专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题3.2导数与函数的单调性【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不含参函数的单调性、单调区间】 2【题型2含参函数的单调性】 3【题型3根据函数的单调性求参数】 4【题型4函数与导函数图象之间的关系】 4【题型5函数单调性的应用——比较大小】 6【题型6函数单调性的应用——解不等式】 6【题型7导数关系构造函数解不等式】 71、导数与函数的单调性考点要求真题统计考情分析(1)结合实例，借助几何直

观了解函数的单调性与导数的关系

(2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)

(3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用2022年新课标I卷：第7题，5分2022年全国甲卷：第12题，5分2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分2024年新课标I卷：第10题，6分导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大.【知识点1导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点2导数中函数单调性的应用】1.比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.【解题方法与技巧】导数关系构造函数的一些常见结构：(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0，构造函数F(x)=f(x)+g(x).(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)=f(x)-g(x).特别地，对于不等式f'(x)>k，构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，构造函数F(x)=f(x)·g(x).(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，构造函数F(x)=.(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=.(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=.(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=.【题型1不含参函数的单调性、单调区间】【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数fx=ln2x−1−x2+x的单调递增区间是（

）A．0,1 B．1C．1−22,【变式1-1】（2024·上海静安·二模）函数y=xlnA．严格增函数B．在0,1eC．严格减函数D．在0,1e【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在0,+∞上单调递减的是（

A．fx=3C．fx=x−x【变式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x1−lnx，则当A．−∞,−eC．−∞,0 【题型2含参函数的单调性】【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数fx=1(1)若曲线y=fx在x=2处的切线与y轴垂直，求实数a(2)讨论函数fx【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数fx=−a(1)讨论fx(2)若y=fx的图象与x【变式2-2】（2024·贵州·二模）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)讨论fx在0,+【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）已知函数fx=mln(1)讨论fx(2)当m=1时，证明：f′【题型3根据函数的单调性求参数】【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数ℎx=lnx−12aA．−∞,−1 B．−∞,−1 C．【变式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=a(lnx−ax−1)在(1,+A．(0,1e] B．[1e,1)【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）若函数fx=logaax−x3(a>0且A．3,+∞ B．1,3 C．0,13【变式3-3】（23-24高三上·河北·期末）设函数fx=ax−alnx(a>0且a≠1)A．e,+∞ B．e2,+∞ 【题型4\t"/gzsx/zj166005/_blank"\o"函数与导函数图象之间的关系"函数与导函数图象之间的关系】【例4】（2023·安徽·模拟预测）已知函数fx=16x3+A．

B．

C．

D．

【变式4-1】（2024·四川成都·一模）函数fx=2ax

A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【变式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函数fx与gx的部分图象如图所示，则（

A．g′−1<0<fC．g′3<f【变式4-3】（2024·北京海淀·一模）函数f(x)是定义在(−4,4)上的偶函数，其图象如图所示，f(3)=0.设f′(x)是f(x)的导函数，则关于x的不等式f(x+1)⋅fA．[0,2] B．[−3,0]∪[3,4) C．(−5,0]∪[2,4) D．(−4,0]∪[2,3)【题型5函数单调性的应用——比较大小】【例5】（2024·江西宜春·三模）已知a=12e，b=ln222A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知a=ln65,b=1A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b【变式5-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数fx=2x+2−x+cosA．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知a=9798,b=A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a【题型6函数单调性的应用——解不等式】【例6】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=log4(4x+1)−1A．(−∞,−2] B．C．[−2,43]【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数fx=x−13+A．0,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【变式6-2】（2024·山东聊城·三模）设函数fx的定义域为R，导数为f′x，若当x≥0时，f′x>2x−1，且对于任意的实数A．−∞,1 B．13,1 C．【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，gx=f′x−2exA．−∞,−1∪C．−1,3 D．−3,1【题型7导数关系构造函数解不等式】【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f′x，且f1=e，当x>0时，A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 【变式7-1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为R的偶函数y=fx的导函数为y=f′x，若f′x+A．−∞,−1∪C．−3,1 D．−1,3【变式7-2】（2024·吉林·二模）已知函数fx的定义域为−∞,0，其导函数f′x满足xA．−2025,−2024 B．−2024,0C．−∞,−2024 【变式7-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在0,+∞上的函数fx满足f′x−fxA．0,+∞ B．1,+∞ C．−∞一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=12xA．−1,1 B．−1,1 C．1,+∞ D．2．（2024·上海·三模）在区间I上，f′x>0是函数y=fA．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知a=ln75，b=cos25，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=xα(x>0)，α为实数，f(x)的导函数为f′(x)，在同一直角坐标系中，f(x)A． B．C． D．5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数fx=12sin2x−acosA．−∞,−1 B．−1,+∞ C．−6．（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xfA．−∞,1 B．−∞,2 C．7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fx=x2−cosx，则fA．f−ln5C．f−ln58．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=2A．(1,+∞) C．(−∞,1) 二、多选题9．（2024·广东茂名·一模）若fx=−13x3+A．−4 B．−3 C．3 D．410．（2024·河南信阳·模拟预测）已知fx为(0,+∞)上的可导函数，且x+1A．3f4<4f3 B．4f4>5f311．（2024·浙江台州·一模）已知gx是定义域为R的函数fx的导函数，f0=1，f1=0，A．fB．f3>1e（C．存在x0∈D．若x0∈三、填空题12．（2024·河北邢台·二模）若a=13，b=tanπ9，c=ln54，则13．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=x2+x−2e14．（2024·新疆·三模）设函数fx在R上存在导数f′x，对于任意的实数x，有fx−f−x+2x=0，当x∈−∞四、解答题15．（2024·重庆·三模）已知函数f