专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.1数列的概念与简单表示法【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由an与Sn的关系求通项或项】 4【题型2累加法求通项公式】 6【题型3累乘法求通项公式】 8【题型4构造法求通项公式】 10【题型5数列的周期性】 11【题型6数列的单调性】 13【题型7数列的最大（小）项】 15【题型8数列中的规律问题】 17【题型9数列的恒成立问题】 191、数列的概念与简单表示法考点要求真题统计考情分析(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数2021年北京卷：第10题，4分数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.【知识点1数列的概念与基本知识】1．数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.2．数列的分类分类标准名称含义举例按项的

个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,n无穷数列项数无限的数列1,0,1,0,1,0,…按项的

变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一

项的数列3,4,5,6,…,n+2递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一

项的数列-1,-2,-3,…,-n常数列各项相等的数列0,0,0,0,…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一

项，有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4,…3．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.5．数列表示方法及其比较优点缺点通项

公式法便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究一些数列用通项公式表示比较困难列表法内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难图象法能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势数列项数较多时用图象表示比较困难递推

公式法可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系不容易了解数列的全貌，计算也不方便6．数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

=.【知识点2数列的通项公式的求解策略】1．由an与Sn的关系求通项：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.2．由数列的递推关系求通项公式：(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.(3)构造法：①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.【知识点3数列的性质有关问题的解题策略】1．数列周期性问题的解题策略：解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.2．求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用确定最大项，利用确定最小项.【方法技巧与总结】1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=.2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则.【题型1由an与Sn的关系求通项或项】【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n−1−12，则数列an的通项公式为（

）A．an=1C．an=(−2)【解题思路】由an【解答过程】Sn=2n−1−当n≥2,a所以数列an的通项公式为a故选：D.【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【解题思路】利用数列的通项和前n项和公式求解.【解答过程】解：由题意可得a1当n=1时，a1当n≥2时，a1两式相减得an2n−1=1综上所述，a所以a2024故选：C．【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+2A．an=1,n=1C．an=n 【解题思路】由题中等式，可得2nan=n⋅2n−【解答过程】当n=1时，有2a1=1⋅当n≥2时，由2a1+两式相减得2n此时，an=n+1所以an的通项公式为a故选：B.【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列an满足1a1a2+1A．13 B．1 C．32【解题思路】由已知和式求出通项1anan+1的通项，从而得出1a5a【解答过程】n=1时，1n≥2时，11a∴a∵∵a故选：D.【题型2累加法求通项公式】【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列an满足a1=3，an+1=A．4+1n B．4−1n C．【解题思路】由an+1−a【解答过程】由题意可得an+1所以a2−a1=1−上式累加可得a=1−1又a1=3，所以故选：B.【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列an中，a1=2，an+1A．n2−n+2 C．2n2 D．【解题思路】解法一：由an+1−an=2n【解答过程】由an+1+2nan+1−an法一:a2这n−1个式子累加，得an−a又当n=1时，a1=2，符合上式，所以法二:由a1=2，得a2故选：A.【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列an中，a1=1，an+1=A．43 B．46 C．37 D．36【解题思路】由递推公式an+1=an+2n−1用累加法公式a【解答过程】法一：由题得an=a所以a7法二：由题a1=1，所以a7故选：C.【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列an，则（

A．a6=16 C．2an+1=【解题思路】根据已知条件写出递推关系式，运用累加法求得{an}通项公式，赋值可判断A项、B项、D项，分别计算a【解答过程】由相邻层球的个数差，可知an+1−a所以当n≥2时，an将n≥1代入an=n所以an对于A项，当n=6时，a6对于B项，当n=10时，a10对于C项，因为an所以an2a所以2a对于D项，a2023故选：D.【题型3累乘法求通项公式】【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和SA．12n−12n+1 B．3n−22n+1 C．2−【解题思路】根据数列递推式，得Sn−1=n−1【解答过程】由于数列an中，a1=13∴当n≥2时，Sn−1两式相减可得：a∴2n+1a所以an因此an故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解题思路】由an+1=n【解答过程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因为a1=1，所以因为a1=1满足上式，所以故选：B.【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，A．an=2C．an=3【解题思路】由Sn=n+23an得Sn−1=n+13an−1,n≥2,n∈【解答过程】由Sn=n+2两式相减得:Sn即an=n+23an−所以a2a1=31，相乘得：a2a1⋅a即ana1=n⋅n+11⋅2当n=1时，a1=1×故选：B.【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【解题思路】根据题意可得an+1【解答过程】解：由an=na即an+1则anan−1=nn−1，由累乘法可得ana1=n，因为故选：C．【题型4构造法求通项公式】【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列an中，a1=2，an+1A．−3n−53n−2 B．3n2−n 【解题思路】通过构造等差数列的方法，先求得1an+1【解答过程】由an+1a所以an−1所以an+1=a所以数列1an+1是首项为1所以1aan故选：A.【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.【解答过程】由Tn2=ann+1，得两边取对数得nlgan+1=(n+1)lg则lgann=lga1故选：B.【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列an满足a1=2,an+1=3an【解题思路】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得.【解答过程】数列an中，由an+1=3an而a1=2，a12+2=3因此an2n所以数列an的通项公式为a故答案为：2(3【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列an(n∈N∗)的前n项和为Sn，a1=1，2【解题思路】根据给定条件，结合an【解答过程】数列an(n∈N∗)中，2两式相减得2an=(n+1)an因此数列{ann所以数列an的通项公式为a故答案为：n.【题型5数列的周期性】【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列an中，a1=4，a2=3，aA．14 B．34 C．3 【解题思路】根据递推公式代入检验可知数列an【解答过程】因为a1=4，a2令n=2，可得a3=a2a令n=4，可得a5=a4a令n=6，可得a7=a6a可知数列an所以a1000故选：A.【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列an中，a1=2，aA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【解答过程】由a1a3a4a5a6a7a8⋯⋯则{a所以a2024故选：C.【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．0【解题思路】用n+1去换an+2+an=【解答过程】由题意得an+2=an+1−an两式相加可得an+3=−an，即又a1=2，a2所以数列an的前2024项和S故选：A.【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列an，若an+1=an+an+2n∈N∗，则称数列anA．0 B．1 C．－5 D．－1【解题思路】根据bn+2=b【解答过程】解：因为bn+2=bb5则数列bn是以6为周期的周期数列，又S所以S2024故选：D.【题型6数列的单调性】【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列{an}，定义dn=an+1−aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.【解答过程】{an}为递增数列时，有d{dn}为递增数列时，不一定有d所以“{an}故选：D.【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列an满足an=n−aa∈R，则“a≤1”是A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】当a≤1时an=n−a≥0，则所以an+1−an=n+1−a−当a=54时an=n−所以当数列an是递增数列，a可以大于1所以“a≤1”是an故选：B.【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列an的首项a1为常数且a1≠23，an+1A．−23,C．0,23 【解题思路】由已知条件推得数列an−4n6是首项为a【解答过程】因为an+1所以an+1由于a1≠2可得数列an−4n6则an=16×即16×4当n为偶数时，a1>2可得23−1当n为奇数时，a1<2可得23+1综上可得a1的取值范围是−故选：B．【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足a1=t,an+1−2aA．−1,1 B．−∞,0 C．−1,1 【解题思路】根据题意得到an−n是等比数列，利用等比数列的通项公式得到an，利用an是递减数列列出关于【解答过程】将an+1−2a又a1−1=t−1，易知当t=1时,a1=1,a因此数列an−n是以故an−n=t−1由于an是递减数列，故an+1<化简得1−t2n−1>1因此1−t>121−1故选：B．【题型7数列的最大（小）项】【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列an、bn满足：a1=8，an−aA．第7项 B．第9项C．第11项 D．第12项【解题思路】利用累加法得到an=4n2+4n，即可得到b【解答过程】n≥2时，an−an−1=8n，an−1−an−2=8n−1，⋅⋅⋅令bk≥b解得172≤k≤192，故选：B.【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列an的前n项积bn=1−27A．−13 B．57 C．2【解题思路】由题可得an【解答过程】∵数列an的前n项积b当n=1时，a1当n≥2时，bn−1=1−2n=1时也适合上式，∴an∴当n≤4时，数列an单调递减，且an<1，当n≥5时，数列an单调递减，且a故an的最大值为a5=3∴an故选：C.【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列an是递增数列，且an∈N∗，数列an的前n项和为SnA．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与a5【解答过程】数列an是递增数列，且an∈为使a5取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与a则a1=1,a因此S10=a1+故选：C.【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列an=(n+1)(−A．anB．anC．anD．an【解题思路】分奇偶分别作差，判断奇数项的单调性以及偶数项的单调性，从而得出结果.【解答过程】当n=2k,k∈Na2ka2(k+1)当k≤4时，a2(k+1)−a2k>0，a2k递增；当k≥5时，当n=2k−1,k∈Na2k−1a2k+1当k≤4时，a2k+1−a2k−1<0，a2k−1递减；当k≥5时，综上，an故选：C.【题型8数列中的规律问题】【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（

）A．778 B．779 C．780 D．781【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项.【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列{a依题意，a1=1=1×1,a所以a20故选：C.【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,⋯，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916【解题思路】根据题意，给出数列的前几项，观察其规律，得到奇数项和偶数项的通项公式，代入即可求解.【解答过程】观察此数列，偶数项为2,8,18,32,50,⋯，可得此时满足a2n奇数项为0,4,12,24,40,⋯，可得a2n−1所以a16=2×82=128所以a15故选：C.【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中a≤b）．当a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【解题思路】由给定的勾股弦数组序列中，an=2n+1n∈N∗，c−b=1，得a2=【解答过程】因为a2+b在给定的勾股弦数组序列中，c−b=1，所以a2易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为an所以an故“弦”的通项公式为cn=2n所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于2×10故选：C．【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【解题思路】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.【解答过程】设题图②中第n行白心圈的个数为an，黑心圈的个数为b依题意可得an+b所以an+b∴a又an+1=2a故有an+1∴an−bn为常数数列，且a1∴a由①②相加减得：∴an=所以b5故选：C．【题型9数列的恒成立问题】【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列an中，a1=a(a>0),2n−1aA．3 B．6 C．12 D．15【解题思路】先将条件变形得到an+12n+1−12【解答过程】由已知2n两边同时除以2nan+1即an+1即an+1则数列an所以an所以an又an即a3因为a>0，n≥1,n∈N所以a3所以a=又1+所以要a3≤1+42n故选：A.【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义maxa,b=a,a≥bb,a<b．若数列an的前n项和为Sn=λn2+20+λnλ∈A．−4,−3 B．−3,−2C．−23,−【解题思路】根据题意，求得an=2λn+20，bn=2n，结合cn=maxan,b【解答过程】由数列an的前n项和为S当n≥2时，可得an又由当n=1时，a1所以数列an通项公式为a由数列bn满足b1=2且2即1b各式相加可得1b又由1b1=12因为cn=max当λ=0，an=20，当λ≠0，则满足λ<0且a2≥b3且b4综上，实数λ的取值范围为−3,−2故选：D.【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n2．若a【解题思路】由an与Sn的关系，可求得Sn+Sn−1=n−12(n≥2)，进而求出【解答过程】法一：因为Sn+1+Sn=n2，当n≥2时，S当n=1时，2a1+a2=1，则a2则a2n要使an+1>an对n∈N∗恒成立，则所以a1的取值范围为−法二：Sn+1+Sn=两式相减得an+1+a两式相减得an+2−a要使an+1>an对n∈N则1−2a1>所以a1的取值范围为−故答案为：(−1【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列an的通项公式为an=2n−1.若对于任意n∈N∗，不等式2na【解题思路】将2nan(4−λ)>a【解答过程】解：由2nan所以4−λ>(n−1)设bn则bn+1设f(n)=−2n3+5令f′(n)>0，解得1≤n<53，即令f′(n)<0，解得n>53，即又f(1)=1，f(2)=2，f(3)=−11，所以当n≥3时，f(n)≤f(3)<0，即bn+1所以b3当n=1,2时，f(n)>0，即bn+1−b综上，bn≤b3=所以 λ 的取值范围为故答案为：−∞一、单选题1．（2024·山东济南·三模）若数列an的前n项和Sn=n(n+1)，则aA．10 B．11 C．12 D．13【解题思路】根据an与S【解答过程】a6故选：C.2．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（

）A．366 B．422 C．450 D．600【解题思路】根据题意，得到数列an的偶数项的通项公式为a【解答过程】由题意，大衍数列的偶数项为2,8,18,32,50,⋯，可得该数列an的偶数项的通项公式为a所以此数列an的第30项为a故选：C.3．（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列A．−3,+∞ B．−2,+∞ C．−2,+∞【解题思路】由递增数列定义可得an+1【解答过程】由题意可得an+1−a即b>−2n−1，又n≥1，−2n−1≤−3，故b∈−3,+故选：A.4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列an对任意k∈N*满足ak⋅A．21012 B．21013 C．22024【解题思路】由ak⋅ak+1=【解答过程】解：由ak⋅a所以ak+2所以a2024a2022⋅又因为a1⋅①②两式相乘，得a1故选：A．5．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,⋯,n的倒数的和1+12+13+⋯+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1+12+13+⋯+1（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A．10 B．9 C．8 D．7【解题思路】设an=1+12+【解答过程】设an=1+1因为an+1可知数列an且a1800a2048可知8.07<a2024<8.17故选：C.6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列an前n项和为Sn，且an=33n−13，则关于A．an，Sn都有最小值 B．anC．an，Sn都无最小值 D．an【解题思路】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．【解答过程】因为an=33n−13，所以当当n≥5时，an>0，且单调递减，故当n=4时，又因为当n≤4时，an<0；当n≥5时，an综上可知an，S故选：A.7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数fx=3x−13x+1，数列an满足aA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据函数解析式判断函数奇偶性，判断函数的单调性，根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果；【解答过程】由题意可知：fx的定义域为R且fx+f−x可知fx为定义在R上的奇函数，且f因为y=3x在R上单调递增，可知fx综上所述：fx在R因为fa2+f可得a3+a由an+3=ann∈且2024=3×674+2，所以i=12024故选：B.8．（2024·四川绵阳·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且SnA．an<an+1 B．Sn>【解题思路】根据条件先求解出an的通项公式，A：根据an的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据Sn+1−Sn的结果进行判断；C：根据an【解答过程】当n=1时，a1当n≥2时，an所以n=1不满足n≥2的情况，所以an对于A：当n≥2时，由指数函数单调性可知：43n>对于B：因为Sn+1−S对于C：当n=1时，2a当n≥2时，2a故2a对于D：当n=1时，a1当n≥2时，由指数函数的单调性可知an=4且43n>0所以0<a故选：D.二、多选题9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列an满足a1=1，an+1=A．a3=2−22C．an+1≤n+1【解题思路】根据递推公式分别求出a2和a3可判断A；将an+1=an1+an两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到1【解答过程】∵a1=1，an+1=a对于A，a2=a对于B，∵an+1=an1+∴1an+1<对于C，由B知，1an+1<∴当n≥2时，1a∵a1=1，∴即an≥2∴an+1对于D，由C知，an+1≤n+1n+3a∴当n≥2时，an∴a22故选：BD.10．（2024·福建泉州·模拟预测）数列{an}(n∈N∗)的前n项和为SnA．a3=2 C．{Sn}为递增数列 【解题思路】根据题意，分别求得a1，a2，a3【解答过程】解：由题意，数列{an}满足a当n=1时，a2=2a1=2当n=3时，a4若n为奇数，则n+1，n+3为偶数，n+2，n+4为奇数，则an+1=2an，an+2若n为偶数，则n+1，n+3为奇数，n+2，n+4为偶数，则an+1=1an，a所以数列an故S10=a1+a2又由an>0，故由上述讨论可知，{a2n−1}的项为1，1故选：BCD．11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列an的通项公式为an=A．若c≤1，则数列anB．若对任意n∈N*，都有aC．若c∈N*，则对任意i,j∈D．若an的最大项与最小项之和为正数，则【解题思路】对于选项A，求出an=1(n−c)2+1,an+1=1(n+1−c)2+1，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B，求解【解答过程】对于选项A，由条件知an=1n−c2结合c≤1，n∈N∗知2n+1−2c≥2n−1>0，所以所以an+1<a对于选项B，首先有a1若c≤2，则当n为偶数时，an=1而当n为奇数且n≥3时，由n−c≥3−c>0，知n−c=n−c≥3−c=3−2c+c≥3−4+c=c−1，n−c=n−c≥3−c>1−c，从而c−1≤n−c，即所以只要c≤2，就一定有an≥a1恒成立，所以由对于选项C，显然当i,j同为奇数或同为偶数时，必有ai,a而当i,j的奇偶性不同时，i+j为奇数，此时不妨设i,j分别是奇数和偶数，则ai因为c∈N∗，故2c为偶数，而i+j为奇数，所以所以ai对于选项D，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项.当n=n1为偶数时，要让an而当n=n2为奇数时，要让an设n1和n2分别是到c距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于而an1+an这表明，条件等价于，到c距离最小的正奇数到c的距离，大于到c距离最小的正偶数到c的距离.若c≤1，则到c距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1−c≥1−1=0可知2−c≥2−c>1−c=若c>1，c是正奇数，则到c距离最小的正奇数到c的距离为0，不可能大于到c距离最小的正偶数到c的距离，不符合条件；若c>1，且c不是正奇数，设到c的距离最近的正偶数为2kk∈N∗此时到c距离最小的正偶数到c的距离为2k−c，从而到c距离最小的正奇数到c的距离大于2k−c，进一步知任意正奇数到c的距离都大于2k−c.从而2k+1−c>2k−c，2k−1−c>2k−c，这意味着0<2k+1−c综上，2k−12<c<2k+故选：ACD.三、填空题12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：0,2,−6,12,−20,30,⋯，则该数列的通项可以表示为−1n×n【解题思路】观察数列前几项的特征，写出数列的一个通项即可.【解答过程】因为0=−11×1212=−14×42−4，所以该数列的通项可以表示为−1n故答案为：−1n×13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列an的前三项依次为2,2,3,an的前n项和Sn=pn【解题思路】根据题意列方程得到p,q,r，然后根据an=S【解答过程】由题意知S1=p+q+r=2，S2解得p=12，q=1所以Sn=1故答案为：2024.14．（2024·北京·三模）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1且an+1=Sn2+1,n∈【解题思路】①:先确定1,an+1,Sn【解答过程】对于①：an+1=S则an+1−S假设长度分别为1,a则an+1为斜边，所以a所以an+12=an+1−1+1，所以对于②：an+1=S所以an+1an所以∀n∈N对于③：由已知a1=1,a2=2,对于④：由已知a1=1,a2=2,故答案为：②.四、解答题15．（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列an(1)1，2，4，7，11，…；(2)−1，2，5，8，11，…；(3)1，−2，4，−8【解题思路】找出数列的规