专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式【五大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1同角三角函数基本关系式的应用】 3【题型2诱导公式的应用】 5【题型3三角函数式的化简、求值】 6【题型4三角恒等式的证明】 7【题型5同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】 91、同角三角函数基本关系式及诱导公式考点要求真题统计考情分析(1)理解同角三角函数的基本关系式，，

(2)掌握诱导公式，并会简单应用2022年浙江卷：第13题，5分2023年全国甲卷（文数）：第14题，5分2023年全国甲卷（理数）：第13题，5分2024年新课标I卷：第4题，5分2024年全国甲卷（文数）：第9题，5分同角三角函数关系式与诱导公式是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、同角三角函数关系式与诱导公式综合等内容，考查较为灵活，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下.【知识点1同角三角函数的基本关系】1．同角三角函数的基本关系基本关系式语言描述平方关系同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.商数关系同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.2．基本关系式的变形公式【知识点2同角三角函数基本关系式的应用技巧】1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.(2)形如等类型可进行弦化切.2．注意公式的逆用及变形应用：.3．应用公式时注意方程思想的应用：对于这三个式子，利用，可以知一求二.【知识点3诱导公式的应用的解题策略】1．诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如.【知识点4同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略】1．化简、求值利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2．用诱导公式求值用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.【方法技巧与总结】1．同角三角函数关系式的常用变形2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3．同角三角函数关系式的注意事项在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【题型1同角三角函数基本关系式的应用】【例1】（2024·海南·模拟预测）若α∈0,π，且cosα−sinα=12，则tanα=（

）A．4+75 B．4−75 C．【解题思路】先左右两边平方，得出sinα【解答过程】∵cosα−sinα=12，∴(∴sinαcosαsin2∴tanα=4−7∵α∈0,π，且cosα−∴0<tanα<1，故故选：D.【变式1-1】（2023·山西·模拟预测）已知sinα−cosα=15A．−125 B．125 C．−【解题思路】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.【解答过程】由题意可得：sinα−cosα且α∈−π2即sinα>0,cosα>0因为sinα+cosα所以sinα故选：D.【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=13x上，则sinA．−15或75 B．15或−75【解题思路】在直线任取与原点不重合的点，根据三角函数定义得tanα=【解答过程】因为角α的终边在直线y=1任取x=aa≠0，y=a3所以sin==2×故选：C．【变式1-3】（2023·陕西咸阳·三模）已知方程sin2α+2sinαcosA．−45 B．35 C．−【解题思路】由sin2α+2sinαcosα−2sin【解答过程】解：因为方程sin2所以sinα即sinα+2cosαsinα−2所以tanα=−2所以cos2=1−故选：B.【题型2诱导公式的应用】【例2】（2024·河南信阳·模拟预测）若sinα+π3=1A．14 B．−14 C．±【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式计算即得.【解答过程】由sin(α+π3故选：B.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知tanπ2+θ=1A．35 B．56 C．−5【解题思路】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.【解答过程】由题意得sinπ2+θ故sin=−sin故选：D.【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知角α+π3的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P12,A．−32 B．−12 C．【解题思路】利用三角函数的定义可求出sinα+【解答过程】因为角α+π3的终边经过点所以sinα+所以cosα−故选：D.【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知cosθ−2π5=A．−2 B．2 C．−23 【解题思路】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.【解答过程】令m=θ−2π5，则从而2=2sin故选：A.【题型3三角函数式的化简、求值】【例3】（2023·云南大理·模拟预测）已知tanα=3，则cos3α−A．−34 B．34 C．−【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.【解答过程】因为tanα=3，则=sin故选:D．【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角α0°<α<360°终边上A点坐标为sin310°,cos310°，则A．130° B．140° C．220° D．230°【解题思路】先确定角α的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.【解答过程】因为sin310°<0,所以角α的终边在第二象限，又因为tan=cos且0°<α<360°，所以α=140°.故选：B.【变式3-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知sinαsinπ3−αA．−23 B．−3 C．32【解题思路】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.【解答过程】sinα所以tanα所以tanα=2解得tanα=故选：D.【变式3-3】（2023·四川遂宁·模拟预测）已知α为第二象限角，若sin2023π2−α=A．−15 B．15 C．−1515【解题思路】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.【解答过程】由sin2023π2由α为第二象限角，则sinα=1−cos故选：A.【题型4三角恒等式的证明】【例4】（23-24高一·全国·课后作业）设tanα+8π7【解题思路】由题意从所求式子的左边出发，把tanα+【解答过程】证明：左边=sinπ+α+8π把tanα+8π7【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）求证：(1)sinα−cosα+1(2)2【解题思路】（1）将左边化为sinα−（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.【解答过程】（1）左边=sin=sin（2）左边=2sin2=2=21−3【变式4-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：tan(2π−α)（2）设tan(α+8π7【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【解答过程】（1）左边=tan(−α)sin(−α)cos(−α)（2）方法1：左边=sin[π+(8π7+α)]+3cos[(α+方法2：由tan(α+8π7所以，等式左边=sin[2π+(π7+α)]+3cos【变式4-3】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：(1)sin4(2)sin4(3)cosα【解题思路】（1）利用平方差公式及sin2（2）利用提取公因式及sin2（3）利用通分，因式分解等式的运算结合sin2【解答过程】（1）sin4故sin4（2）sin=sin故sin4（3）cos======2故cosα【题型5同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角α的终边经过点P(4(1)求sin((2)求sin3【解题思路】（1）利用三角函数定义求出sinα,（2）求出tanα【解答过程】（1）依题意，r=OP=(45)2所以原式=sin（2）由（1）知，tanα=−所以原式=sin【变式5-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）在①4sin(2023π+α)=3cos(2024π+α)；②已知第四象限角α满足__________，求下列各式的值.(1)4(2)sin【解题思路】（1）选条件①时，根据诱导公式，将原式化简，得到tanα=−34；选条件②，根据同角三角函数基本关系，求出tanα=−34；选条件③时，根据角的终边对称，得到（2）先将所求式子化为sin2【解答过程】（1）选①，4sin得−4sinα=3cos则4sin选②，α是第四象限角，所以sinα<0，cos又sinα+cosα=可得cosα=45，sin则4sin选③，α是第四象限角，则sinα<0，cos又因为α，β的终边关于x轴对称，则sinα=−sinβ又因为4sin所以−4sinα=3cos则4sin（2）由上可知选择①、②、③都可得tanα=−sin=916−【变式5-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数f(1)化简fα(2)若fα=−15，求(3)若α∈−π6【解题思路】（1）由诱导公式化简即可得出答案；（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；（3）由已知求出sinα+π6=1【解答过程】（1）f（2）因为fα=sin当α为第三象限角时，cosα=−当α为第四象限角村，cosα=（3）因为fα=sincoscos因为α∈−π6故cos5因此cos2【变式5-3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点Pm,32，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B(1)求4sin(2)记点B的横坐标为fθ，若fθ−π【解题思路】（1）由题意可得cosα=（2）由题意可得：fθ=cos【解答过程】（1）由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m=1所以cosα=所以4=4（2）由（1）可知cosα=12，且α根据三角函数定义可得：fθ因为fθ−π6因此θ+π6所以cos==15一、单选题1．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知tanα=2，则5sinα+A．13 B．113 C．5【解题思路】根据切弦互化法计算即可求解.【解答过程】因为tanα=2所以5sin故选：B．2．（2024·湖北荆州·三模）已知sinθ+cosθ=713A．1713 B．713 C．±17【解题思路】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【解答过程】由sinθ+cosθ=可得2则sinθ−因为2sinθcosθ=−120169<0当θ为第二象限角时，可得sinθ−当θ为第四象限角时，可得sinθ−故选：C.3．（2024·浙江·模拟预测）已知α∈0,π2，sinα−πA．−223 B．223 【解题思路】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.【解答过程】cosα+故选：C.4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知sin3π2+α=32A．−3 B．−33 C．【解题思路】由诱导公式可得cosα=−32，根据平方关系sin【解答过程】由诱导公式得sin(所以cosα=−又因为α∈(π所以sinα=所以tanα=故选：B.5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知sin2π7+α=A．−15 B．±26 C．2【解题思路】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为sin2所以cos3则sin3所以tan3故选：B.6．（2024·青海西宁·二模）已知sinα+cosα=3cosαA．−35 B．−45 C．【解题思路】根据题意可得tanα=12【解答过程】因为sinα+cosα=3可得cos2所以cos2故选：A.7．（2024·辽宁·三模）已知tanα=12，则sinA．−1 B．1 C．−3 D．3【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.【解答过程】sinα+故选：D.8．（2023·山西·模拟预测）已知α,β,γ均是锐角，设sinαcosβ+sinβcosγ+A．3 B．1513 C．1 D．【解题思路】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得tanθ=32【解答过程】由基本不等式可得sinαcosβ≤sin2三式相加，可得sinα当且仅当α,β,γ均为π4所以tanθ=则sinθ(故选：B.二、多选题9．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角 α 的终边与单位圆交于点35,yA．109 B．−109 C．−【解题思路】点35,y0代入单位圆的方程求出点【解答过程】∵角 α 的终边与单位圆交于点∴925+y0当tanα=43当tanα=−43故选：AC.10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（

）A．若角α的终边过点P12,3B．若cosα+πC．若tanα=2，则D．若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad【解题思路】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.【解答过程】因为角α的终边过点P1所以由三角函数的定义知tanα=3，所以角α的终边与所以角α的集合是αα=因为sinα+因为sin2设扇形的半径为r，圆心角为α，因为扇形所对的弧长为l=αr=2r，所以扇形周长为l+2r=2r+2r=4r=8，故r=2cm故选：ABC.11．（2024·辽宁·模拟预测）设α为第一象限角,cosα−π8A．sinB．cosC．sinD．tan【解题思路】首先由题意得α−π8是第一象限角,所以【解答过程】由题意得2kπ则2kπ若α−π8在第四象限,则所以α−π8也是第一象限角,即sinα−cosα+sin13tanπ故选:BD.三、填空题12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角α的终边经过点P−1,2，则cosπ+α的值为【解题思路】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果．【解答过程】因为角α的终边过点P(1,−2)，所以r=|OP|=(−1)所以cosα=xr故答案为：5513．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知sinθ−2cosθsinθ+cos【解题思路】利用同角三角函数之间的基本关系可得sinθ=−4【解答过程】由sinθ−2cosθsinθ+所以sin=将tanθ=−4代入计算可得−63+即sin3故答案为：4713514．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若cosx−70°=15，则sin【解题思路】利用角的变换，以及诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.【解答过程】sinx+因为x是第二象限角，若cosx−70∘所以sinx−所以sinx+故答案为：−2四、解答题15．（2024·福建三明·模拟预测）已知fx（1）求fπ（2）若fα=1，且α是第三象限角，求【解题思路】（1）首先利用诱导公式，以及利用齐次分式化简为正切形式，再代入x=π3求值；（2）根据（1）的结果，解方程，求得tanα=2【解答过程】解：（1）因为fx所以fπ（2）由fα=1，得tanα+1又tanα=sinαcosα所以tanα=2,16．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练