专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题5.2平面向量基本定理及坐标表示【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面向量基本定理的应用】 3【题型2利用平面向量基本定理求参数】 6【题型3平面向量的坐标运算】 8【题型4利用向量共线求参数】 9【题型5利用向量共线求向量或点的坐标】 11【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 121、平面向量基本定理及坐标表示考点要求真题统计考情分析(1)了解平面向量基本定理及其意义

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件2022年全国乙卷（文数）：第3题，5分2022年新高考全国I卷：第3题，5分2023年天津卷：第14题，5分2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分2024年上海卷：第5题，5分平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.【知识点1平面向量基本定理的探究】1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.(2)定理的实质由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.2．应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点2平面向量坐标运算及其解题策略】1．平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.

显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)点的坐标与向量的坐标的关系区别表示形

式不同向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.意义

不同点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).联系向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.2．平面向量线性运算的坐标表示(1)两个向量和（差）的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.3．共线的坐标表示(1)两向量共线的坐标表示设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量，(≠0)共线的充要条件是-=0.(2)三点共线的坐标表示若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，

​​​​​​​从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.4．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【方法技巧与总结】1．若与不共线，且，则.2．已知P为线段AB的中点，若A(,)，B(,)，则P点坐标为.3．已知△ABC的重心为G，若A(,)，B(,)，C(,)，则G.【题型1平面向量基本定理的应用】【例1】（2024·山东潍坊·二模）在△ABC中，BD=13BC，点E是AD的中点，记AB=a，AC=b，则BE=（

）A．−13a+13b B．【解题思路】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用AB、AC表示出BE即可.【解答过程】由题设BE=所以BE=−故选：B.【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，点D在边AB上且满足ADDB=2，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则BF=A．BA+2BC B．−BA+2BC 【解题思路】根据A，C，F三点共线及D，E，F三点共线，结合平面向量基本定理用BA和BC表示出BF，然后根据向量相等即可得解．【解答过程】

由题，A，C，F三点共线，则BF=λD，E，F三点共线，则BF=μ∴λ=μ31−λ=∴BF=−故选：B.【变式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四边形ABCD，若点M是边BC的三等分点（靠近点B处），点N是边AB的中点，直线BD与MN相交于点H，则BHBD=（A．23 B．25 C．15【解题思路】设BM=a,BN=b，设BH=λ【解答过程】

设BM=a,BN=设BH=λBD，则BH=3λa+2λ因为BH=所以3λ=1−μ2λ=μ，解得λ=所以BH=15故选：C.【变式1-3】（2023·湖南娄底·三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为5−12.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且点E为线段BO的黄金分割点，则BF=

A．3−52BAC．5−12BA【解题思路】由题意得BE=5−12BO【解答过程】由题意得BE=5−12BO同理有AF=5−1所以BG=2−5因为BF=BA所以BF=故选：D.【题型2利用平面向量基本定理求参数】【例2】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且CD=DA，AP=23A．16 B．13 C．23【解题思路】依题意可得AC=2AD，即可得到AP=【解答过程】因为CD=DA，所以AD=又AP=23因为点P是线段BD上一点，即B、P、D三点共线，所以23+2λ=1，解得故选：A.【变式2-1】（2024·陕西榆林·三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若CP=xCA+yCB，则A．34 B．−34 【解题思路】利用向量的线性运算，得CP=CE+【解答过程】∵A､P､则CP=又∵CP=xCA+yCB故选：C.【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．4【解题思路】表达出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.【解答过程】由题意及图可得，∵BP=λ∴AP=∵AN=t∴AN=tt+1∵AP=∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=1故选：C．【变式2-3】（2024·河南商丘·三模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若BF=xAB+yAC，则A．−1 B．−34 C．−1【解题思路】由题意推出DE∥AC，可得DFFC=DEAC=14，推出DF【解答过程】连结DE，由题意可知，BDBA所以DE∥AC，则所以DFFC=DEAC=则DF=故BF=又BF=xAB+yAC，所以x=−2故选：A.【题型3平面向量的坐标运算】【例3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy内，已知点A−1,1,AB=1,−2A．2,−3 B．0,−1 C．−2,3 D．0,1【解题思路】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，即可求解.【解答过程】因为点A−1,1,AB可得OB=故选：B．【变式3-1】（2024·河南·模拟预测）已知向量AB=2,−1，AC=3,2，点C−1,2A．−2,−1 B．0,5 C．2,−5 D．2,−1【解题思路】由向量坐标的线性运算求解即可.【解答过程】由题意得，CB=设点B的坐标为(x,y)，则CB=(x+1,y−2)=(−1,−3)，所以点B的坐标为(−2,−1)故选：A.【变式3-2】（2023·宁夏银川·二模）已知向量a=2,−3，b=1,2，c=9,4，若A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】由向量的坐标运算计算即可.【解答过程】由题意，得c=所以2m+n=9−3m+2n=4，解得m=2所以m+n=7.故选：C.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）在菱形ABCD中，AB=BD，点E是线段CB上靠近B的三等分点，点F是线段AB上靠近B的四等分点，则DC=（

A．65AE+C．45AE+【解题思路】建立平面直角坐标系后计算即可得.【解答过程】作出图形如图所示.记线段AC,BD交于点O，分别以AC,BD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系.设AB=BD=2，则A−3,0故DC=3,1,AE则3=43故选：C.

【题型4利用向量共线求参数】【例4】（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量a=1,k−12，b=2,kA．−2 B．−1 C．2 D．1【解题思路】利用向量平行得到方程，求出答案.【解答过程】a//b，故k2故选：D.【变式4-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量a=m,2m+3，b=1,4m+1，则“m=−34”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解题思路】根据向量共线的坐标关系运算求出m的值，判断得解.【解答过程】向量a=m,2m+3，若a与b共线，则m4m+1−2m+3=0.解得所以“m=−34”是“a与故选：A.【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=1,−1,b=−1,2,c=A．3 B．13 C．−13【解题思路】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件计算即可.【解答过程】由题意可知，na+b因为na+b整理得n=3m，即nm故选:A．【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）已知平面向量a=2λ2+1,λ，b=μ,1，其中λ>0A．22,+∞ B．2,+∞ C．【解题思路】根据向量平行，得到μ=2【解答过程】由题意，因为a//b，所以λμ=2λ所以μ=2λ2+1λ故选：A.【题型5利用向量共线求向量或点的坐标】【例5】（2024·河北邯郸·三模）已知向量a=(m,2)与b=(−2,−4)共线，则3aA．(1,10) B．(5,10) C．(5,2) D．(1,2)【解题思路】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.【解答过程】因为a//b，所以(−4)×m=2×(−2)，解得所以3a故选：B.【变式5-1】（2024·四川广安·二模）已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若DE=3,4，B−2,−3，则点CA．4,5 B．1,1 C．−5,−7 D．−8,−11【解题思路】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.【解答过程】因为D，E分别为AB，AC的中点，所以BC⃗设Cx,y，又B−2,−3即x+2=6y+3=8，解得x=4故选：A.【变式5-2】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点A1,3，Bm−5,1，C3,m+1，若A，B，C三点共线，则ABA．−2，2 B．2，−2 C．2，【解题思路】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解.【解答过程】由题意可知AB=m−6,−2,AC=2,m−2,由于A，B所以m−6m−2所以AB=故选：D.【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·一模）设向量a=2,−1，b=m,2，若向量a与a−A．−2,1 B．−2,−1 C．−4,2 D．−2,−4【解题思路】由向量共线的坐标运算求出m的值，再由向量线性运算的坐标表示求a+【解答过程】向量a=2,−1，b=若向量a与a−b共线，有2×−3=−2−m所以a+故选：A.【题型6\t"/gzsx/zj168403/_blank"\o"由向量线性运算解决最值和范围问题"由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】【例6】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若AP=λAB+μAD(λ,μ∈A．3 B．5 C．52 【解题思路】构建直角坐标系，令AP=(cosθ,sinθ)【解答过程】构建如下直角坐标系：AB=(0,1),AD=(2,0)，令AP由AP=λAB+μ则λ+μ=sinθ+cos所以当sin(θ+φ)=1时，λ+μ的最大值为5故选：C.【变式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC//AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动（如图所示），若A．−2,1 B．−2,2 【解题思路】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP=λED+μAF得到cosα【解答过程】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则A0,0，E1,0，D0,1，C1,1，则F32,12，AP∵AP=∴cosα∴cosα=−λ∴λ=14∴2λ∵−π2≤α≤∴−2≤2sinα故选：A.【变式6-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上移动，设AP=λAD+μAB(λ,μ∈R)，则λ【解题思路】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出Px,y，求出三个向量的坐标，用P的坐标表μ,λ，则λμ=2⋅yx=2⋅y−0【解答过程】解：以A为原点，分别以AB,AD方向为x,y轴，建立如图所示直角坐标系：所以A0,0，B2,0，C1,1，D0,1，所以因为圆C与直线BD相切，而lBD:x+2y−2=0，圆心所以半径r=15=55设Px,y,则AP=x,y，又AP所以x,y=2μ,λ，则x=2μ,y=λ所以λμ=2⋅yx=2⋅y−0x−0因为动点P在圆C上移动，所以直线AP:y=kx与x−12则圆心C1,1到y=kx的距离为解得:12≤k≤2所以1≤λμ≤4故答案为：4．【变式6-3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在BC上，且AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为【解题思路】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设Pcosθ,sinθ，【解答过程】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设Pcosθ,又A−1,2则AP=∵AP=λ∴cos解得μ=cosλ+μ=2−因为θ∈π,2π所以当θ+π4=2则λ+μ的最大值为3+2故答案为：3+2一、单选题1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量e1、e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（A．2e1+e2和e1C．3e1−e2和2e【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【解答过程】对A：不存在实数λ，使得2e故2e1+对B：不存在实数λ，使得e1故e1+3e对C：对3e1−e2且存在实数−2，使得2e故3e1−对D：不存在实数λ，使得e1=λe1+故选：C.2．（2024·陕西渭南·二模）已知向量a=t−3,−1，b=2,t，则“t=2”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量平行的坐标运算得到方程，求出t=1或2，从而结合充分条件、必要条件判断出结论.【解答过程】若a∥b，则tt−3故“t=2”是“a∥故选：A.3．（2024·山西吕梁·三模）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=A．12AB+C．12AB+【解题思路】取AC,【解答过程】在△ABC中，取AC,则AC=因为点D,E分别为AB,BC的中点，DF=3所以EF=所以AF=故选：B.4．（2024·全国·模拟预测）已知M4,−2，N−6,−4，且MP=−12A．1,1 B．9,−1 C．−2,2 D．2,−1【解题思路】由M,N的坐标得出−12MN，设点Px,y，得出【解答过程】因为M4,−2，N所以−1设Px,y，则MP又MP=−所以x−4=5y+2=1，解得x=9所以点P的坐标为9,−1．故选：B．5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若BD=2DA−3DC，且AC=A．4,−2 B．−4,2 C．6,−3 D．−6,3【解题思路】由已知整理可得AB=3【解答过程】由BD=2DA−3DC得BD+又AC=−2,1，所以故选：D．6．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA，若AB=λAD+μA．12 B．14 C．−1【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将AB用AD,BE表示出来，从而可求出【解答过程】因为点D为线段BC的中点，点E满足CE=2所以AD=12消去AC，得2AD所以AB=所以λ=12，μ=−3故选：D．7．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a∥b且A．2+1 B．2+2 C．4 【解题思路】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出x2【解答过程】∵a=1,1，b=2x+y,2，其中∴2x+y=2，∴x2当且仅当y=2x即∴x2+yxy故选：A.8．（2024·江苏南通·二模）如图，点C在半径为2的AB上运动，∠AOB=π3若OC=mOA+nA．1 B．2 C．233 【解题思路】建立适当的坐标系，设∠AOC=α，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.【解答过程】以O为原点､OA的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则有OA=(2,0)，OB设∠AOC=α，则OC=(2由题意可知2m+n=2所以m+n=cos因为α∈0,π3故m+n的最大值为23故选：C.二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知向量a=(1,2),b=(−2,1).若(xa−A．−1 B．0 C．1 D．2【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示列式计算即得.【解答过程】向量a=(1,2),b=(−2,1)，则x由(xa−b)//(a所以x=−1或x=1.故选：AC.10．（2023·广东梅州·三模）如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD=12AB，E，F分别为DC，AE

A．λ=72 C．λ=74 【解题思路】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.【解答过程】因为CD∥AB，CD=1因为F为AE的中点，所以AE=2所以AD=2AB+2BF−可知：AD错误，BC正确.故选：BC.11．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，BM=λBE+μA．当M为线段AD上的中点时，λ+μ=B．λμ的最大值为1C．μ的取值范围为0,1D．λ+μ的取值范围为1【解题思路】以B为原点，BC,BA为【解答过程】以B为原点，BC,BA为x,y轴正方向建立平面直角坐标系，设则B0,0设Mt,2，则0≤t≤2因为BM=λBE+μ所以2μ=t,λ+2μ=2，即λ=2−t,μ=t对于选项A，因为M为线段AD上的中点，所以t=1，故λ+μ=2−1对于选项B，λμ=2−tt2=t−12t2，对于选项C，因为μ=t2，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为对于选项D，λ+μ=2−t2，0≤t≤2，所以1≤λ+μ≤2，所以λ+μ的取值范围为故选：ABC.三、填空题12．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形ABCD中，E为BC中点，AE与BD交于点F，若将AB=a，AD=b作为平面向量的一个基，则向量AF可表示为1

【解题思路】先利用平行线的性质求出AFEF【解答过程】由已知AD//BE，则AFEF所以AF=2所以AF=故答案为：1313．（2024·陕西西安·二模）向量AB=(−3,6)，AC=(m,5)，CD=(−1,4)．若−72【解题思路】根据平面向量共线的坐标表示计算即可.【解答过程】由题意易得AD=若A,B,D三点共线，则有AB//AD，所以故答案为：−714．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=λAB+μAE，则【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论P∈AB,P∈BC,P∈CD,P∈DA四种情况，即可求出λ+μ的取值范围.【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：则B1,0,E−2,1当P∈AB时，有0≤λ−2μ≤1μ=0，即0≤λ≤1,μ=0，此时λ+μ的取值范围为0,1当P∈BC时，有λ−2μ=10≤μ≤1，即1≤λ+μ=λ−2μ+3μ=1+3μ≤4，此时λ+μ当P∈CD时，有0≤λ−2μ≤1μ=1，即3≤λ+μ=λ−2μ+3μ=λ−2μ+3≤4当P∈DA时，有λ−2μ=00≤μ≤1，即0≤λ+μ=λ−2μ+3μ=3μ≤3，此时λ+μ综上所述，λ+μ的取值范围为0,4.故答案为：0,4.四、解答题15．（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知A0,1，B3,2，(1)若AB−2AC=m,n，求(2)若AD=2AB+4【解题思路】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得AB−2（2）设Dx,y，根据平面向量线性运算的坐标表示和AD=2AB+4AC建立关于【解答过程】（1）依题意得AB=3,1，则−2AC=2,−8所以m=5，n=−7．（2）由（1）知2AB=6,2，4设点D的坐标为x,y，则AD=因为AD=2AB+4AC，所以所以x=2，y=19，故点D的坐标为2,19．16．（23-24高一下·浙江