中考数学压轴题汇编(含解题过程)

中考数学压轴题汇编

（含解题过程）

（年北京）25.如图，在平面直角坐标系x0y中，A3C三个机战的坐标分别为

A（-6,0）.8（6,0）,。（0,4班），延长AC到点D,使CD=，AC,过点D作DE〃AB交

BC的延长线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y=依+。将四

边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;

（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=履+力与y轴的交

点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y

轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G

点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要

求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

25.«：(I)V附-6.0).6O.S与).

OAa6.OC・4”.

设"E'j,输麦丁•点W

AlDE//AHAOWC-A4OC.

乂CD^^AC.

ACMn2值WOB3

HflfnTWCW.3.

.-.fW«67S.

A•点的坐标为(3.64).

(2)Ih(l)可得点v的坐标为(0.6J3).

illDt：AH.EXt=yn.

"j得,输所在在线是拽段ED的垂在邛分线.

:一点C把kfii线。£的对你点户住y轴I

AE"可<>'互相垂比出

CDW=FE・tiC.

/.四边形C"F£为菱形.且点”为其对称中心.

作fl线8"

设/Mf与Cl).EF分别交于点S.点r.uTIfAATW'SACSW.

FT=CS.

FE-(：l>

IE=5〃

•.•fct=DF

:.TE♦EC+CS+ST—)F+FT+TS.

:.ft设HW将网边形CAFE分成周长相等的两个四边形.

山点做6.0),点M0.»v3)在“线y=h+4h.

可和H线8M的斛析式为,*-历+6Q.

(3)确定C点位?t的方法：过I点作WL8M尸点〃.则"/与，釉的交点为所求的

C点.

由""=6."M=6、，§.

可用zOW»f=60°.

484〃=30°.

ARlAOtC中.OC=40-tanZBAH=26.

<：点的飞标为(0.2、亍).(或。点的位为为找段OC的中点)

（2009年重庆市）26.已知：如图，在平面直角坐标系X0y中，矩形04BC的边OA在y

轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2,OC=3.过原点。作NAOC的平分线交AB

于点。，连接。C,过点。作。ELOC,交。4于点E.

（1）求过点E、。、C的抛物线的解析式；

（2）将NEDC绕点。按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点凡另一边与

线段OC交于点G.如果£＞尸与（1）中的抛物线交于另一点M,点〃的横坐标为那么

5

EF=2G。是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点。，使得直线G。与

AB的交点尸与点C、G构成的aPCG是等腰三角形？若存在，请求出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

26.解:(1)由己知，得。(3,0),0(2,2),

ZADE=90°-ZCDB=NBCD，

AE=A£)»tanZADE=2xtanZBCD=2x—=1.

2

E(0,l)...........................................................(1分)

设过点E、D、C的抛物线的解析式为'=62+法+c(aw0).

将点£的坐标代入，得c=l.

将c=l和点£＞、C的坐标分别代入，得

4。+2b+1=2,

4......................................................(2分)

[9〃+3。+1=0.

5

a=--

解这个方程组，得I56

b,=1—3

、6

故抛物线的解析式为y二—?5%20+」13]+1.................................(3分)

66

(2)EF=2GO成立.....................................................（4分）

点M在该抛物线上，且它的横坐标为9,

5

12

.••点M的纵坐标为一.

5

设DM的解析式为y=丘+4工0）,

将点。、M的坐标分别代入，得

2k+瓦=2,

<6,,12解得<

15'5b,—3.

O0的解析式为y=—；x+3.

（6分）

F（0,3）,EF=2.........（7分）

过点。作。K_LOC于点K,

则ZM=DK.

ZADK=ZFDG=90°,

:.ZFDA^ZGDK.

又-/FAD=/GKD=90°,

:.ADAF^ADKG.

：.KG=AF=\.

:.GO^\...........................................................(8分)

:.EF=2GO.

(3)点尸在AB上,G(l,0),C(3,0),则设尸(1,2).

PG2=a-l)2+22,PC2=(3-02+22,GC=2.

①若PG=PC,则(-1)2+22=(3-厅+22,

解得t=2.P(2,2),此时点。与点P重合.

Q(2,2).（9分）

②若PG=GC,则("1)2+22=22,

解得t=\,.-.P(L2),此时GPLx轴.

GP与该抛物线在第一象限内的交点。的横坐标为1,

7

.••点。的纵坐标为底

........................................................（1。分）

③若PC=GC,则(3-f『+22=22,

解得。=3,P(3,2),此时PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形.

过点。作QH_Lx轴于点”，

则QH=GH,设QH=〃，

/.Q(h+1,〃).

5,13

/.——(〃+I)?+—优+1)+1=。.

66

7

解得"=丁色=一2(舍去).

(12分)

综上所述，存在三个满足条件的点0,

即Q(2,2)或Q

(2009年重庆秦江县)26.(11分)如图，己知抛物线y=a(x—1)2+3由(aNO)经过点

A(—2,0),抛物线的顶点为。，过。作射线。M〃A£>.过顶点。平行于无轴的直线交

射线。用于点C,6在x轴正半轴上，连结BC.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点P从点。出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点尸运动的

时间为f(s).问当f为何值时，四边形D40P分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=QB,动点尸和动点。分别从点。和点3同时出发，分别以每秒1个长度单

位和2个长度单位的速度沿OC和80运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止

运动.设它们的运动的时间为f(s),连接P。，当，为何值时，四边形的面积最小？

0=9。+3V3a-----1分

3

・•・二次函数的解析式为：y^-—x2+—x+—3分

333

(2),。为抛物线的顶点.•.0(1,3百)过。作ON_L03于N,则ON=36,

A7V=3,r.A。=J32+(36)2=6.•."40=60°.......................................................4分

OM//AD

①当A£>=OP时，四边形D40P是平行四边形

OP=6t=6(s)...................................................5分

②当OPLQM时，四边形D40P是直角梯形

过。作O”_LAD于”，49=2,则AH=1

(如果没求出ZDAO=60°可由RtAOHA口RtADNA求AH=1)

：.OP=DH=5f=5(s)....................................................................................................6分

③当PD=O4时，四边形OAOP是等腰梯形

.•.OP=AD—2AH=6—2=4.」=4(s)

综上所述：当1=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形•一7分

(3)由(2)及已知，NCOB=60°,OC=QB,Z\OCB是等边三角形

则O8=OC=AD=6,OP=t,3Q=2t,.・.OQ=6—2r(0<r<3)

过P作PEJ.OQ于E,则=...............................................................................8分

••SBCPQ=—x6x85/3--x(6-2r)x—r

222

当，=3时，S&CPO的面积最小值为

........................................................................10分

28

33.•3=3-3'PE=%

此时OQ=3,OP=-,OE

4444

上。=心£2+。炉=3,

F11分

（2009年河北省）26.（本小题满分12分）

如图16,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿C4以每秒1

个单位长的速度向点4匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A

出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点8匀速运动.伴随着P、。的运动，OE保持垂直

平分PQ,且交尸。于点Q,交折线Q8-BC-C尸于点E.点P、。同时出发，当点Q到达点

8时停止运动，点P也随之停止.设点P、。运动的时间是f秒（f>0）.

(1)当/=2时，AP=,点Q到AC的距离是,

(2)在点P从C向4运动的过程中，求△4P。的面积S与

f的函数关系式；（不必写出f的取值范围）

(3)在点E从8向C运动的过程中，四边形QBE。能否成

为直角梯形？若能，求f的值.若不能，请说明理由；

(4)当。E经过点C时，请直接写出，的值.

O

26.解：(1)1,-；图16

(2)作QFL4C于点F,如图3,AQ=CP=t,：,AP=3-t.

由AAQFSAXBC,8c=64=4,

得竿=；."FT。

14

A5=-(3-/)-r,

25

[ips=--r+-r.

55

(3)能.

①当。E〃QB时，如图4.

,JDELPQ,：.PQA.QB,四边形QBE。是直角梯形.

此时/AQP=90°.

由△APQS/XABC,得丝="，

t3T9

即解得"，

358

②如图5,当PQ〃BC时，DEA.BC,四边形QBE。是直角梯形.

此时/APQ=90°.

由△AQPS^ABC,得丝=丝

A8A.C

即:解得f=:.

538

/A\5_p.45

(4)"一或，=—.

214

【注：①点P由C向A运动，OE经过点C.

方法一、连接。C,作QGJ_3C于点G,如图6.

PC=t,QC2=QG2+CG2=[|(5-0]2+[4-^(5-/)]2.

由PC，=QC2,Wr=[|(5-z)]2+[4-^(5-r)]2,解得r=g.

552

方法二、由CQ=CP=A。，得NQAC=NQ。，进而可得

ZB=ZBCQ,得CQ=BQ,AQ=13Q=^.Z./=1.

②点尸由A向C运动，OE经过点C,如图7.

(6-r)2=[j(5-r)]2+[4-^(5-r)]2,30】

5514

（2009年汨J南省）23.（11分）如图，在平面直角坐

标系中，已知矩形/腼的三个顶点8（4,0）、。（8,0）、〃（8,8）.抛物线尸a”?坳?过4、

C两点.

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点。从点4出发.沿线段48向终点6运动，同时点。从点C出发，沿线段切

向终点〃运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为£秒.过点一作PELAB交4C于点

E

①过点《作EFLAD于点F,交抛物线于点G.当£为何值时，线段反；最长？

②连接£0.在点A0运动的过程中，判断有几个时刻使得笫是等腰三角形？

请直接写出相应的t值.

解.（1）点4的坐标为（4,8）..............1分

将A（4,8）、C（8,0）两点坐标分别代入y=ax?+bx

”8=16a+4〃

得＜

10=64〃+86

解得a=-g,左4

；・抛物线的解析式为：片-；V+4x

3分

PEBCPE4

(2)①在RtZXAAIfi'和中，tanN必良---二，即---二——

APABAP8

：.PE=-Af^~t.PB=8-1.

22

二点E的坐标为(4+gt,8-t).

2

二点G的纵坐标为：(4+-t)2+4(4+-t)t2+8...............5分

2228

1，，、

，EG=--i2+8-(8-t)

8

<0,...当仁4时，线段比最长为2......7分

O

②共有三个时刻.8分

1640875

6-，t?F-，右=------尸.-11分

3132+75

28

(2009年山西省)26.(本题14分)如图，已知直线4+§与直线：y=—2x+16相

交于点C,h%分别交x轴于A、B两点.矩形QEFG的顶点。、E分别在直线

卜4上，顶点/、G都在x轴上，且点G与点3重合.

(1)求△ABC的面积；

(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；

(3)若矩形。EFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，

设

移动时间为，(0W，W12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关

，的函数关系式，并写出相应的r的取值范围.

2Q

26.（1）解：由=0,得x=-4.A点坐标为（―4,0）.

由一2%+16=0,得x=8.，3点坐标为（8,0）.

AB=8-（-4）=12............................................（2分）

-28

由，33解得《一'C点的坐标为（5,6）...................（3分）

y=6.

y=-2工+16.

；•S%c=（43%=；xl2x6=36................................（4分）

28

（2）解：:,点。在4上且租=8，二%=§x8+§=8.

点坐标为（8,8）...............................................（5分）

又•.•点E在4上且=Vo=8,

NE-2XE+16=S.：.xE=4.

£点坐标为（4,8）...............................................（6分）

OE=8—4=4,EF=8.........................................（7分）

(3)解法一：①当0Wr<3时，如图1,矩形OEFG与△ABC重叠部分为五边

形CHFGR(/'=0时，为四边形CHFG).过。作CM_LAB于M,

则RtARGBsRtACMB.

.BGRG即工="RG=2f.

36

RtAAFH^RtAAMG

1i2

：,S=SAABC—SABRG—S&AFH=36--xrx2r--(8-r)x-(8-r).

41644

即5=--r+-t+—.（io分）

333

（2009年山西省太原市）29.（本小题满分12分）

问题解决

如图（1）,将正方形纸片A88折叠，使点B落在CD边上一点E

CE1

（不与点。，。重合），压平后得到折痕MN.当而=/时，

在图（1）中，若则■的值等于；若则的值等

rp1AA4

于.;若二=一（〃为整数），则工的值等于.（用含〃的式子表示）

CDnBN

联系拓广

如图（2）,将矩形纸片ABC。折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C,。重合）,

压平后得到折痕设普='（根＞）孚=,，则要的值等于

MN,1,.（用含

BCmCDnBN

m,n的式子表示）

29.问题解决

解：方法一：如图(1-1),连接3M,EM,BE.

…NC

图（1T）

由题设，得四边形4BNM和四边形FEN似关于直线MN对称.

MN垂直平分BE.：.BM=EM,BN=EN.

•.•四边形ABC。是正方形，NA=NO=NC=90°,AB=BC=CD=DA=Z

在RtaCNE中，NE2=CN2+CE2.

95s

.♦•J?=（2-x）-+F.解得》=2一,，|即A|JU8NlV—=—己.

\'A4A4

在RtAABM和在RtADEM中,

AM2+AB2^BM2,

DM2+DE2=EM2,

AM2+AB2=DM2+DE2.

设AM=y，则。M=2-y,/+22=（2-j^）2+12.

解得y=—，即AM=

AM1

BN5

方法二：同方法一，BN=3

如图(1-2),过点、N救NG〃CD,交AD于点、G,连接BE

Nc

图（1-2）

AD〃BC,.•.四边形G£>CN是平行四边形.

:.NG=CD=BC.

同理，四边形ABNG也是平行四边形.AG=BN=?.

4

•；MN±BE,:.ZEBC+/BNM=90°.

■,NG1.BC,ZMNG+ZBNM=90°,/.ZEBC=ZMNG.

在△3CE与△NGM中

NEBC=4MNG,

<BC=NG,：.ABCEmANGM,EC=MG.................................5分

NC=NNGM=90°.

51

AM=AG-MG,AM=——1=—...............................6分

44

.AM1

:.——.........................................................................................................7分

BN5

类比归纳

29

（或——）；10分

51017

联系拓广

n2m2-2/1+1

12分

n2m2+1

评分说明：1.如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分.

2.如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没

有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分.

(2009年安徽省)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示.

(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.

【解】

第23题图(1)

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的

函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什

么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.

【解】

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函

数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,

且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，

使得当日获得的利润最大.

【解】

8()(6,80)

40(7,40)

城同销量（kg）

零售价（元）

第23题图（2）

23.（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，

可按5元/kg批发；……3分

图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发.

....................................................................3分

，什〜小|5w（20m60）一__

（2）解：由题意得：w=</、、，函数图象如图所小.

|4机（机>60）

....................................................................7分

由图可知资金金额满足240<wW300时，以同样的资金可

批发到较多数量的该种水果......................8分

（3）解法一：

设当日零售价为x元，由图可得日最高销量w=320-40加

当相>60时，x<6.5

由题意，销售利润为

y=(x-4)(320-40m)=4()[-(x-6)2+4]12分

当x=6时，y最大值=160,此时〃1=80

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg,

当日可获得最大利润160元....................................14分

解法二：

设日最高销售量为xkg（%>60）

则由图②日零售价p满足：x=320—40p,于是〃=%导

销售禾II润y=-4）=-^（x-80）2+160..................[2分

当x=80时，y最大值=160,此时p=6

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg,

当日可获得最大利润160元...................................14分

（2009年江西省）25.如图1,在等腰梯形ABGD中，AD//BC,E是AB的中点，过

点E作EF〃BC交CD于点、F.AB=4,BC=6,ZS=60°.

（1）求点E到的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作£产交8C于点M,过"作"N〃

交折线ADC于点N,连结PN,设=

①当点N在线段上时（如图2）,△2/处的形状是否发生改变？若不变，求出△「7如

的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段0c上时（如图3）,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形？若存在，

请求出所有满足要求的X的值；若不存在，请说明理由

N

La

B1------------------CBL--------------

MM

图1图2图3

A.-----------.D（第25题）A「—

I

BL-------------------icBL——

图4（备用）图5（备用）

25.（1）如图1,过点E作£G_L8C于点G.............1分

•；E为43的中点，

BC

G

图1

BEAB^2.

2

在RtAEBG中，NB=60°,/./BEG=30°............2分

BG=-BE=1,EG=V22-l2=y/3.

2

即点E到BC的距离为V3...........................................3分

(2)①当点N在线段AQ上运动时，△月河的形状不发生改变.

•:PM±EF,EG±EF,：.PM//EG.

VEF//BC,：.EP=GM,PM=EG=A

同理2W7V=AB=4.................................................4分

如图2,过点、P作PH工MN于H,；MN〃AB,

NNMC=NB=60°,/PMH=30°.

PH=-PM=—

22

3

：.MH=PM-cos3Q0=-.

2

35

则NH=MN—MH=4——=-

22

、2

在RtAPNH中,PN=^NH2+PH

27

的周长=PM+PN+MN=6+J7+4.............................................6分

②当点N在线段DC上运动时，的形状发生改变，但△AWC恒为等边三角

形.

当PM=PN时，如图3,作于R,则MR=NR.

3

类似①，MR=~.

2

MN=2MR=3...............................................................................................7分

：AACVC是等边三角形，=MN=3.

当MP=MN时,如图4,这时MC=MN=MP

此时，x=EP=GM

当附=乂11时，如图5,NNPM=/PMN=30。.

则ZPMN=120°,又/MNC=60°,

ZPNM+ZMNC=180°.

因此点尸与尸重合，△PMC为直角三角形.

MC=PM.tan3（）o=L

此时，x=EP=GM=6-l-\=4.

综上所述，当x=2或4或（5-6）时，APMN为等腰三角形..............10分

（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）

如图13,二次函数）=炉+0（；+4（〃<0）的图象与*轴交于人、B两点，与y轴交于

点C（0,-1）,AABC的面积为3。

4

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0,m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC

的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角

梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

25.（本小题满分14分）

解：（1）OC=1,所以,q=-l,又由面积知0.5OCXAB=2,得AB=』，

42

J(a+b)2-4"=g,解得p=±|,

设A(a,0),B(b,0)AB=b-a=

一3

但p<0,所以p=--o

3

所以解析式为：y二Y一一工一1

2

,311

(2)令y=0»解方程得％---1=0,得％=------,赴=2,所以A(---,0),B(2,0),

222

在直角三角形AOC中可求得AC=^，同样可求得BC=石,，显然AC2+BC2=AB2,得三

2

角形ABC是直角三角形。AB

为斜边，所以外接圆的直径为AB=3,所以—34加43.

244

（3）存在，ACJ_BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-l,

可设BD的解析式为y=-2x+b,把B（2,0）代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组

3,u

y—x2—x—15

<2得口（—,9）

y=-2x+4

②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-l,可设AD的解析

式为y=0.5x+b,把A（-g,0）代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组

y=x2--x-1_53

\2得Dy,/

22

y=0.5x+0.25

综上，所以存在两点：（--5,9）或（5一二3）。

222

（2009年广东省中山市）22.（本题满分9分）正方形ABCZ）边长为4,M、N分别是BC、

CD上的两个动点，当例点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.

（1）证明：Rt/\ABMsRt/\MCN；

（2）设梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么

位置时，四边形A8CN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时RfAABMsRf/vwW,求此时x的值.

BMC

危仁<1)隹止力■超/qCTQ中.=NU990。.

*--/IM_LiWTV.

---—AMZ=QO0.

----UMZ-=八M/3=9。。.

卷RRZ^fA2Vr中.，A^fA+NTA</»=900.

-*-NC7A^7V——MAE.

R-tz2s_ziR.tz^S.TV/CA/,...............................................2分

〈2)-「R&A-4〃A<r-EAzWiCW.

.4H=J3M.4x

・"MCJ=UZ'•-4—”aUZ'

.............................................<5分

•与x=N口寸._v，仪辰人但，灿人fft力IO.

,--NHH，/lA-fZ=QQ""，

KzV/KA

-■•我仞4.AAM-1△AMZ.必3负rr.............................................7分

"MZFM

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---当，京人，运京0卡JAU件9r打忌8寸.Z2s^4J32—△AAV7V.MLH*J-JC-2.

............................................Q分

（对食。：研收的法，科J惟评分律坟按印的分）

纶6k(>ti«s2>r>

（2009年哈尔滨市）28.（本题10分）

如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标

为（-3,4）,

点C在x轴的正半轴上，直