2021年高中数学第四章圆与方程 学案 新人教A版必修2

第四章圆与方程

4.1圆的方程

4.1.1圆的标准方程

［目标］1.明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程；2.会求圆的标准方程，能

够判断点与圆的位置关系.

［重点］求圆的标准方程.

［难点］圆的标准方程及应用.

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知识点一圆的标准方程

［填一填］

1.圆的定义

(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的集合.

(2)结论：定点是圆心,定长是半径.

2.圆的标准方程

(1)圆心为A(〃，b),半径长为r的圆的标准方程为(x—a)2+(y—T)2=广

(2)圆心在原点，半径长为r的圆的标准方程为为+供=声

f答一答］

1.若圆的标准方程为(*+〃?)2+。+")2=〃2(4工：0),此圆的半径一定是〃吗？圆心坐标

是O，〃)吗?

提示：圆的半径不一定是。，当a>0时，半径是“；当“<0时，半径是一a.圆心坐标不

是(机，ri),应是(一,〃，—n),因为。+根)2+。+“)2=”2化为标准结构是［尤__(―附产+匹―(一

n)］2=\a\2.

2.判一判.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)方程(x—a)2+(y—b)2=〃?2一定表示圆.(x)

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(V)

(3)圆(x+1)2+。+2>=4的圆心坐标是(1,2),半径是2.(X)

知识点二点与圆的位置关系

［填一填I

设点P到圆心的距离为“，半径为r,则点在圆内㈡妇:；点在圆上Od=r；点在圆外

<=>d>r.

［答一答1

3.判断点和圆的位置关系的依据是什么？

提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系.

4.点尸(-2,一2)和圆『+9=4的位置关系是(B)

A.在圆上B.在圆外

C.在圆内D.以上都不对

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类型一求圆的标准方程

［例1］已知圆过两点A(3,l),B(—1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上，求此圆

的方程.

［分析］

一!待定系数法人列方程组求解

一题

多解户7几何性质法只利用圆的几何性质求得圆心和半径

［解］方法1：设所求圆的方程为a—4+。一份2=户.由题意，得

(3—4+(1—力)2=,，

(一］_〃)2+(3―方)2=,，

3。一/?—2=0,

a2+b2-6a-2b=r1-10,4=2,

即,a2+lr+2a—f)h=r^10,解得<b=4,

,r=VT0.

3a-b-2=0f

故所求圆的方程是。-2)2+。-4)2=10.

方法2:由直线AB的斜率仁旱知线段48的垂直平分线，"的斜率为2,

线段AB中点的横坐标和纵坐标分别为x=、一=l,y=”二=2,因此直线m的方程为y

—2=2(x_1),即2x—y=0.

又圆心在直线3x-y-2=0上，所以圆心在这两条直线的交点上.联立得方程组

2x—v=0,\x=2,

'解得

3x—>—2=0,3=4.

设圆心为C,所以圆心的坐标为(2,4).

又半径尸=|C4|=y而，故所求圆的方程是(x—2)2+(y—4)2=10.

方法3:设圆心为C,因为圆心在直线版一丫一2=0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a

-2).

又因为|C4|二|C8|,所以.(4—3)2+(34―2-1)2

=^/(a+l)2+(3a-2-3)2,

解得。=2.所以圆心的坐标为(2,4),半径r=|CA|=E.故所求圆的方程为(x-2)2+(y

-4)2=10.

通法提炼

确定圆的标准方程就是设法确定圆心eg,3及半径r,求解的方法一是待定系数法，

如方法1,建立关于a,6，•的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求

得圆心坐标和半径，如方法2、3.一般地，在解决有关圆的问题时，利用圆的几何性质作转

化较为简捷.

［变式训练1］根据下列条件，分别求圆的方程.

⑴经过4(6,5),B(O,1)两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上;

(2)已知圆被x轴平分，且过点45,2)和B(3,-2).

解：(1)易求线段AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0.

j3x+2y—15=0,x=7,

由.解得J圆心为C(7,—3).

[3x+10y+9=0,b=-3.

又半径|CB|=4冬，

圆的方程为(尤-7)2+(y+3)2=65.

(2)方法1:由题意得圆心在x轴上.

设圆心坐标为M(a,0),则=即(〃-5)2+(0—2)2=(“一3)2+(0+2)2,解得a

=4.所以圆心坐标为(4,0),半径，=附4|=4.

所以圆的标准方程为(x—4)2+)2=5.

方法2:线段A8的垂直平分线方程为y=一4),即x+2y—4=0.令y=0,得了=

4,所以圆心坐标为(4,0),半径r=|历4|=小.所以圆的标准方程为(x-4)2+y2=5.

类型二点与圆的位置关系

|例2］如图,已知两点小4,9)和尸2(6,3).

(1)求以PP2为直径的圆的方程；

(2)试判断点M(6,9),N(3,3),0(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外？

4+69+3

［解］⑴设圆心C(a,b),半径r,则由C为P1P2的中点得a=F'=5，b=~^=6.

又由两点间的距离公式得r=\CPi\=A/(4-5)2+(9-6)2=V^O,.•.所求圆的方程为(x-5)2+(y

-6)2=10.

(2)由(1)知，圆心C(5,6),则分别计算点到圆心的距离：|CM=已(6—5)2+(9—6户®；

|CV|7(3—5)2+(3—6)2:

\CQ\=^/(5-5)2+(3-6)2=3<Vl0.

因此，点M在圆上，点N在圆外，点。在圆内.

通法提炼

判断点与圆的位置关系的方法

(1)从形的角度，比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小，从而作出判断.

(2)从数的角度，将定点的坐标代入圆的标准方程的左边，再与右边的值比较，从而作

出判断.

［变式训练2］已知圆C的标准方程为(x—1)2+。-2)2=/(「>0),若点在圆内，

点N(3,2)在圆外，求半径r的取值范围.

解：1•点P(l,l)在圆内，圆心C(l,2),

r>\PC\=^/(1-1)2+(1-2)2=1.

又；点M3,2)在圆外,

故KINC］川(3—1>+(2—2>=2.

类型三与圆有关的最值问题

［例3J设点尸(无，>)是圆f+。，+4)2=4上任意一点，则:a-1)2+0—1)2的最大值为

一1)2+(y-1)2转化为圆夕I'一■点与圆

［分析］

的几何意义上一点距离的最值

数形结

T।合求解।

［解析］因为点P(x,y)是圆e+O+dpud上的任意一点，因此.(X—］)2+6-］)2表

示点(1,1)与该圆上点的距离.易知点(1,1)在圆*+。，+4)2=4外，结合下图易得

g(x—1)2+6-1)2的最大值为^/(1-0)2+(1+4)2+2=726+2.

[答案]^26+2

通法提炼

求圆外一定点A与圆C上动点尸连线距离的最值方法：

设|AC|=d,圆C半径为r,则|AP|max=d+r,\AP\m^d-r-,

求圆内一定点A与圆C上动点尸连线距离的最值方法：

设|AQ=d,圆C半径为r,则|AP|max=d+r,\AP\n^n=r-d.

［变式训练3］已知圆C：(x-3)2+(y—4)2=l,点4(0,-1),8(0,1),设P是圆C上

的动点，令d=|%F+|p8|2求d的最大值及最小值.

解：

如图，设P(xo,")，

.•"=焉+。0+1)2+看+。0—1)2=2(扉+谕+2=2P。|2+2,问题转化为求P点到原点

O的距离的最值.

•.•。在圆外，

|OP|max=|Oq+l=5+l=6,

••.|PO|min=|OC|T=5-l=4.

.,.4/max=2X62+2=74,"min=2X42+2=34.

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1.圆。-1)2+产=1的圆心到直线y=^x的距离是(A)

A.g

B.

C.lD.小

解析：圆心为(1,0),则圆心到直线丫=静的距离

2.经过点P(5,l),圆心在点C(8,—3)的圆的标准方程是(B)

A.(x+8)2+(y+3)2=13

B.(X-8)2+G+3)2=25

C.(X—8)2+G—3)2=13

D.(x+8)2+(y-3)2=25

3.点(一1,一1)在圆(尤+4)2+°，一幻2=4的内部，则“的取值范围是(A)

A.—1<«<1

B.O<a<l

C.a<-1或

D.a=±l

解析：因为点(一1,一1)在圆(x+a)2+(y-a)2=4的内部，所以点(一1,一1)到圆心(一

a,a)的距离小于2,所以(-1+a)2+(—1—4)2<4,化简得a2c1,解得一故选A.

4.已知圆C经过A(5,l),8(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为(x-2)2+

y2=10.

解析：圆心是线段AB的中垂线与x轴的交点.

5.已知一个圆C：(x+2)2+(y—6)2=1和一条直线/：3x—4y+5=0,求圆关于直线/

对称的圆的方程.

解：圆C:。+2)2+。-6)2=1的圆心为<7(—2,6),设所求圆C'的方程为(x—a)2+(y

~b)2=l,半径与圆C半径相等，其圆心为C'(a,〃).：点C和点C'关于直线/:3x—4y

+5=0对称，，点C和点C'的中点M代工，斗旭)在直线/上.；.3•唱2+5=0,

即3a—4〃-20=0.①

VCC'±/,•••613=-1，即4。+30-10=0.②

联立①②，解得a=4,b=~2.

故所求圆C'的方程为(x-4)2+(y+2)2=l.

堡三课堂小结

一本课须掌握的三大问题

1.对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上，准确地记忆.

2.由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的

圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性.

3.确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a,h,r.

4.1.2圆的一般方程

1目标］1.知道二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半

径；2.会根据所给条件求圆的一般方程；3.会解答简单的轨迹问题.

1重点］求圆的一般方程.

1难点］求动点的轨迹方程.

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知识点一圆的一般方程

［填一填］

二元二次方程:

对于方程x1+y2+Dx+Ey+F=0,①

22p2+4F

配方得到：U+f)+(>-+f)=^-；

(1)当。2+/—4Q0时，方程表示以(一学，一刍为圆心,本其迈为半径的圆；

(2)当》+序一4尸=0时，方程表示点(一卷一

(3)当Z^+/—dFcO时，方程不表示任何图形.

当加+序―4/?>0时，方程/+V+/)尤+正)，+尸=0表示一个圆，称方程①为圆的一一般

方程.

［答一答］

1.形如x2+y2+Dx+Ey+尸=0的二元二次方程都表示圆吗？

提示：不是，只有少+炉一4QO时才表示圆.

2.圆的标准方程和一般方程各有什么特点？二者怎样互化？

提示：(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长.

(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径长需要代数运算才能得出.

(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的

一般方程配方即得标准方程.

3.已知P(xo,yo),圆的方程e+V+Dx+Ey+FuO,如果焉十%+Dxo+Eyo+F<0,

那么点尸一定在圆内吗？

nFD2+E2—4F

提示：一定在圆内.圆的方程化为标准方程得(x+号)2+()，+*2=_——-——，由上节

r\Fr\2pQ._

标准方程知点P在圆内<=>(xo+y)2+(>,O+'2)2<----4----<=>焉+)3+Dxo+Eyo+尸<0.

知识点二动点的轨迹方程

［填一填］

在直角坐标平面上，一个动点按照某种规律运动，所形成的曲线称为这个动点的轨迹,

曲线的方程称为动点的轨迹方程.

求轨迹方程的一般步骤为：

(1)建系：建立适当的直角坐标系；

(2)设点：用(x,y)表示动点的坐标，该点是轨迹(曲线)上任意一点；

(3)列式：列出关于x,y的方程；

(4)化简：化方程为最简形式；

(5)证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤(5)可以省略不写，

如果有特殊情况，可适当予以说明.

I答一答］

4.轨迹和轨迹方程等价吗？二者的联系是什么？

提示：(1)“轨迹”与“轨迹方程”有区别.“轨迹”是图形，是指出形状、位置、大

小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.

(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形：求动点的轨

迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程.

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类型一圆的一般方程的概念

I例1］下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径.

(l)f+y2+x+l=0；

222

(2)x+y+24tr+«-0(a^0);

(3)2f+2y2+2or—2ay=0(a#0).

IWJ(1)VD=1,E=0,F=\,

.\D2+E2-4F=1-4=-3<0.

方程⑴不表示任何图形.

(2)'：D=2a,E=0,F=a2,

：.D2+E2~4F=4/-4/=0.

方程表示点(-4,0).

(3)两边同除以2,得/+V+以一。)〜。，D=a,E=~a,F=0,：.D2+E2~4F=2a2>0.

方程(3)表示圆，它的圆心为(一冬刍，

半径r=^jD2+E2-4F=^\a\.

通法提炼

形如f+)2+Qx+Ey+F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：

①由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆，否则不表示圆；②将方

程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是r

+寸+6+4+尸=0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.

［变式训练1］(1)圆/+V一曲+6)，=0的圆心坐标是(D)

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(-2,-3)D.(2,-3)

解析：(1)圆的方程化为(X-2)2+0，+3)2=13,圆心(2,—3),故选D.

(2)若方程/+尸+2〃1%—2y+〃?2+5〃z=0表示圆，求：

①实数，"的取值范围；

②圆心坐标和半径.

解：①据题意知D2+£2-4F=(2zn)2+(-2)2-4(w2+5m)>0,即4/n2+4-4w2-20w>0,

解得

故〃7的取值范围为(一8,I).

②将方程/+产+2mx—2y+nr+5/M=0写成标准方程为(x+in)2+。-1/=1一5"?,故

圆心坐标为(一〃?,1),半径r=-\j\-5rn.

类型二求圆的一般方程

［例2］已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,4),C(—4,-3),求它的外接

圆的方程.

［解］设aABC外接圆方程为x2+yi+Dx+Ey+F=O,

16+9+4D+3E+f=0,

将三顶点坐标代入圆的方程得，'9+16+3D+4£+F=0,

.16+9-40-3E+F=0,

解方程组得，。=0,E=0,F=-25,

.二△ABC外接圆的方程为f+)2=25.

通法提炼

一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标

和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷，而其他情况下的首

选应该是圆的标准方程，此时要注意，从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联

系的可用条件.

［变式训练2］求经过两点A(4,2),8(—1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的

圆的方程.

解：设圆的一般方程为x2+)2+£>X+E),+尸=0,令y=0,得『+Dr+/=0,所以圆

在x轴上的截距之和为xi+x2=—。；令x=0,得•/+£1)，+尸=0,所以圆在y轴上的截距之

和为>l+)'2=­E;

由题设，xi+x2+yi+y2=-(D+E)=2,所以。+E=-2.①

又A(4,2),8(—1,3)两点在圆上，

所以16+4+4D+2E+F=0,②

1+9—。+3E+F=0,③

由①②③可得。=-2,E=0,尸=-12,

故所求圆的方程为x1+y2-2x~\2=0.

类型三轨迹问题

命题视角1:直接法求轨迹方程

|例引等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点8是(3,5).求另一个端点C的轨

迹方程，并说明它的轨迹是什么.

［解］设底边另一端点C的坐标是(x,y).依题意，得

|AC|=|AB|.由两点间距离公式，得

*-4)2+0—2)2=、(4-3>+(2—5)2,

整理，得。-4)2+0-2)2=10.

这是以点A(4,2)为圆心，以，而为半径的圆，如图所示，又因为A,B,C为三角形的

三个顶点，所以4,B,C三点不共线，即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一直径

尤-1-3v-1-5

的两个端点，所以点C不能为(3,5),—^4,且即点C也不能为(5,-1).故端

点C的轨■迹方程是(》一4)2+0，-2)2=10(除去点(3,5)和(5,—1)),它的轨迹是以点4(4,2)为

圆心，4而为半径的圆，但除去(3,5)和(5,—1)两点.

通法提炼

解答本题时易出现忘记除去两点(3,5)和(5,-1)的错误答案，导致这种错误的原因是

忽视了构成三角形的条件.

［变式训练3］已知圆。的方程为r+y2=9,求经过点4(1,2)的圆的弦的中点P的轨

迹.

解：设动点P的坐标为(x,y).当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点尸的坐标

分别为(1,0),(1,2),符合题意，此时x=l;

当点P在原点，或AP垂直于)，轴时，即当点P的坐标为(0,0)或(0,2)时，也符合题意，

此时x=0;

当xWO,且xWl时，根据题意可知AP_LOP,即公小心「=一1,

kop=",即«+)2—x—2y=0(xW0,且xWl).经检验，

X1XX1X

点(1,0),(0,0),(0,2)也适合上式.

综上所述，点尸的轨迹是以七，1)为圆心，坐为半径长的圆.

命题视角2：代入法求轨迹方程

［例4］已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点8(8,0)的距离的一半.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.

I解I(1)设动点M的坐标为(x,y),VA(2,0),B(8,0),\MA\=\\MB\,.,.(x-2)2+/=1

［(X-8)2+/］.

化简得f+y2=16,

即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.

(2)设点N的坐标为(x,y)9

VA(2,0),N为线段AM的中点，

.•.点M的坐标为(2_r—2,2y).

又点M在圆16上，(2x—2)2+43^=16,即(x—1)2+)?=4.

.♦.点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.

通法提炼

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆及以后要学习到的椭圆、

双曲线、抛物线等)，可用定义直接求解.

(3)代入法(也称相关点代入法)：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在

的方程.

［变式训练4］点尸(4,-2)与圆f+V=4上任一点连线的中点轨迹方程是(A)

A.(x—2)2+(y+1)2=1

B.(x-2)2+G+1)2=4

C.(x+4)2+S—2)2=4

D.(X+2)2+(>'-1)2=1

ri+4

解析：设圆上任意一点为(xi,yi),它与点P连线的中点坐标为(x,y),则戈=F一，y

「L2

一2，

所以xi=2x—4,y\=2y+2.

又(xi,yi)在圆f+y2=4上，

所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,

即(L2)2+()，+1)2=1.

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1.方程/+尸+2%—4)，-6=0表示的图形是(D)

A.以(1,一2)为圆心，而为半径的圆

B.以(1,2)为圆心，迎为半径的圆

C.以(-1,—2)为圆心，为半径的圆

D.以(一1,2)为圆心，迎为半径的圆

解析：方程配方为。+1)2+。-2)2=11,表示以(一1,2)为圆心，半径为肝的圆.

2.方程/+)2+2以-6y+c=0表示圆心为C(2,3),半径为3的圆，贝Ua,b,c的值

依次是(B)

A.2,6,4B.-2,6,4

C.2,一6,4D.2,一6,一4

解析：由题意可知一。=2,4=3,解得。=—2,b=6,

:.r=^(—4)2+(—6)2—4c=3,解得c=4.

3.圆f+y2—2x+6y+8=0的周长为2\[2n.

解析：由圆的一般方程/+)，2—21+6)，+8=0可得。=-2,E=6,F=8,则半径r

xlD2+E2-4FA/(-2)2+62-4X8…一

=X5="------5-------=也R，故圆的周长为2•r7L

4.已知点E(1,O)在圆/+y2—4x+2y+5k=0的外部，则k的取值范围是章」).

解析：方程表示圆的条件是(-4)2+22-4X540,即左<1;点E在圆的外部的条件为

12+02—4X1+2X0+540,解得上>予所以％的取值范围为(予1).

5.设A为圆(x—1>+)2=1上的动点，必是圆的切线且|巩|=1,求P点的轨迹方程.

解：如图所示，PA是圆C:(x-l)2+y2=l的切线，所以AC_LAP,\PC\=\I\AC\2+\AP\2

=啦，所以P的轨迹是以C为圆心，啦为半径的圆，其方程为(x-l)2+y2=2.

理三课堂小结

——本课须掌握的三大问题

1.圆的一般方程f+y2+Dr+Ey+F=0(Z),E,F为常数)具有以下特点：

(I)%2,y2项的系数相等且不为。(如果/和V项的系数是不等于1的非零常数，只需在

方程两边除以这个数，就可以变系数为1);

⑵没有孙项；

(3)£>2+E2-4F>0.

2.圆的一般方程和标准方程的关系：

圆的一般方程和圆的标准方程从本质上讲并无区别，它们只是表达形式不同，它们也

可互相转化.如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需利用圆心、半径来求解，则用

圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好.

3.求轨迹方程的一般步骤：

(1)建立适当坐标系，设出动点例的坐标(x,y).

(2)列出点M满足条件的集合.

(3)用坐标表示上述条件，列出方程_/(x,)，)=0.

(4)将上述方程化简.

(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.

4.2直线、圆的位置关系

4.2.1直线与圆的位置关系

［目标］1.会用代数方法与几何方法判断直线与圆的位置关系；2.能解决直线与圆相切、

相交的有关问题.

［重点］直线与圆位置关系的判断，直线与圆相切、相交问题的解答.

|难点］直线与圆位置关系问题的解答.

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知识点直线与圆的位置关系

I填一填］

直线Ax+By+C=O和圆(x—力2=/的位置关系及判断

1.几何法：

判定依据：圆心到直线的距离与圆半径进行大小比较.

判定结论：设圆心到直线的距离为4,圆半径为r.

⑴若为,则直线与圆相离；

(2)若仁£,则直线与圆相切；

(3)若凶，则直线与圆相交.

2.代数法：

判定依据：将直线方程代入圆的方程，消元得关于M或y)的一元二次方程的判别式4

判定结论：

(1)若企Q,则直线与圆相交；

(2)若上^，则直线与圆相切：

(3)若地，则直线与圆相离.

［答一答］

1.(1)''代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，各有什么优势？

(2)如何选择判断直线与圆的位置关系的方法？

提示：(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的

思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”：而“几何法”

则侧重于“形”，结合了图形的几何性质；

(2)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角

度考虑，但较为繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的

常用方法.

2.⑴直线3x+4y=5与圆/+尸=16的位置关系是相交;

(2)过尸(一2,0)向圆x2+V=l引切线，则切线长是小.

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类型一直线与圆位置关系的判断

［例1］已知圆的方程是/+尸=1,直线y=x+&.当b为何值时，

(1)圆与直线只有一个公共点；

(2)圆与直线有两个公共点；

(3)圆与直线没有公共点.

［分析］可联立方程组，由方程组解的个数求解，也可求出圆心到直线的距离，与半

径比较求解.

y=x+b,

［解］方法1：联立直线和圆的方程组成方程组：,整理可得+2bx+

ft2-1=0,其中/=4(2—从).

(1)当4=0,即匕时，直线和圆相切，此时直线和圆仅有一个公共点.

(2)当/＞0,即一巾＜b＜6时,直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点.

⑶当/＜0,即从一啦或人＞啦时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点.

方法2:圆/+尸=1的圆心(0,0)到直线/:y=x+Z?的距离1=曷，圆的半径为r=l.

⑴当.喋

=1,即。=力时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点;

1=曷＜1,即一也＜i＞＜小时,直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点;

⑵当

⑶当1=恃＞1,即X—也或6＞小时，直线与圆相离此时直线与圆没有公共点.

通法提炼

“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面、不同的思路来判

断的代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于

“形”，结合了图形的几何性质.

［变式训练1］⑴已知点”①，历在圆。：『+)2=］外，则直线ax-\-by=\与圆。的

位置关系是(B)

A.相切B.相交

C.相离D.不确定

解析：由点M在圆外，得a2+b2＞1,

圆心。到直线nx+hy=1的距离d=y]cr+b2<^则直线与圆O相交.

(2)若直线过点(0,«),其斜率为1,且与圆/+产=2相切，则a的值为丝.

解析：由题意，得直线的方程为y=x+a,即x-y+a=0,圆心(0,0)到直线的距离d

=^y^=-^2,；.|a|=2,a=±2,故填±2.

类型二圆的切线问题

I例2|已知圆的方程为f+)2=4,分别求过下列各点的圆的切线方程.

⑴P他，1)；(2)2(4,0).

［分析I先判断点在圆上还是在圆外，再选用恰当的方法求切线方程.

［解析］(1)因为(/＞+12=4,

所以点P在圆上，从而P是切点.

1-0_>/3

又过圆心(0,0)与点P的直线斜率kop=

小一。一3，

所以切线的斜率仁—高=—小.

故所求切线方程为y—1=一小(%一小),

即qir+y—4=0.

(2)因为4?+02>4,所以点Q在圆外，可设切线方程为y=A(x—4),即日一y—4攵=0.

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，从而、^=2,所以左=±乎.

故所求切线方程为y=Qp(x—4),即x±45y—4=0.

通法提炼

经过圆内一点的圆的切线不存在，经过圆上一点的圆的切线有一条，经过圆外一点的

圆的切线有两条，因此，在求圆的切线方程时，应首先判断点与圆的位置关系.

［变式训练2］已知直线/：x+ay-l=0(aGR)是圆C：f+y2-4x—2y+1=0的对称

轴.过点4一4,“)作圆C的一条切线，切点为8,则|A8|=(C)

A.2B.4V2

C.6D.2VT0

解析：由题意得圆C的标准方程为。-2)2+。-1)2=4,所以圆C的圆心为(2』)，半

径为2.因为直线/为圆C的对称轴，所以圆心在直线/上，则2+a—1=0,解得°=一1,

所以|4B|2=|AC］2一|8C|2=(一4一2)2+(-1一i)2-4=36,所以|A用=6,故选C.

类型三圆的弦长问题

|例3］已知圆尸过A(5,-2),3(0,3),C(4,l).

(1)求圆尸的方程；

(2)若过点〃(一3,一3)的直线/被圆户所截得的弦长为8,求直线/的方程.

［分析］设出直线的斜率，利用圆半径、弦心距、弦长之间的关系求出斜率，再由点

斜式写出直线的方程.

［解］(1)设圆P的方程为：/+；/+m+£>+尸=0,

25+4+5D-2£+F=0,.£)=0,

由题意得＜9+3E+P=0,解得JE=4,

/6+l+4C+E+B=0,F=-21,

.•.圆P的方程为：f+9+4)，-21=0.

(2)圆尸的标准方程为：1+。，+2)2=25,圆心P(0,-2),半径r=5,

设直线/:y+3=k(x+3),即fcr-y+3%—3=0,

圆心P到直线/的距离

d=y]52—42=3,.*/=_*

4

/:y+3=-1(x+3),即4x+3y+21=0.

当直线/斜率不存在时，即x=—3,

圆心P到直线/的距离为3,

弦长为2,52-32=8,满足题意.

综上可知，直线/的方程为：4x+3y+21=0或x=-3.

通法提炼

直线与圆相交后的弦长问题，常采用几何法(半弦长、弦心距、圆的半径构成的直角三

角形)求解.

[变式训练3]已知一圆C的圆心为(2,-1),且该圆被直线/：x-y-1=0截得的弦

长为2啦，求该圆的方程.

解：设圆C的方程是。-2)2+°，+1)2=/(厂＞0),

则弦长/=27/一人,其中“为圆心到直线x-y—1=0的距离，d=y[2.

：./=2.»_(也)2=2巾.；.a=4.

：.圆方程为(x-2)2+(y+1)2=4.

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1.直线3x+4y+12=0与圆(x-l)2+(y+l)2=9的位置关系是(D)

A.过圆心B.相切

C.相离D.相交但不过圆心

|3><1+4X(—1)+12|11

解析：圆心(1,一1)到直线3x+4y+12=0的距离d=V^+45~5<r.

2.直线x+y+m=0与圆/+9=皿相＞0)相切，则，"的值为(B)

A.0或2B.2C,V2D.无解

解析：由圆心到直线的距离〃=3=赤，解得〃7=2.

3.设A、B为直线y=x与圆x2+)2=1的两个交点，则|AB|等于(D)

A.lB.&C.A/3D.2

解析：直线y=x过圆/+尸=1的圆心C(0,0),则|AB|=2.

4.由点P(l,3)引圆f+V=9的切线的长是1.

解析：点P到原点。的距离为|PO|=#B,Vr=3,.•.切线长为)10—9=1.

5.已知圆的方程为*+＞2=8,圆内有一点P(—1,2),AB为过点P且倾斜角为a的弦.

(1)当a=135。时，求A8的长；

（2）当弦AB被点尸平分时，写出直线AB的方程.

解：（1）解法1:（几何法）如图所示，过点。作0C-LA8.

由已知条件得直线的斜率为人=tan135°=—1,直线AB的方程为y—2=—（x+1）,

即x+y~1=0.

ITI啦

:圆心为(0,0),

...|。0=忑=2,

，；r=2小,.•.山上力一惇卜等,

A\AB\=2\BC\=yl3O.

解法2:（代数法）当a=135°时，直线AB的方程为y-2=-（x+l）,即），=-x+l,代

CCC7

入W+y2=8,得Zx2—2x—7=0.；⑻+12=1,"1X2=一1,

：.\AB\川1+炉1汨-x2\=N(1+1)[(X1+X2)2—4X1、]=^30.

(2)如图，当弦AB被点P平分时，0P_L4B,

■:kop=-2,:・kAB=],

直线AB的方程为y-2=1(x+l),

即x-2y+5=0.

堡三课堂小结

——本课须掌握的三大问题

1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，

一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.

2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，

圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去乃组成一个一元二次方程，利用方

程根与系数的关系表达出弦长/=后日・灯（制+及）2-4乃及

=—一+1|X|一及|.

3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要

考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.

4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用

［目标］1.能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系；2.能解决两圆相切、两圆

相交的有关问题；3.能够利用直线与圆的关系解决简单的实际问题.

［重点］圆与圆位置关系的判断；两圆相切、相交的有关问题.

［难点］两圆相切、相交的有关问题.

J要点整合夯基础------——本栏目通过深前自主学习，整合知识，梳理主干,夯基固本

知识点一圆与圆的位置关系

［填一填］

1.圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切和内含.外切和内切统称为相切.

两圆相交两圆外切两圆外离

两圆内切两圆内含

2.圆与圆位置关系的判定

(1)几何法

若圆C与圆C2的半径分别为，和R，两圆圆心距为“，则当“<|/?一/1时，两圆内含;

当4=|R—r|时，两圆内切;

当|R-r|<dvR+r时，，两圆相交;

当"=;?+'时，两圆外切;

当r/>R+r时，两圆外离.

(2)代数法

设两圆方程分别为x2+y2+Z)ix+Ei>'+Fi=O,

/+72+。2*+及)，+/2=0,联立方程得

22

x+y+D,x+E1y+Fi=O.

+V+£)2X++尸2=0,

方程组有两组不同的实数解台两圆相交，有二组实数解台两圆相切，无实数解台两圆

外离或内含.

［答一答］

1.如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么

它们一定外切，这种说法是否正确？

提示：这种说法不正确.如果两个圆没有公共点，那么它们外离或内含，这两种位置

关系统称为相离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们外切或内切，这两种位置关系统称

为相切.

2.两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系？能否根据公切线条数判断两圆位置

关系？

提示：两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断

两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，分别对应的公切线条数为0、

1、2、3、4,反之亦成立.