中考数学复习专题讲座9：阅读理解型、方案设计型问题(含详细参考答案)

中考数学复习专题讲座九：阅读理解型问题

一、中考专题诠释

阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述

较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，.既考查学生的阅读能力，又考查学生的

解题能力的新颖数学题.

二、解题策略与解法精讲

解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结

论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新

方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.

三、中考考点精讲

考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题

例1(•十堰)阅读材料：

例：说明代数式，f+1+J(x—3)2+4的几何意义,并求它的最小值.

解：qX。+1+J(x-"3)-+4=J(x-0)-+1++2-,

如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，

则J(x—0)2+1可以看成点P与点A(0,1)的距离，

7(%-3)2+22可以看成点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，

它的最小值就是PA+PB的最小值.

设点A关于x轴的对称点为A，，则PA=PA1因此，求PA+PB的最小值，只需求PA4PB的最小值，而点

A\B间的直线段距离最短，所以PA4PB的最小值为线段AB的长度.为此，构造直角三角形A，CB,因

为AC=3,CB=3,所以AB=3&,即原式的最小值为3a.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)代数式"(x—I)?+1+J(x—+9的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、

点B的距离之和.(填写点B的坐标)

(2)代数式Jf+49+i2x+37的最小值为.

考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.

专题：探究型.

解析J(1)先把原式化为J(x-1)?+1+2)2+32的形式,再根据题中所给的例子即可得出结论；

(2)先把原式化为0)2+72+&%-6)2+1的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标

系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定

|解答：|解:(1)•••原式化为,(1)2+1+7(%-2)2+32的形式，

代数式+1+J(x—2)2+32的值可以看成平面直角坐标系中点P(X,0)与点A(1,1)、点

B(2,3)的距离之和，

故答案为(2,3)；

(2)；原式化为7(X-0)2+72+J(x-6)+1的形式，

所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(X,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和，

如图所示：设点A关于x轴的对称点为A，，则PA=PA\

；.PA+PB的最小值，只需求PA4PB的最小值，而点A，、B间的直线段距离最短，

.,.PA4PB的最小值为线段AB的长度，

VA(0,7),B(6,1)

，A，(0,-7),A，C=6,BC=8,

A(B=y]AC2+BC2=A/62+82=10,

故答案为：10.

评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用

数碣合求解.

考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法

例2(•赤峰)阅读材料：

(1)对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：

当a-b>0时，一定有a>b；

当a-b=0时，一定有a=b；

当a-b<0时，一定有aVb.

反过来也成立.因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.

(2)对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

a2-b2=(a+b)(a-b),a+b>0

(a2-b2)与(a-b)的符号相同

当a2-b2>0时,a-b>0,得a>b

当a2-b2=0时,a-b=0,得a=b

当a?・b2Vo时，a-b<0,得aVb

解决下列实际问题：

（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张

A4纸，8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x>y,张丽同学的用纸总面积为

W1,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题：

①Wi=（用x、y的式子表示）

W2=（用x、y的式子表示）

②请你分析谁用的纸面积最大.

（2）如图1所示，要在燃气管道1上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B至心的距离分别

是3km、4km（即AC=3km,BE=4km）,AB=xkm,现设计两种方案:

图2图3

APL1于点P,泵站修建在点P处，该方案中管道长度a产AB+AP.

方案二：如图3所示,点A，与点A关于1对称，A，B与I相交于点P,泵站修建在点P处，该方案中管道

长度a2=AP+BP.

①在方案一中，ai=km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，a2=km（用含x的式子表示）；

③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.

考点:轴对称-最短路线问题；整式的混合运算.

军题:计算题.

分析:（I）①根据题意得出3x+7y和2x+8y,即得出答案；②求出W「W2=x-y,根据x和y的大小比较

即可;

（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM_LAC于M,求出AM,根据勾股定理求出BM.再根

据勾股定理求出BA\即可得出答案；

③求出a『-a22=6x-39,分别求出6x-39>0,6x-39=0,6x-39<0,即可得出答案.

解答：（1）解：①W|=3x+7y,W2=2x+8y,

故答案为：3x+7y,2x+8y.

②解:W]-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y,

Vx>y,

Ax-y>0,

AW!-W2>0,

得W]>W2.

所以张丽同学用纸的总面积大.

(2)①解：ai=AB+AP=x+3,

故答案为：x+3.

②解：过B作BM_LAC于M,

则AM=4-3=1,

在AABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-l2=x2-l,

在△A,MB中，由勾股定理得：AP+BP=A'B=\JA'M2+BM2=\lx2+48,

故答案为：JJF+48.

③解：ar-a22=（x+3）2-（Jx2+48）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39,

ai2-a22>0（即a「a2>0,a）>a2）时，6x-39>0,解得x>6.5,

ai2-a22=0（即ai-a2=0,ai=a2）时,6x-39=0,解得x=6.5,

当a/-a22Vo（即a『a2V0,ai<ai）时，6x-39<0,解得x<6.5,

综上所述

当x>6.5时，选择方案二，输气管道较短，

当x=6.5时，两种方案一样，

当0<x<6.5时，选择方案一，输气管道较短.

点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学

王拓讦算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.

考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论

例3（•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.

如图（1）,要在燃气管道1上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所

用的输气管线最短？

你可以在1上找几个点试一试，能发现什么规律？

B

第5

（1）（2）“

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道1看成一条直线（图（2））,

问题就转化为，要在直线1上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：

①作点B关于直线1的对称点B'.

②连接AB，交直线1于点P,则点P为所求.

请你参考小华的做法解决下列问题.如图在4ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6,BC

边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使4PDE得周长最小.

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）请直接写出4PDE周长的最小值：.

考点：轴对称-最短路线问题.

分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D,连接

D'E,与BC交于点P,P点即为所求；

（"I用中位线性质以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案.

解答：解:（1）如图，作D点关于BC的对称点D，，连接DR与BC交于点P,

P西丽3所求；

D,

（2）；点D、E分别是AB、AC边的中点,

ADE^jAABC中位线，

：BC=6,BC边上的高为4,

；.DE=3,DD'=4,

D'E=y/DE2+DD'2=732+42=5,

.♦.△PDE周长的最小值为：DE+D，E=3+5=8,

故答案为：8.

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求4PDE周长的

最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键.

考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题

例4(•重庆)己知：如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为

BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.

(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长：

(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG,当点E与

点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形HEFG的边EF与AC交于点M,连接BD,B，M,DM,

是否存在这样的t,使ABUM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)间的平移过程中，设正方形BEFG与AADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的

函数关系式以及自变量t的取值范围.

考点:相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形.

专题：一代数几何综合题.

分析：(1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得△AGFs^ABC,根据相似三角形的对应边成比例，

即可求得BE的长；

(2)首先利用△MECs/^ABC与勾股定理，求得B，M,DM与BD的平方，然后分别从若NDB，M=90。,

则DM2=B，M2+BT＞2,若NDB，M=90。，则DMP=B，M2+BT)2,若NBDM=90。，则B，M2=B'D2+DM2去分析，

即可得到方程，解方程即可求得答案；

(3)分别从当叱乜一4时・，当4一＜乜2时，当2〈区10,时，当10,＜乜4时去分析求解即可求得答案.

3333

解否［解：(1)如图①，

图①图②

设正方形BEFG的边长为X,

则BE=FG=BG=x,

VAB=3,BC=6,

AAG=AB-BG=3-x,

VGF/7BE,

AAAGF^AABC,

.AGGF

ABBC

解得：x=2,

即BE=2；

(2)存在满足条件的t,

理由：如图②，过点D作DHLBC于H,

则BH=AD=2,DH=AB=3,

由题意得：BB，=HE=t,HB，=|t-2|,EC=4-t,

VEF/7AB,

AAMECABC,

MEECME4-t

..---=----,即an----=----,

ABBC36

.\ME=2--t,

2

在RtZiB'ME中，B,M2=ME2+B,E2=22+(2--t)2=-t2-2t+8,

24

在RtZ^DHB'中，B'D2=DH2+B'H2=32+(t-2)2=t2-4t+13,

过点M作MNJ_DH于N,

则MN=HE=t,NH=ME=2--t,

2

.\DN=DH-NH=3-(2--t)=-t+l,

22

在RtADMN中，DM2=DN2+MN?=-t2+t+1,

4

(I)若NDB，M=90。，则DM2=B，M2+BD2,

即?t2+t+i=(J-t2-2t+8)+(t2-4t+13),

44

解得：t=--,

7

(11)若NB，MD=90。，则B，D2=B，M2+DM2,

即t?-4t+13=(—t2-342t+8)+(—t2+t+1),

44

解得：h=-3+历，t2=-3-JT7(舍去)，

t=-3+Jl7；

(III)若NBDM=90°,则B'M2=BT)2+DM2,

即：—t2-2t+8=(t2-4t+13)+(—t2+t+l),

44

此方程无解，

(3)①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH,

即2：3=CE：4,

84

...t=BB'=BC-B'E-EC=6-2--=一，

33

；ME=2't,

2

AFM=-t,

2

411I

当0<t<一时，S=Sz\FMN=—XtX—t=•-t",

3224

②如图④，当G在AC上时，t=2,

DH33

EK=EC,tanZDCB=EC,---=—(4-t)=3—t,

CH44

3

.,.FK=2-EK=-t-l,

4

24

VNL=-AD=->

33

4

.\FL=t-一，

3

4114312

2

当一＜仁20寸，S=SAFMN"SAFKL=—t*—(t—)(一t-1)=—t+t—；

3423483

③如图⑤，当G在CD上时，BC：CH=B,G：DH,

即B'C：4=2：3,

Q

解得：B'C=-,

3

2

AEC=4-t=B,C-2=-,

3

io

••1=---,

3

•.,BN’BC」(6-t)=3--t,

222

VGN=GB,-B'N=-t-l,

2

.•♦当2V区—时，S=S辨彩GNMF-SAFKL=-x2x(—t-ln—t)—(t—)(—1-1)=—F+2t—,

322223483

④如图⑥，当一vta时,

3

图⑤图⑥

S=S松彩MNLK=Sw，®B'EKL-S棉影B'EMN=t+—.

22

综上所述：

41

当OWtS-时，S=-t2,

34

412

当一e止2时,S=--t2+t-一；

383

当2<tW—时，S=—t2+2t—，

383

当此<饪4时，S=--t+-.

322

;点讯此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识.此题

难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法.

四、中考真题演练

1.(•宁波)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下

的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下

的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1,nABCD中，若AB=1,BC=2,则。ABCD为

1阶准菱形.

(1)判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2,把口ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落

在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.

(2)操作、探究与计算：

①已知。ABCD的邻边长分别为1,a(a>l),且是3阶准菱形，请画出WKBCD及裁剪线的示意图，并在

图形下方写出a的值；

②己知nABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出^ABCD是几阶准菱形.

|考点」图形的剪拼;平行四边形的性质；菱形的性质；作图一应用与设计作图.

分析：|(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得

出答案；

②根据平行四边形的性质得出AE〃BF,进而得出AE=BF,即可得出答案；

(2)①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；

®根据a=6b+r,b=5r,用r表示出各边长，进而利用图形得出q\BCD是几阶准菱形.

解答：解：(1)①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形,

破邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；

故答案为：2；

②由折叠知：ZABE=ZFBE,AB=BF,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AE〃BF,

AZAEB=ZFBE,

AZAEB=ZABE,

，AE=AB,

.'.AE=BF,

・・・四边形ABFE是平行四边形,

・・・四边形ABFE是菱形；

(2)

①如图所示:

②；a=6b+r,b=5r,

a=6x5r+r=31r；

如图所示：

5r5r5r

故。ABCD是10阶准菱形.

点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据己知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解

2.（•淮安）阅读理解

如图1,ZXABC中，沿/BAC的平分线ABi折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿NBiAC的平分线A|B?

折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿NB“A”C的平分线A“B用折叠，点时与点C重合，无论折叠多

少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是AABC的好角.

小丽展示了确定/BAC是aABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角NBAC的

平分线ABi折叠，点B与点C重合；情形二：如图3,沿/BAC的平分线ABi折叠，剪掉重复部分；将

余下部分沿/BIAIC的平分线AiB?折叠，此时点Bi与点C重合.

探究发现

⑴AABC中，NB=2NC,经过两次折叠，ZBAC是不是AABC的好角？（填“是”或“不是”）.

（2）小丽经过三次折叠发现了NBAC是AABC的好角，请探究/B与/C（不妨设之间的等

量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠NBAC是aABC的好角，则NB与NC（不妨设NB>NC）

之间的等量关系为.

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15。、60。、105。，发现60。和105。的两个角都是此三角形的好角.

请你完成，如果一个三角形的最小角是4。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此

三角形的好角.

考点：翻折变换（折叠问题）.

专题：压轴题；规律型.

分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3,根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知/B=2NC；

（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知/A|A2B2=NC+NA2B2c=2NC；

根据四边形的外角定理知NBAC+2/B-2c=180。①，根据三角形ABC的内角和定理知

ZBAC+ZB+ZC=180°@,由①②可以求得NB=3NC；

利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：ZB=nZC：

（3）利用（2）的结论知NB=nNC,ZBAC是4ABC的好角，ZC=nZA,ZABC是4ABC的好角，

ZA=nZB,ZBCA是4ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88。、88°.

解答：：解：（1）Z^ABC中，ZB=2ZC,经过两次折叠，NBAC是AABC的好角；

理由如下：小丽展示的情形二中，如图3,

•.•沿NBAC的平分线ABi折叠，

ZB=ZAAjBi；

又；将余下部分沿NBiAC的平分线A1B2折叠，此时点B,与点C重合，

.,.ZAiBiC=ZC；

；NAA|B产/C+NAiBC（外角定理），

；./B=2/C；

故答案是：是；

（2）ZB-3ZC；如图所示，在AABC中，沿NBAC的平分线ABi折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿

/BiAC的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿NB2A2c的平分线A2B3折叠，点B2与点C

重合，则NBAC是aABC的好角.

证明如下：•.•根据折叠的性质知，ZB=ZAAiBi，ZC=ZA2B2C,ZA,B|C=ZA|A2B2,

根据三角形的外角定理知，NAIA2B2=NC+NA2B2c=2NC；

•.,根据四边形的外角定理知，ZBAC+ZB+ZAAiBrZA,B1C=ZBAC+2ZB-2C=180°,

根据三角形ABC的内角和定理知，ZBAC+ZB+ZC=180°,

.,.ZB=3ZC；

由小丽展示的情形一知，当NB=NC时，NBAC是aABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当/B=2NC时，NBAC是AABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当NB=3NC时，NBAC是AABC的好角；

故若经过n次折叠/BAC是△ABC的好角，则NB与ZC（不妨设NB>/C）之间的等量关系为/B=n/C：

（3）由（2）知，ZB=nZC,/BAC是AABC的好角，

；./C=n/A,/ABC是aABC的好角，/A=n/B,NBCA是AABC的好角，

如果一个三角形的最小角是4。，三角形另外两个角的度数是4、172：8、168；16、160；44、132；88。、

88。.

|点评:本题考查了翻折变换（折叠问题）.解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理

以及折叠的性质.难度较大.

3.(•南京)下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.

题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1,在温室内，沿前侧内墙保留3m

的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?

侧

空疏菜种植区域

地

解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,

根据题意，得x・2x=288.

解这个方程，得xi=-12(不合题意，舍去)，X2=12

所以温室的长为2x12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)

答：当温室的长为28m,宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m

我的结果也正确！

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.

结果为何正确呢？

(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：

变化一下会怎样…

(2)如图，矩形在矩形ABCD的内部，AB〃A，B，，AD〃ATX,且AD：AB=2：1,设AB与

BC与BC、CD与C'D\DA与D，A，之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形ABCI/s矩形ABCD,a、

b、c、d应满足什么条件？请说明理由.

Af.D

d：前

侧A'D'

空蔬菜种植区域

地B'C

I总虹相似多边形的性质；一元二次方程的应用.

分布］(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬

菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得方程马二士［=马二㊁=2,矩形蔬菜种植区域的长

y-1-1_y-2

与宽之比为2：1,再利用小明的解法求解即可；

A'n'An

(2)由使矩形AB，CD's矩形ABCD,利用相似多边形的性质，可得--=—,即

A'B'AB

AD-(a+c)=2^然后利用比例的性质，即可求得答案.

AB—(b+d)1

解答：解：(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由.

在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程：

设温室的宽为ym,则长为2ym.

则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-l)m.

.2y—3—12y—4

.•-----------=----------=2,

y—l—ly—2

・・・矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；

(2)要使矩形ABCD"矩形ABCD,

就要也=丝，即四土0=2,

A'B'ABAB-(b+d)1

2A8-（。+。）_2

即AB-3+d）=T

a+c

即-------=2.

b+d

点评：此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键.

4.(•鸡西)如图，在平面直角坐标系中，已知Rt/XAOB的两条直角边OA、0B分别在y轴和x轴上，

并且OA、0B的长分别是方程x2-7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段A0上以每秒

1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点

A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.

(1)求A、B两点的坐标.

(2)求当t为何值时，^APQ与AAOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

考点:相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判

定与性质.

那」(1)解一元二次方程，求出OA、0B的长度，从而得到A、B点的坐标；

(27AAPQ与aAOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图(2)所示；

(3)本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图(3)所示.在求Mi，M2坐标时，注意到M”

M?与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M；,坐标时.，可以利用全等三角形，得到线段之间关系.

|解答：］解:(1)解方程X2-7X+12=0,得XI=3,X2=4,

VOA<OB,；.OA=3,0B=4.

AA(0,3),B(4,0).

(2)在RtZkAOB中,0A=3,0B=4,；.AB=5,；.AP=t,QB=2t,AQ=5-2t.

△APQ与aAOB相似，可能有两种情况:

(I)△APQSAAOB,如图(2)a所示.

则有叫箓修手

解得t=—.

11

止匕时OP=OA-AP=——，PQ=AP・tanA=——，AQ(—,—)；

11111111

(II)AAPQ^AABO,如图(2)b所示.

APAQt5-2/25

则看——,即一=-----解得t=上.

ABAO5313

止匕时AQ=——,AH=AQ,cosA=—,HQ=AQ«sinA=——，OH=OA-AH=--,

13131313

,•,Q小蜜),

1c95201X

综上所述，当t='秒或t=B秒时，4APQ与AAOB相似，所对应的Q点坐标分别为(3，匕)或

111133111111

1230、

1313

(3)结论：存在.如图(3)所示.

Vt=2,；.AP=2,AQ=1,OP=1.

43

过Q点作QE_Ly轴于点E,则QE=AQ・sin/QAP=1,AE=AQ«cosZQAP=-,

.12.,412、

♦•OE—OA-AE——,••Q(—t—).

555

42),

V^APQM],...QM|J_x轴，且QM|=AP=2,/•M](—，

55，

4以；

V°APQM,，QM2_Lx轴，且QM2=AP=2,M2(一，

255

如图(3),过M3点作MsFLy轴于点F,

，；

V°AQPM3,M3P=AQ,ZQAE=ZM3PF,.•.ZPM3F=ZAQE

在△与中，

NhPFAQAEZQAE=ZM3PF,M3P=AQ,ZPM3F=ZAQE,

.,.△M3PF^AQAE,

43848、

.\MF=QE=-,PF=AE=-,・・.OF=OP+PF=—，AM(---------91)・

3555355

.•.当t=2时,在坐标平面内，存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形

4242248

点M的坐标为：Mi(-,-),M2(—，一),M,(--,-).

555555

点诬：］本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二

灰方程、平行四边形等知识点.本题难点在于分类讨论思想的应用，第(2)(3)问中，均涉及到多种情

况，需要逐一分析不能遗漏：另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角

形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握.

5.(•长春)如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=4cm.D、E分别为边AB、BC的中点,

连接DE.点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止.点P在线段AD上以不cm/s的速度

运动，在折线DE-EB上以lcm/s的速度运动.当点P与点A不重合时，过点P作PQAC于点Q,以PQ

为边作正方形PQMN,使点M在线段AQ上.设点P的运动时间为t(s).

(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm(用含t的代数式表示).

(2)当点N落在AB边上时，求t的值.

(3)当正方形PQMN与AABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数

关系式.

(4)连接CD,当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M

连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终

在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围.

I考点：相似形综合题.

分析力(1)点P在AD段的运动时间为2s,则DP的长度为(t-2)cm；

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示.利用运动线段之间的数量关系求出时间t的

值；

（3）当正方形PQMN与4ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示.分别用时间t

表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=StwAQPD-SAAMF=L（PG+AC）・PC」AM・FM”求出面积S的表

22

达式；

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：

当4<tV6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示.此时点H将两次落在线段CD上；

当6三氐8时■，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示.此时MN与CD的交点始终是线段MN的中

点，即点H.

I_解__答__解1：（1）♦.•在RtZXABC中，AC=8cm,BC=4cm,

AB=yjAC2+BC2=V82+42=4石,

D为AB中点，；.AD=2逐，

...点P在AD段的运动时间为年=2s.

当点P在线段DE上运动时・，DP段的运动时间为（t-2）s,

；DE段运动速度为；.DP=（t-2）cm.

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如下图所示:

图（2）a图（2）b

①如图（2）a,此时点D与点N重合，P位于线段DE上.

由三角形中位线定理可知，DM=-BC=2,；.DP=DM=2.

2

由（1）知，DP=t-2,：.t-2=2,.*.t=4；

②如图（2）b,此时点P位于线段EB上.

•.•DE=LAC=4,...点P在DE段的运动时间为4s,

2

；.PE=t-6,/.PB=BE-PE=8-t,PC=PE+CE=t-4.

VPN/ZAC,APN：PB=AC：BC=2,；.PN=2PB=16-2t.

20

由PN=PC,得16-2t=t-4,解得t=—.

3

所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=、20.

3

(3)当正方形PQMN与aABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示:

DP=t-2,PQ=2,.\CQ=PE=DE-DP=4-(t-2)=6-t,AQ=AC-CQ=2+t,AM=AQ-MQ=t.

VMN/7BC,AFM：AM=BC：AC=1：2,：.FM=-AM=-t.

22

S=SHSMAQPD"SZ\AMF=—(DP+AQ)*PQ—AM・FM=—[(t-2)+(2+t)]x2—t,—1=—t'+2t：

222224

20

②当——<t<8时，如图(3)b所示.

3

PE=t-6,；.PC=CM=PE+CE=t-4,AM=AC-CM=12-t,PB=BE-PE=8-t,

11

；.FM=—AM=6--1,PG=2PB=16-2t,

22

S=SWAQPD-SAAMF=-(PG+AC)«PC--AM«FM=-[(16-2t)+8]x(t-4)--(12-t)•(6--1)=--t2+22t-84.

222224

1,

--t2+2t(2<t<4)

综上所述，S与t的关系式为：S=

520

--r2+22r-84(—<r<8)

43

(4)依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示:

图(4)a图(4)b

①当4Vt<6时，此时点P在线段DE上运动，如图(4)a所示.

此阶段点P运动时间为2s,因此点H运动距离为2.5x2=5cm,而MN=2,

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD±：

第一次：此时点H由M->H运动时间为(t-4)s,运动距离MH=2.5(t-4)cm,.,.NH=2-MH=12-2.5t；

14

又DP=t-2,DN=DP-2=t4由DN=2NH得到：t-4=2(12-2.5t),解得t=一；

3

2

第二次：此时点H由N->H运动时间为t-4——=（t-4.8）s,运动距离NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12；

2.5

又DP=t-2,DN=DP-2=t-4,由DN=2NH得到：t-4=2（2.5t-12），解得t=5；

②当60tW8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示.

由图可知，在此阶段，始终有MH=，MC,即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H.

2

14

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=—或t=5或6W£8.

3

点评：本题是运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们

的解题能力要求很高.读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点.注意第（2）、（3）、（4）

问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分.

6.（•丽水）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一

般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.

评分规则：

演讲答辩评委评分统计图民主测评票数统计图⑴演讲答辩得分按“去

掉一个最高渊T最

低分，计算平均分”的方

法确定.

Q）民至测评得分“优

秀”票数x2+”良好“票数

X1+”一股“票数x（k

（3侔合得分=演讲答

辩得分X0.4+民主测评

得分x0.6

（1）求评委给小明演讲答辩分数的众数,以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数;

（2）求小明的综合得分是多少？

（3）在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩

得分至少要多少分？

条形统计图；一元一次不等式的应用；扇形统计图；加权平均数；众数.

（1）根据众数的定义和所给的统计图即可得出评委给小明演讲答辩分数的众数：用1减去一般和

S优秀所占的百分比，再乘以360。，即可