=4Q,在RtABCM中，利用勾股定理求出CM即可解决问题;

【详解】解：由题意：A6=40,CF=1.5,NMAC=30°,ZMBC=60°,

4c=30。，ZMBC=60°,:.ZAMB=30°

ZAMB=ZMAB：.AB=MB=40,

在RtABCM中，

VZMCB=90°,ZMBC=60°,:.ZBMC^30°.

22

•••BC=^BM=20,MC=y]MB-BC=2(x/3-

MC-34.64,

MF=CF+CM=36.14®36.1.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，本题的突破点是证明48=3"=40,属于中考常考题型.

10.（2020・上海九年级一模）如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60。方向行驶到

达B处,此时从3处发现灯塔。在游轮的东北方向，已知灯塔。在码头A的正西方向200

米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）.

（参考数据：0=1.414，6=1.732，灰=2.449）

///〃///

乃

【答案】386米

【分析】过B作BD_LAC于D,解直角三角形即可得到结论.

【详解】过B作BD_LAC于D,

北

A•

D…一///〃///

：/C

：/.•一：

•z•

才

在R3BCD中，VZD=90°,ZDBC=45°,

ZDBC=ZDCB=45°,BD=CD,

在RSABD中，VZDAB=30°,.,.AD=GBD,

VAC=200,/.&BD-BD=200,

200仁r-r-r-

.-.BD=-j^—j=IOO（V3+I）,/.BC=V2BD=100（6+l）x&=386米，

答：此时游轮与灯塔C的距离为386米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出

直角三角形是解答此题的关键.

压轴精练

L▲

1.（2020・上海）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线。-N-8-C表示支架，

支架的一部分O-/-8是固定的，另一部分8C是可旋转的，线段表示投影探头，OM

表示水平桌面，AOVOM,垂足为点O,且/O=7cm,/8/。=160°,BC//OM,CO=8c机.

图1

将图2中的8c绕点8向下旋转45°,使得8CZ）落在30。'的位置（如图3所示），止匕

时C'D'LOM,AD'//OM,AD'=\6cm,求点8到水平桌面OA/的距离，（参考数据：

sin70°«=0.94,cos70°七0.34,cot700-0.36,结果精确到1c-）

【答案】8到水平桌面0M的距离为44.5cm.

【分析】过3作8G_LOM于G,过C'作C'H_LBG于H,延长£）'/交8G于E,则C'H

=£>'E,HE=C'D'=8,设<E=x,解直角三角形即可得到结论.

【详解】

解：过8作8G_LOA/于G,

过C'作C'H_LBG于H,延长A交BG于E,

则C'H=D'E,HE=CD'=8,

设/E=x,：.C'H=D'E=l6+x,

VZBCa=45°,:.BH=C'H=16+x,.,.BE=16+x+8=24+x,

BE24+x1

:.NB4E=7G°,.\tan70o

AEx0.36

解得：x=13.5,:.BE=315,

：.BG=BE+EG=BE+AO=37.5+l=44.5cm,

答：B到水平桌面OM的距离为44.5a”.

图3

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解

题的关键是构造直角三角形.

2.（2020・上海市民办协和双语学校九年级一模）水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环

城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观.在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣

小组决定测量该水城门的高.他们的操作方法如下：如图，先在O处测得点A的仰角为20。，

再往水城门的方向前进13米至C处，测得点力的仰角为31。（点。、C、B在一直线上），

求该水城门48的高.（精确到0.1米）

（参考数据:sin20yo.34,cos20°=0.94,tan20tM）.36,sin31°~0.52,cos31°=0.86,tan31cM）.60）

【答案】11.7米.

【分析】根据正切的概念表示出BD、BC,根据题意列出方程，解方程即可.

【详解】由题意，得乙48D=90。，Z£>=20°,乙4c8=31。，CZ）=13.

/cABABAB

在中，・tanND=-----,・・BD==

BDtan20°0.36

AD.ABAB

在RtZUBC中，•••tanNACB=—,

BCtan3100.6

cABAB

CD=BD-BC,：.13=---------------.解得48“11.7米.

0.360.6

答：水城门48的高约为11.7米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的概念是解

题的关键.

3.（2020•上海市民办协和双语学校九年级一模）如图1为放置在水平桌面/上的台灯，底座

的高N8为50“，长度均为20czM的连杆8C、CD与始终在同一平面上.

（1）转动连杆8C,CD,使N8CD成平角，N/8C=150°,如图2,求连杆端点。离桌面

/的高度。£

（2）将（1）中的连杆C。再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3,当N88=150°

时台灯光线最佳.求此时连杆端点。离桌面/的高度比原来降低了多少厘米？

【答案】（1）（20后+5）cm；（2）比原来降低了（10石-10）厘米.

【分析】（1）作8OLOE于O,根据矩形的判定，可得四边形48OE是矩形，先求出NO8O,

然后根据锐角三角函数即可求出OD,从而求出DE：

(2)过C作CG_L8H,CKLDE,根据锐角三角函数，即可求出CG,从而求出KH,再求

出NDCK,利用锐角三角函数即可求出DK,从而求出此时连杆端点。离桌面/的高度，即

可求出结论.

【详解】解：(1)如图2中，作1于O.

D

图2

,：NOE4=NBOE=NBAE=90。，四边形/80E是矩形，

AZ05/4=90°,：.ZDBO=\50°-90°=60°,

.,.OD=5£)«sin60a=206(cm),

：.DE=OEHOE=OD+AB=(20^+5)cm；

(2)过C作CGJL8",CKLDE,

由题意得，BC=CD=20ni,CG=KH,

.•.在RtZiCGB中，sinZCBH=~=-=^-,

BC202

CG=10y/3cm,.\KH=10y/3cm,

■:NBCG=90°-60°=30°,AZDC/C=150°-90°-30°=30°,

,,DKDK1

在RtZA\OCK中，smNDCK=——=——=一，：.DK=\0cm,

DC202

此时连杆端点。离桌面/的高度为10+1073+5=(15+1073)cm

，比原来降低了(2073+5)-(15+1073)=1073-10,

答：比原来降低了(log-10)厘米.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数

解直角三角形是解决此题的关键.

4.(2020・上海九年级一模)如图，一艘船由/港沿北偏东65。方向航行90夜b”至8港，

然后再沿北偏西40。方向航行至C港，C港在/港北偏东20。方向，求/,C两港之间的距

离.

【答案】（90+306）km.

【分析】过8作BEL4c于E,在中，由//B£=45。，/3=90V5，可得/E=

BE=®AB=9Qkm,在RtZ\C8£中，由N/C8=60°,可得CE=18E=30石km,继而

23

可得NC=ZE+CE=90+3073・

【详解】解：根据题意得，/。8=65。-20。=45。，//。8=40。+20。=60。，AB=90底,

过3作8E_L/C于E,

NAEB=NCEB=90°,

在RtAABE中，ZABE=45°,AB=9072，

历

:J4E=BE="AB=9Qkm,

2

在RtZ\C8E中，VZACB=60°,

：.CE=^^BE=30y/3km,：.AC=AE+CE=90+30y/j>

：.A,C两港之间的距离为（90+306）km-

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较

简单.

5.（2020・上海九年级一模）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CO垂直于水平

地面GQ,当点P与点A重合时，伞收紧；当点尸由点A向点3移动时，伞慢慢撑开；当

点尸与点8重合时，伞完全张开.己知遮阳伞的高度CO是220厘米，在它撑开的过程中，

总有「河=PN=GM=CW=50厘米，CE=CE=120厘米，8c=20厘米.（参考数

据：sin53°®0.8>cos53°«0.6>tan53°«1.3)

（1）当NCPN=53°，求BP的长？

（2）如图，当金定全张开时，求点E到地面GQ的距离.

【答案】（1）40厘米；（2）196厘米

【分析】（1）连接MN,交PC于点O,易证：四边形MPNC是菱形，由NC/W=53°，可

求PO的长，进而求出PC的长，即可求解；

（2）连接MN,交PC于点O,作EHLCD,垂足是H,易证：MO〃EH,得到：-,

CECH

求出CH=24,进而即可求解.

【详解】（1）连接MN,交PC于点O,如图1,

PM=PN=CM=CN=5。，

.••四边形MPNC是菱形，/.MN1CP,CO=PO,

；NCPN=53°，.,.PO=PN-cos530=50x0.6=30，

，PC=2PO=2x30=60,

BC=2Q,：.BP=PC-BC=60-20=40（厘米）；

（2）连接MN,交PC于点O,作EHJ_CD,垂足是H,如图2,

,四边形MPNC是菱形，.•.CO=BO=L8C=1x20=10,MO1BC,

22

VEH1CD,・・・MO〃EH,

，丝二丝，9=里

alJ:.\CH=24,

CECH120CH

DH=CD-CH=220-24=196（厘米）,

即：点E到地面GQ的距离是196厘米.

图1图2

【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质定理以及三角函数的定义，添加合适的辅助线，是

解题的关键.

6.（2020・上海九年级一模）为了测量大楼顶上（居中）避雷针的长度，在地面上点A处

测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55。58'和57。,已知点A与楼底中间部位D的距

离约为80米，求避雷针6C的长度（参考数据：sin55°58'»0.83,cos55°58'»0.56,

tan55°58'®1.48,sin57°a0.84,cos57°«0.54,tan57°«1.54）

【答案】约4.8米

【分析】分别在两个直角三角形4ABD和4ACD中利用正切函数求出BD长和CD长，BD

和CD作差即可求解.

【详解】解:根据题意可知:AD=80米，ZBAD=55°58\ZCAD=57°,

*、BD

在RtZ\BAD中，tan/BAD=---,

AD

BDBD

tan55°58'=---,<'•---»1.48,BD=118.4米;

AD80

,.CD

在RtZ\CAD中，tanZCAD=——，

AD

CDCD

Atan57°=——，Z.——»1.54CD=123.2米,，BC=CD-BD=123.2-118.4=4.8米.

4080

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角、俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是

解答此题的关键.

7.（2020・上海九年级一模）如图，海中有一个小岛A,该岛的四周10海里的范围内有暗礁,

有一货轮在海面上由西向东航行，到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60。的方向上，再往

东行驶20海里后到达小岛的南偏西30。的方向上的C处，如果货轮继续向东航行，是否会

有触礁危险？请通过计算说明：

【分析】先过A作AH垂直于BC交BC的延长线于点H,解直角三角形求出AH的长度,

然后与10进行比较即可，若AH>10,则不会有危险，反之则有危险.

【详解】过A作AH垂直于BC交BC的延长线于点H：

A

B

由题意可得/BAH=60°,ZCAH=30°；

ZABH=30°,ZACH=60°

AHl

设C”=x,在RT^ACH中，tan60°=-^=<3

CH

AH=辰H=氐

在RTAABH中，tan30°=^=-

BH3

BH=3x

,:BC=20BH=BC+CH=20+x

厂.20+x=3元，x=10

AH=y/3x=10百海里＞10海里

所以，不会有触礁危险.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键.

8.（2020・上海九年级一模）已知不等臂跷跷板AB长为3米,跷跷板AB的支撑点O到地面

上的点H的距高OH=0.6米。当跷跷板AB的一个端点A碰到地面时,AB与地面上的直线

AH的夹角ZOAH的度数为30°.

B

（1）当AB的另一个端点B碰到地面时（如右图）,跷跷板AB与直线BH的夹角ZABH的正

弦值是多少？

（2）当AB的另一个端点B碰到地面时（如右图），点A到直线BH的距离是多少米？

【答案】（1）；；（2）1

【分析】（1）先根据作图中求出0B的长度，再利用sinN