一元一次方程与实际问题-2021年中考数学应用题专题练习【含答案】

专题01：一元一次方程与实际问题--2021年中考数学应用题专题练习

一、解答题

1.江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名果”之

美誉.11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元，己知赣南脐橙

单价为每千克8元，奉节脐橙的单价为每千克10元.

。)求11月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？

(2)12月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与

12

11月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了一。％和一。％,赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增

25

加了和'a%,12份的总销售额比11月减少了600元，求”的值.

42

(1)11月份赣南脐橙销量为4000千克，奉节脐橙为3000千克；(2)10

【分析】(1)设赣南脐橙销量为x千克，则奉节脐橙为(7000-x)千克，根据总销售额为62000元列方程求

解即可；

(2)根据总销售额=每千克的单价x销量，列出关于。的一元二次方程，然后求解即可.

(1)设赣南脐橙销量为x千克，则奉节脐橙为(7000-x)千克,

由题意可得：8%+10(7000-%)=62000,

解得：.『4000,

7000-x=7000-4000=3000,

答：11月份赣南脐橙销量为4000千克，奉节脐橙为300()千克；

(2)由题意得:

|^8-8xi«%j4000+4000xia%^10-10x|6z%j3000+3000x1a%j=61400,

化简得：100(a%y+50。％-6=0,

令a%=/nf

则有：100〃，+50m—6=0»

解得：叫=0.1,m2=一0.6(舍)，

・・.〃％=().1,

：•4=10,

答：。的值为10.

【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出方程.

2.如图，直线/上有A、B、C三点，AB=8m,直线/上有两个动点P、。，点P从点A出发，以g

秒的速度沿AB方向运动，点。从点8同时出发，以ga”/秒的速度沿BC方向运动.

(1)点P、。出发几秒钟后，点8是线段P。的中点？

(2)运动过程中，点P和点。能否重合？若能重合，几秒后重合？

(3)运动过程中，线段PQ与线段AQ的长度能否相等？说明你的理由.

________________________________________£.________L

(1)—s；(2)能，—s；(3)能，理由见解析

73

【分析】(1)设点P、。出发，秒钟后，点8是线段尸。的中点.根据题意得到等量关系：BP=BQ；

(2)假设点P、。出发f秒钟后，点P和点Q重合，则4B+BQ=AP；

(3)需要分类讨论：当点P在点。左侧和右侧两种情况下的f的值.

(1)设点P、。出发f秒钟后，点8是线段P。的中点，则

11

8---t=-t

25

解得：/=3，

即点P、Q出发岑秒钟后，点8是线段PQ的中点：

(2)假设点P、。出发f秒钟后，点尸和点Q重合，则

C11

8H—1=——t.

52

…80

解得：t=――;

3

(3)当点P在点。左侧时，线段PQ与线段AQ的长度不可能相等.

当点P在点。右侧时，设点P、。出发f秒钟后，线段PQ与线段A。的长度相等，则

8~1—j=——t-(8H—t),

525

解得：t—160.

当f=160时，线段PQ与线段A。的长度相等.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

3.学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单

独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位，

(1)求参加活动的同学人数.

(2)已知租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元.公司经理问：“你们准备怎

样租车？'‘甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，这样没有空座位，不会浪费”；乙同学说：“我的方

案是只租用60座的客车，因为60座的客车每个座位单价少，虽然有空位，但总体可以更省钱“，如果是你,

从经济角度考虑，你会如何设计租车方案，并说明理由.

(1)225；(2)45座客车1辆，60座客车3辆，费用最少为2300元

【分析】(1)设参加活动的同学人数为x,根据题意列出一元一次方程求解即可；

(2)先求出只租用45座或60座的费用，然后设两种客车混合时，租用45座客车m辆，60座客车〃辆，

根据题意建立二元一次方程，求出符合题意的整数解，然后分别判断何种方案租金最少即可.

(1)设参加活动的同学人数为X,

XY4-15

根据题意得：—=--+1,

4560

解得：x=225,

，参加活动的同学有225人；

(2)由(1)可知,

若只租用45座客车，则数量为：225+45=5(辆)，费用为：5x500=2500(元)；

若只租用60座客车，则数量为：225+60^4(辆)，费用为：4x600=2400(元)；

设两种客车混合时，租用45座客车辆，60座客车“辆，

则45加+60〃=225,

'：m,〃均为正整数，

•••解得：\c，

〃=3

止匕时，费用为：1x500+3x600=2300(元)，

2300<2400<2500,

...选择租用45座客车1辆，60座客车3辆，费用最少，最少为2300元.

【点评】本题考查一元一次方程与二元一次方程的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程并求解是

解题关键.

4.在大力推广垃圾分类之前，某小区虽然在每栋楼都放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，但是少数居

民对垃圾分类的认识不够深入，常常将垃圾混装后随意丢入垃圾桶，导致垃圾分类混乱，垃圾处理站将可

回收垃圾桶内的垃圾记为4类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为B类垃圾.该小区共有10栋楼，平均

每栋楼每月产生12吨A类垃圾和4吨8类垃圾，每吨B类垃圾处理费是每吨A类垃圾处理费的2倍，该

小区每月A、B两类垃圾处理费总费用为8000元.

(1)求每吨A类垃圾处理费多少元？

(2)在大力推广垃圾分类之后，该小区的居民认识到了垃圾分类的重要性并规范地放置垃圾.该小区每月

产生的A、B两类垃圾总重量不变的情况下，B类垃圾的重量增加了〃％,同时，垃圾处理站通过技术革新

将A、B两类垃圾每吨处理费分别降低了之。％和”“％,这样与推广垃圾分类之前相比，该小区每月4、B

416

39

两类垃圾处理费总费用减少了一“％,求。的值.

40

(1)40元;(2)40

【分析】(D每吨A类垃圾处理费为x元，则每吨B类垃圾处理费为2x元，根据该小区每月A、8两类垃

圾处理总费用为8000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

(2)根据A类垃圾处理费xA类垃圾数量+B类垃圾处理费xB类垃圾数量=处理垃圾总费用即可得出关于a

的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

(1)设每吨A类垃圾处理费为x元，则每吨B类垃圾处理费为2x元，

依题意，得：10x(12x+4x2x)=8000,

解得：x—40,

答：每吨A类垃圾处理费为40元.

51539

(2)依题意，得：40(1--«%)xl0x(12-4xa%)+40x2(l——a%)x10x4(1+a%)=8000(1----a%),

41640

整理,得：40a-a2—01

解得：ai=40,“2=0(不合题意，舍去).

答：a的值为40.

【点评】本题考查一元一次方程解应用题，一元二次方程解应用题，掌握一元一次方程解应用题，一元二

次方程解应用题，抓住A类垃圾处理费xA类垃圾数量+B类垃圾处理费xB类垃圾数量=处理垃圾总费用是

解题关键.

5.为了有效控制新型冠状病毒（世界卫生组织正式将其命名为2019—〃CoVO的传播，某市在推广疫苗之

前，利用网络调查的方式，对不同的医药集团生产的G、K两种生物新冠灭活疫苗进行了接受程度的匿名

调查.在收集上来的有效调查的加人的数据中，能接受G的市民占调查人数的60%,其余不接受G；且

接受K的比接受G的多30人，其余不接受K.另外G、K都不接受的市民比对G、K都能接受的市民

（1）a=300，b=200,c=170；（2）210人

【分析】（1）根据接受K的比接受G的多30人，可得到。的值，可求出总数加，即可求出A,J

（2）设G、K都能接受的市民人数为了，建立一元一次方程求解即可.

（1）:接受K的比接受G的多30人

a-330-30=300

总数机=300+60%=500

.•"=500x40%=200,。=500-330=170

（2）设G、K都能接受的市民人数为x,则G、K都不接受的市民为2x+10

3

由题意可得：-x+10-x=200-330

3

解得：x=210

，G、K两个医药集团的疫苗都能接受的人数为210人.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分析题目从中获取关键信息建立方程是解题的关键.

6.小明家在安徽某市经营了甲，乙两个连锁超市，这两个连锁超市4月份的销售额均为相万元，在5月份

和6月份这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长JC%,而乙超市的销售额平均每月减少x%.

（1）6月份甲超市的销售额比乙超市的销售额多万元（用含m,x的式子表示）；

(2)若〃『10,且6月份甲超市的销售额比乙超市多0.8万元，求x的值.

(1)0.04«ix；(2)x的值是2

【分析】(1)先列出两超市4〜6月的销售额的表格.用5月份甲超市的销售额-乙超市的销售额;

(2)将加=10代入计算即可.

(1)两超市3〜5月的销售额可列表格如下：

4月份5月份6月份

甲超市销售额mtn(1+x%)m(1+x%)(1+x%)-m(l+x%)2

乙超市销售额mm(1-x%)m(1-x%)(1-x%)=m(1-x%)2

6月份甲超市与乙超市的差额为〃？(1+x%)2-m(l-x0/o)2=4mx°/o=0.04mx(万元).

故答案是：0.04,内；

(2)由题意，得0.04如=0.04x10•40.8.

解得x=2.

答：x的值是2.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分别得到甲、乙两个超市各月的销售额.

7.在万众一心抗击新冠病毒的战疫中，口罩是很好的防护用品.某社区医院在淘宝店购置备用.若每袋20

只装的KN95口罩比每袋50只装的医用外科口罩贵25元，3袋KN95口罩与4袋医用外科口罩价格相等.

(1)求KN95口罩和医用外科口罩每袋各多少元.

(2)淘宝电商约定，购物超过2000元多出的部分，可享受9折优惠.社区医院根据医生和居民情况，准

备按KN95与医用外科口罩只数为I：10的比例购买.若其中一次两种口罩共购50袋，求应付的总价.

(1)KN95口罩和医用外科口罩每袋分别为100元、75元；(2)3800元.

【分析】(1)设KN95口罩和医用外科口罩每袋分别为x元、y元，再根据题意建立二元一次方程组，然

后利用消元法解方程组即可得；

(2)设购买KN95口罩为。袋，从而可得医用外科口罩为(50-。)袋，再根据两种口罩的数量比例建立方

程求出a的值，然后结合(1)的结论、优惠规定计算即可得.

(1)设KN95口罩和医用外科口罩每袋分别为x元、丁元，

x-y=25

由题意得:

3x=4y

x=100

解得＜

y=75

答：KN95口罩和医用外科口罩每袋分别为100元、75元;

（2）设购买KN95口罩为。袋，则医用外科口罩为（50—。）袋,

由题意得：50（50—4）=10x20。，

约简得50-。=而，

解得。=10,

未打折总价为10x100+40x75=1000+3000=4000（元），

享受打折部分应付0.9x（4000—2000）=1800（元），

则应付总价为2000+1800=3800（元），

答：应付的总价为3800元.

【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用、二元一次方程组的实际应用，依据题意，正确建立方程组

和方程是解题关键.

8.2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎造成口罩紧缺，为满足社会需求，某一工厂需购买A、

3两种材料，用于生产甲、乙两种口罩，每件分别使用的材料和数量如表：

A种B种

甲型30kg10kg

乙型20kg20kg

其中A种材料每千克15元，8种材料每千克25元.

（1）若生产甲型口罩的数量比生产乙型口罩的数量多10件时，两种口罩需购买材料的资金相同，求生产

甲、乙两种口罩各多少件？

（2）若工厂用于购买A、3两种材料的资金不超过385000元，且需生产两种口罩共500件，求至少能生

产甲种口罩多少件？

（1）生产甲、乙两种口罩分别为80件、70件；（2）至少能生产甲种口罩150件

【分析】（1）设乙型口罩的数量为X件，则甲型口罩的数量为（X+10）件；根据题意列一元一次方程并求解,

即可得到答案；

C2）设甲型口罩的数量为x件，则乙型口罩的数量为（500-x）件；根据题意列一元一次不等式并求解，

即可得到答案.

（1）设乙型口罩的数量为X件，则甲型口罩的数量为（x+10）件

根据题意，得：（30xl5+10x25）（x+10）=（20x15+20x25）%

x=70

/.x+10=80

.♦.生产甲、乙两种口罩分别为80件、70件；

（2）设甲型口罩的数量为x件，则乙型口罩的数量为（500-X）件

根据题意，得：（30xl5+10x25）x+（20xl5+20x25）（500-x）<385000

，x>150

...至少能生产甲种口罩150件.

【点评】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元

一次不等式的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解.

9.小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张

晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x

（分）之间的函数图象如图所示.

（1）求小张骑自行车的速度；

（2）求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式:.

（3）求小张与小李相遇时X的值.

（1）小张骑自行车的速度是300米/分；（2）y=-300x+3000；（3）小张与小李相遇时x的值是曾分

【分析】（1）由图象看出小张的路程和时间，再根据速度公式求解即可；

（2）首先求出点B的坐标，利用待定系数法求解即可；

（3）求小李的函数解析式，列方程组求解即可.

解:⑴由题意得:2400T200=3oo(米/分),

4

答:小张骑自行车的速度是300米/分；

(2)由小张的速度可知:3(10,0),

设直线AB的解析式为：y=kx+b,

10Z+b=0

把A(6,1200)和8(10,0)代入得：＜

6女+匕=1200'

k=-300

解得：\

8=1200

小张停留后再出发时>与X之间的函数表达式：y=-300x+3000；

2400

(3)小李骑摩托车所用的时间:工=3,

87070r

VC(6,0),0(9,2400),

同理得：CD的解析式为:y=800x-4800,

则800x-4800=-3OOx+3OOO,

x=一,

【点评】本题考查了一次函数的路程问题，掌握待定系数法、一次函数的性质、解方程组的方法是解题的

关键.

10.已知A、8两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往5地，甲车出发两小时后，

乙车从5地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和》(千米)与甲车行驶

的时间x(时)之间的函数关系如图所示.

（1）甲车的速度为千米/时，。的值为•

（2）求乙车出发后，》与x之间的函数关系式.

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间.

1323

（1）40,480；（2）y=100%-120；（3）一小时或一小时

55

【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车

行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240x2=480；

（2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可；

（3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可.

（1）由题意可知，甲车的速度为：80+2=40（千米/时）；

a=40x6x2=480,

故40；480；

（2）设丁与X之间的函数关系式为丫=依+",

由图可知，函数图象过点（2,80）,（6,480）,

2k+b=80攵=100

所以＜解得＜

6攵+6=480b=-120

所以y与X之间的函数关系式为y=1（X）A--120；

（3）两车相遇前：80+100（x-2）=240-100

13

解得：X=y

两车相遇后：80+100（x-2）=240+100

23

解得：X=y

1323

答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是二小时或三小时.

55

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结

合的思想解答.

11.如图，在等边△ABC中，AB=12cm,现有M,N两点分别从点A,B同时出发，沿aABC的边按顺时

针方向运动，已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次到达B点时，M,N同时停止

运动，设运动时间为/(s).

(1)当，为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？

C2)当点M,N在BC边上运动时，是否存在使的位置？若存在，请求出此时点M,N运动的时

间；若不存在，请说明理由.

(1)当r=12时，M,N两点重合，此时两点在点C处重合；(2)存在，此时M、N运动的时间为16秒

【分析】(1)由N的运动路程比M的运动路程多12cm,再列方程，解方程即可得到答案；

(2)由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，由4N=AM,证明(A4S),可得

CM=BN,再列方程求解即可得到答案.

(1)由题意，fxl+12=2f,

解得：f=12,

...当f=12时，M,N两点重合，

此时两点在点C处重合；

(2)结论：当点M、N在2c边上运动时，可以得到AM=AN,即以"N为底边的等腰三角形.

理由：由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图，假设△AMN是等腰三角形

：.AN=AM,

・tZAMN=/ANM,

：./AMC=/ANB,

「△AC8是等边三角形，

.\ZC=ZB,

在△ACM和△ABN中，

ZC=ZB

4AMe=4ANB,

AC=AB

•'△ACMdABN（A4S）,

:・CM=BN,

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间为y秒，△AMN是等腰三角形，

：.CM=y-12,NB=36-2y,

,:CM=NB,

・'y-12=36-2y,

解得：y=16.经检验符合题意，故假设成立.

当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M、N运动的时间为16秒.

【点评】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，几何动态问题，掌握利用方程解决

几何动态问题是解题的关键.

12.上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”.当累计水量达到年

度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表.

户年用水量自来水价格污水处理费

分档

（立方米）（元/立方米）（元/立方米）

第一阶梯0-220（含220）1.921.70

第二阶梯220-300（含300）3.301.70

第三阶梯300以上4.301.70

注：1.应缴纳水费=自来水费总额+污水处理费总额

2.应缴纳污水处理费总额=用水量x污水处理费x妙9

仔细阅读上述材料，请解答下面的问题，并把答案写在答题纸上:

（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费元；

（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为_____立方米；

（3）如图所示是上海市“阶梯水价勺与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）的函数解析式

220<x<300.

直接利用应缴纳水费=自来水费总额+污水处理费总额

计算即可;

（2）先判断出用水量处于第几阶梯，然后设2019年全年用水量为x立方米，列出方程求解即可;

（3）先求出用水量220立方米时的水费，然后利用待定系数法求解析式即可，定义域根据图象直接可得.

（1）1.92x100+1.7x100x0.9=345（元）

.,.用水量100立方米应缴纳水费345元；

（2）当用水量为220立方米时，应缴水费为L92x220+1.7x220x0.9=759（元）

当用水量为300立方米时，应缴水费为1.92x220+3.3x80+1.7x300x0.9=1145.4（元）

，全年缴纳的水费共计1000.5元，说明用水量处于第二阶梯，

设2019年全年用水量为x立方米，根据题意得

1.92x220+3.3。-220）+1.7x300x0.9=1000.5

解得x=270

A2019年全年用水量为270立方米；

（3）由⑵可知，当x=220时，丁=759,

设线段AB的解析式为y=kx+b

将4(220,759),5(300,1145.4)代入解析式中得

220k+〃=7597=4.83

300%+6=1145.4解得,

b=-303.6

...线段AB的解析式为y=4.83x-303.6,

定义域为220<x4300.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用及一次函数的应用，掌握待定系数法并能够理解题意是解题的

关键.

13.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水收

费价格见价目表.

价目表・，

每月水用量单价

不超出6起的部分2元/

超出6对不超出IQ.m'的部分+4元/

超出IQm，的部分8元31

注：水费按月结算.

若某户居民1月份用水8m3,则应收水2x6+4x(8-6)=20元.

(1)若该户居民2月份用水12〃/，则应收水费•元;

(2)若该户居民3月份交水费44元，则该用户3月份用水多少立方米?

(3)若该户居民4、5月份共用水15m3(5月份用水量超过4月份)，共交水费44元，则该户居民4,5

月份各用水多少立方米?

(1)44;(2)12〃/；(3)

【分析】(1)将不超出6加3部分的价格,超出6口不超出10加的价格,和超出1()加3的费用相加，即为该

用户居民2月份应交的水费;

(2)由2x6+4x4=28<44,可判断3月份用水超过了1()m3,再设用水工加3,列方程解方程可得答案;

(3)应分两种情况进行讨论，当3月份用水量不超过6，/时，列出方程进行求解，根据求解的结果进行检

验；若结果小于6加3,符合题意，否则应舍去；当3月份的用水量超出6〃，不超出1()加3时，列出方程进

行求解，同样进行检验.

（1）应收水费2x6+4x4+02—6—4）x8=44元.

（2）由2x6+4x4=28（元），而28<44,

所以：该户居民3月份的水费超过了10/3,

设三月份用水也？，

；.2x6+4x4+8（x—10）=44,

解得：x=12,

所以该户居民3月份的用水量为12根

（3）当三月份用水不超过6m3时,四月份超过10m3,

设三月份用水m?,则2x+2x6+4x4+8（15—x—10）=44,

解得：尤=4<6,符合题意，

所以：15-4=11加.

当三月份不超过6m3,四月份超过6〃/但不超过i（）m3,

可得：2x+2x6+4（15-x-6）=44,

解得：x=2,15—x=13,舍去，

当三月份用水超过6"/时，但不超过10阳3时，

设三月份用水JW?,则四月份超过6〃/时，但不超过10m3时：

2x6+4（x—6）+2x6+4（15—x—6）=44,

所以方程无解（舍去）.

所以三月份用水4/7?，四月份用水11/7?.

【点评】本题主要分段收费问题，一元一次方程的应用，分类讨论，理解题意分段列出每段的费用是解题

的关键，注意根据求解的结果进行检验.

14.某化工厂欲对工业废料进行低成本加工后循环利用，因此建设了废料处理分厂A,B进行废料处理，B

分厂用于处理A分厂当日处理不尽的工业废料，已知A分厂的日处理量为〃?吨，每日需固定成本30元，

且每处理一吨废料还需人工、物料费用等共计8元：B分厂的废料处理价格为12元/吨.根据记录，某日处

理工业废料35吨共花费370元.

(1)求A分厂的日废料处理量，〃的值.

(2)若欲使每日废料处理的平均费用不超过10元/吨，求4,B分厂日处理的工业废料总量〃的取值范围.

(1)20；(2)15<n<25

【分析】(1)先判断A分厂的日废料处理量根的范围，再根据题意列出关于，"的方程，解之可得；

(2)分0<〃020和〃>20两种情况，根据每日废料处理的平均费用不超过10元/吨列出关于”的不等式，解

之可得答案.

(l)：35x8+30=310(元),310070,

由题意得30+8，*+12(35-w)=370,

解得机=20；

⑵①当0〈处20时，依题意得8〃+30/10〃，

解得位15,

A15<n<20；

②当〃>20时，依题意，得：12(〃-20)+8x20+30<10n,

解得彷25,

.,.20<n<25;

综上，A,B分厂日处理的工业废料总量〃的取值范围是159s25.

【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式，解题关键是理解题意，准确列出方程和不等式.

15.为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：

3,单价和为42元.

(1)甲乙两种票的单价分别是多少元？

C2)学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多

于15张，有哪几种购买方案？

(1)甲乙两种票的单价分别是24元、18元；(2)①甲种票买16张，乙种票买20张；②甲种票买17张,

乙种票买19张,

【分析】(1)设甲票价为4x元，乙为3x元，根据单价和为42元得到x的一元一次方程，解方程得x的值,

然后分别计算4x与3x即可；

(2)设甲种票有y张，则乙种票(36-y)张，根据购买的钱不超过750元和购买甲种票必须多于15张得到

两个不等式，求出它们的公共部分，然后找出其中的整数，即可得到购买方案.

(1)设甲票价为4x元，乙为3x元，

，3x+4x=42,解得x=6,

，4x=24,3x=18,

所以甲乙两种票的单价分别是24元、18元；

（2）设买甲种票a张，则买乙种票（36-a）张，

'24a+18（36-a）W750

47>15

解得：15<a<17,

，a取16、17,

所以有两种购买方案：甲种票16张，乙种票20张；甲种票17张，乙种票19张.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关

系，列出方程或不等式组是解题的关键.

16.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目

标.某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出

租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.

（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；

（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.

（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆.

【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费

用可下降50%,列出式子即可求出答案：

（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求

解即可.

（1）依题意得:50x（1-50%）=25（万元）

（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆，依题意得：

50x（260-x）+25x=9000

解得：x=160

答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆.

【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程.

17.数轴上有4,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系,

则称该点是其它两个点的“关联点”.

例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4,此时点B是点A,C的“关联点”.

(1)若点A表示数-2,点B表示数1,下列各数-1,2,4,6所对应的点分别是Ci,C2,C3,C4,其中

是点A,B的“关联点”的是—；

(2)点A表示数-10,点8表示数20,P为数轴上一个动点：

①若点P在点2的左侧，且点P是点A,8的“关联点”，则此时点P表示的数是一；

②若点尸在点B的右侧，点P,A,B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点尸表

示的数.

ABC

!IIII；>

012345

(1)Cl,C3;(2)①-40或0或10；②50或80或35

【分析】(1)根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；

(2)①(I)当点P在A的左侧时，根据以=2PB列方程求解；

(II)当点P在A、B之间时，根据2以=尸8或B4=2P8列方程求解；

②分当尸为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答.

(1):点A表示数-2,点8表示数1,。表示的数为-1,

•*»AC]=1,BC\=2,

是点A、B的“关联点”；

•.•点A表示数-2,点B表示数1,C2表示的数为2,

；.AC2=4,BG=1,

，C2不是点A、B的“关联点”；

•••点A表示数-2,点B表示数1,C3表示的数为4,

AC*3=6,8c3=3,

・二。3是点4、B的“关联点”；

・・•点A表示数-2,点3表示数1,C4表示的数为6,

「♦4(74=8,3c4=5,

Ci不是点A、B的"关联点''；

故Ci,C3；

(2)①若点P在点B的左侧，且点P是点A,B的“关联点”，设点P表示的数为x,

CI)当点尸在A的左侧时，则有：即2(-10-x)=20-x,

解得x=-40；

(II)当点尸在A、2之间时，则有2B4=P8或必=2P8,即：

2(x+10)=20-x或x+10=2(20-x),

解得x=0或x=10；

因此点P表示的数为-40或0或10.

故-40或0或10；

②若点尸在点8的右侧，

(I)若点P是点A、8的“关联点”，则有2PB=%，即2(x-20)=x+10,

解得x=50；

(II)若点B是点A、P的“关联点”，则有2AB=PB或A8=2PB,即2x(20+10)=x-20或20+10=2(x

-20),

解得x=80或尤=35：

(III)若点4是点B、P的“关联点”，则有2AB=抬，即2x(20+10)=x+10,

解得x=50.

因此点P表示的数为50或80或35.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联

点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果.

18.如图，数轴上有点A、8两个点，OA=16,点B所表示的数为20,AC=6AB.

----------------

C0AB

c6AB

备用图

---------———>

COAB

备用图

(1)求点C所表示的数；

(2)动点P、Q分别自A、8两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段

CP的中点，点尸为线段C。的中点，求出线段E尸的长度；

(3)在(2)的条件下，点P、。分别自4、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的

7

速度沿数轴向右运动，设运动时间为，(秒)，3<fV一时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2,且

2

点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点(点T不与点M、N重合)，在运动的过程中，若满足-

NT=3PT(点T不与点P重合)，求出此时线段PT的长度.

(1)-8；(2)2；(3)1或工.

2

【分析】(1)根据线段的和差得到A5=4,得到OC=24-16=8,于是得到点C所表示的数为-8；

(2)分三种情况：设运动时间为f,则AP=BQ=2r,求得PC=24-2/,CQ=28-2t,根据线段中点的定

义得到CE=JPC=12-f,CF=-CQ=14-t,于是得到结论；

22

(3)根据题意得到p表示的数为16-2r,。表示的数为20-2f,M表示的数为一8+6/,N表示的数

7

为一10+6/,知MQ=20-2r-(-10+6r)=30-8f,由3<f<—知9<16-力<10,8<-10+6?<11,从而以点

2

N与点尸位置先后来分类讨论，利用MQ-NT=3PT列式求解可得.

(1)=16,点5所表示的数为20,

.,.AB=4，

-AC^6AB,

"C=24,

.•一比=24-16=8,

二点。所表示的数为-8；

(2)设运动时间为人

当()<，<9时，点P,。在点C的右侧，则AP=8Q=2/,

-AC=24,BC=28,

.-.PC=24-2/,CQ=28-2r,

•••点E为线段CP的中点，点尸为线段CQ的中点，

:.CE=-PC=n-t,CF=-CQ=\4-t,

22

:.EF=CF-CE=2i

当9y<14时，点P,。在点。的左右，PC=21-24,CQ=28-2f,

•・•点E为线段CP的中点，点尸为线段CQ的中点，

:.CE=^PC=t-12,CF=^CQ=\4-t,

;.EF=CE+CF=2,

当r>14时，点尸，。在点C的左侧，PC=21-24,CQ=2t-2S,

CE=-PC=t-\2,CF=-CQ=t-\4,

22

:.EF=CE-CF=2,

综上所述，EF=2；

(3)由题意得，P表示的数为16—2/,。表示的数为20-2f,

M表示的数为—8+6/,N表示的数为-10+6/，

则MQ=20-2r-(-8+6r)=28-8r,

7

3<z<—>

2

.\9<16-2/<10,8<-10+6?<11,

当8v-10+6r,,9时，

•.•TN=PN-PT,MQ-NT=3PT,

:.MQ-PN+PT=3PT,

.­.28-8f-[16-2r-(-10+6r)l=2/>7',

解得PT=1；

当9<—10+&C11时,

•；TN=PT-PN,MQ-NT=3PT,

28-8r-PT+(-10+6r)-(16-2r)=3PT,

解得PT=」；

2

综上PT=1或

2

【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，线段中点的定义，正确的理解题意是解题的关键.

19.若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大1,百位数字比个位数字大1,我们称这个数为“多一数”.将

“多一数”m各数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数，我们称为“少一数"m，，记

m-m—\802413—3142—180

F(m)-......................例如：m=2413,m-3142,则F(2413)=--------------------------=-9

101101

(1)计算F(5342)=:

(2)若p和q为两个哆一数”，其中p的十位数字为4,q的个位数字为3,且满足F(p)+2F(q)-27=0,

求满足条件的所有“多一数”p.

(1)27；(2)5140、5342、5544、5746、5948

【分析】(1)根据F(m)=代入数值计算即可;

101

(2)设p为5000+100。+40+。一1=5039+101。，q为10000+400+10(匕-1)+3=10106+393,求

出尸(p)和尸色)得至Ua和b的关系，代入b的数值依次列举即可求解.

(1)=27；

(2)设p为5000+100a+40+a-l=5039+101”，q为10005+400+10(。-1)+3=10100+393,

5039+101a-1000(a-l)-400-10«-5-180

M(P)=54—9。，

101

10108+393—3000—100(8—1)—40—〃—180

E(4)==98—27,

101

尸(〃)+2F⑷-27=54—9a+l%-54—27=0,

整理可得。=2Z?—3,

：a和b都是0-9的数字，

...当匕=2时，a=\,此时p为5140,q为2413；

当6=3时，。=3,此时p为5342,q为3423；

6=4时，4=5,此时p为5544,q为4433；

8=5时，a=7,此时p为5746,q为5443；

)=6时，£1=9,此时P为5948,q为6453；

综上，满足条件的所有“多一数"p为p为5140、5342、5544、5746、5948.

【点评】本题考查新定义问题，理解题意，掌握分情况讨论的思想是解题的关键.

20.如果在一个多位自然数"中，各数位上的数字之和恰好等于10,则称这个数“十全十美数”，并将它各

数位上的数字之积记为F(〃).例如在数1234中，因为1+2+3+4=10,所以数1234是“十全十美数”，

且尸(1234)=1x2x3x4=24.

(1)若在一个自然数中的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数学，则称这

个自然数“降序数”例如：在数32210中，因为3>2=2>1>0,所以数32210是“降序数”，已知四位自然

数a既是“十全十美数”又是“降序数”，它的千位上的数字是5,F(«)=0.将数。千位上的数字减1,个位

上的数字加1,得到数6,尸伍)=24.求出数

0)“十全十美数，，〃是三位自然数，将数。百位上的数字与个位上的数字交换得到数q,若

10/7+^=2882,求F(p)的最大值.

(1)5320；(2)32

【分析】(1)设四位数a的百位上数字是相，十位上数字为〃，