专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1导数的定义及其应用】 2【题型2（复合）函数的运算】 3【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】 3【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 4【题型5与切线有关的参数问题】 4【题型6切线的条数问题】 5【题型7两条切线平行、垂直问题】 5【题型8公切线问题】 6【题型9与切线有关的最值问题】 61、导数的概念及其意义、导数的运算考点要求真题统计考情分析(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数

(2)通过函数图象，理解导数的几何意义

(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数2022年新课标I卷：第15题，5分2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分2024年新课标I卷：第13题，5分2024年全国甲卷（文数）：第7题，5分2024年全国甲卷（理数）：第6题，5分导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.【知识点1导数的运算的方法技巧】1.导数的运算的方法技巧(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【知识点2复合函数的导数】1.复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；第四步：变量回代：把中间变量代回.【知识点3切线问题的解题策略】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.3.与切线有关的参数问题的解题策略：(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上，故满足切线方程；③切点在曲线上，故满足曲线方程.(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.4.公切线问题的解题思路求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.【题型1导数的定义及其应用】【例1】（2024·重庆·模拟预测）limΔx→02+Δx3−23Δx=（

A．72 B．12 C．8 D．4【变式1-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数fx在x0处的导数为f′x0，则A．mf′x0 B．−mf′x0 C．【变式1-2】（23-24高二下·江西赣州·期中）设fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2A．−1 B．−2 C．1 D．2【变式1-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=−1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则f1A．f1k−1≥C．f1k−1>【题型2（复合）函数的运算】【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数fx=2xx−2x−2A．220 B．221 C．222【变式2-1】（2024·山东·二模）已知fx为定义在R上的奇函数，设f′x为fx的导函数，若fxA．1 B．−2023 C．2 D．2023【变式2-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设fx=sinx，f1则i=12024fiA．0 B．32 C．3−12【变式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函数fx,gx的定义域均为R,g′x为gx的导函数，且fx+g′A．2 B．1 C．0 D．-1【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y=x3−x在原点处相切，则lA．π6 B．π4 C．3π【变式3-1】（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线fx=2xcosx在x=0处的切线为A．ln2 B．−ln2 C．1【变式3-2】（2024·新疆阿克苏·一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则A．−∞,14 B．4,+∞ 【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点P是函数fx=x3−12f′A．0,3π4 B．0,π2∪【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x3−f′A．e2−12e B．3e2【变式4-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）曲线y=xex+2x−2在x=0A．3x+y+2=0 B．2x+y+2=0C．2x−y−2=0 D．3x−y−2=0【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线y=fx=xA．y=x和y=−x B．y=−3x和y=3xC．y=x和y=−3x D．y=−x和y=3x【变式4-3】（2024·北京东城·一模）过坐标原点作曲线y=ex−2+1A．y=x B．y=2x C．y=1e2【题型5与切线有关的参数问题】【例5】（2024·广西贵港·三模）已知曲线y=axex+lnx在点1,aA．a=e，b=−2 B．a=eC．a=e−1，b=−2 D．a=【变式5-1】（2024·河南郑州·二模）已知曲线y=xlnx+ae−x在点x=1处的切线方程为2x−y+b=0，则A．－1 B．－2 C．－3 D．0【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax2+blnx的图象在点1,fA．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线fx=ex在点P0,f0处的切线也是曲线A．e3 B．e2 C．e2【题型6切线的条数问题】【例6】（2024·全国·模拟预测）若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则A．−∞,−1∪C．−∞,−3 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−x3+3x，则过点−3,−9A．0 B．1 C．2 D．3【变式6-2】（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（A．eb<a C．0<a<eb 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则mA．(−∞,+∞C．(−1,3) D．(−【题型7两条切线平行、垂直问题】【例7】（2024·四川遂宁·模拟预测）与曲线f(x)=12x2+x+14b−12和A．-8 B．-3 C．4 D．6【变式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函数f(x)=lnx+x与g(x)=2x−mx−1的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2x+1平行，则实数m=（A．178 B．176 C．174【变式7-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）函数fx=ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数A．0,1 B．0 C．0,1 D．1,+∞【变式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=a(a＞0)对称，且当x≥a时，f(x)=exe2a，过点P(a,0)作曲线y=f(x)的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数f(x)的最小值为A．e−12 B．e−1 C．【题型8公切线问题】【例8】（2024·福建·模拟预测）已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线A．k=1e，b=0 B．k=1C．k=1e，b=−1 D．k=1【变式8-1】（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+yA．0或2 B．−2或0 C．－1或0 D．0或【变式8-2】（2024·江苏南通·模拟预测）若曲线f(x)=ax(a>1)与曲线g(x)=logaA．e B．e2 C．e1e【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，直线l与gA．π6 B．π4 C．π3【题型9与切线有关的最值问题】【例9】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=1+2tanωx2−tan2ωx21+tanA．2 B．32 C．1 D．【变式9-1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数f(x)=aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数A．2e B．1e C．12e【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设曲线y=x+aexa>1在x=0处的切线为l，则A．1 B．32 C．2 D．【变式9-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线y=ax+b与曲线y=lnex相切，则a+bA．12 B．1 C．2 D．一、单选题1．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）若limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−A．1 B．-1 C．2 D．-23．（2024·福建漳州·三模）已知函数fx=lnx+x,gx是函数fA．1 B．2 C．3 D．44．（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ft，用−fb−fab−a

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企业在0,t1，t1,t5．（2024·河南·模拟预测）曲线y=x33−2在点A．3x+3y+4=0 B．3x+3y−4=0 C．3x−3y+4=0 D．3x−3y−4=06．（2024·山西·模拟预测）已知函数fx=a−3x3+a−2x2+a−1x+a若对任意A．0 B．1 C．2 D．37．（2024·全国·模拟预测）若过点m,n可作函数y=2x+1xx>0A．0<2m+1m<nC．2m<n<2m+1m 8．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数fx=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mexA．−e2,0C．−1,0 D．0,1二、多选题9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线y=x+1相切的有（

）A．y=ex C．y=sinx+1 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数fx，gx的定义域为R，g′x为gx的导函数，且fx+A．f4=3 C．f1+f311．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线y=lnx两条互相垂直的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线l1A．P1、P2两点的纵坐标之积为定值 B．直线C．线段AB的长度为定值 D．△ABP面积的取值范围为0,1三、填空题12．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若13．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线f(x)=x3−.14．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1四、解答题15．（23-24高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导函数.(1)f(x)=x(2)f(x)=log(3)f(x)=sin(4)f(x)=ln16．（23-24高二·全国·随堂练习）（1）已知f(x+ℎ)−f(x)=2ℎx+5ℎ+ℎ2，用割线逼近切线的方法求（2）已知g