湘教 数学 八上 第2章 三角形《三角形》课件

2.1三角形第二章三角形学习目标课时讲解1三角形的定义等腰三角形及相关概念三角形的三边关系三角形的三条重要线段三角形的内角和三角形按角分类三角形的外角逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知1－讲感悟新知知识点三角形的定义11.三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形的表示法：三角形可用符号“△”表示，如图2.1-1中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排感悟新知知1－讲特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次相接.感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)顶点：如图2.1-1，点A，B，C叫作△ABC

的顶点.(2)内角：如图2.1-1，∠A，∠B，∠C

叫作△ABC

的内角.(3)边：如图2.1-1，线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.知1－讲感悟新知知1－讲2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示.知1－练感悟新知[母题教材P44练习T1]如图2.1-2，在△ABC

中，D，E

分别是BC，AC

上的点，连接BE，AD交于点F.(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF

的三个顶点，三条边，三个内角分别是什么？(3)以AB

为边的三角形有哪些？(4)以∠C

为内角的三角形有哪些？例1知1－练感悟新知解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.(1)图中共有多少个三角形？请写出来.(2)△BDF

的三个顶点，三条边，三个内角分别是什么？知1－练感悟新知解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.知1－练感悟新知解：以AB

为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.(3)以AB

为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？以∠C

为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－练感悟新知1-1.如图所示，图中有_______个三角形；其中以AB

为边的三角形有_______________________

；含∠ACB的三角形有______________

；在△BOC

中，OC

的对角是________，∠OCB

的对边是________

．8△ABO，△ABC，△ABD△BOC，△ABC∠OBCOB感悟新知知2－讲知识点等腰三角形及相关概念21.等腰三角形：两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.(如图2.1-3)三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)，它是腰和底边相等的等腰三角形.感悟新知知2－讲

知2－讲感悟新知特别提醒◆等腰三角形中有关边、角的名称与三角形的摆放位置无关.◆等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，而底角只能是锐角.感悟新知知2－练若△ABC

的三边长分别为a，b，c，试判断△

ABC的形状.(1)三边长满足(a

－b)2+|b

－c

|=0；(2)三边长满足(a

－b)(b

－c)=0.例2

知2－练感悟新知解题秘方：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等”来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解决本题的关键.解：因为(a

－b)2+|b

－c|=0，所以a

－b=0，b

－c

=0.所以a=b=c.所以△ABC

为等边三角形.(1)三边长满足(a

－b)2+|b

－c

|=0；知2－练感悟新知解：因为(a

－b)(b

－c)=0，所以a

－b=0或b

－c=0.所以a=b

或b=c.所以△ABC

为等腰三角形.(2)三边长满足(a

－b)(b

－c)=0.知2－练感悟新知方法点拨：从边的角度判断三角形的形状,若只能判断出有两条边相等则此三角形是等腰三角形；若能判断出三边相等,则此三角形是等边三角形.知2－练感悟新知2-1.有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形.其中正确的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个C感悟新知知3－讲知识点三角形的三边关系31.三角形的三边关系：文字语言数学语言图形三角形的任意两边之和大于第三边a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意两边之差小于第三边a－b<c，b－c<a，a－c<b(a>b>c)

感悟新知知3－讲2.拓展：已知三角形两条边的长分别为a，b，求第三条边的长c的取值范围.根据三角形的三边关系,可知第三条边的长c

的取值范围是｜a

－b｜<c<a＋b.知3－讲感悟新知特别提醒若两条较短的线段之和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；反之则不能组成三角形.知3－练感悟新知[期中·武汉青山区]用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边；若不能，请说明理由．例3解题秘方：紧扣“长为4cm的边的可能性(腰或底边)”进行分类解答.知3－练感悟新知解：能．当腰为4cm时，底边长为20－4－4＝12(cm)

.因为4+4＝8＜12，不符合三角形三边的关系，故舍去.当底边长为4cm时，腰长为12×(20－4)

＝8(

cm)，此时三角形的三边长为4，8，8，符合三角形的三边关系.综上所述，能围成有一边的长是4cm的等腰三角形，另两边长分别是8cm，8cm．得出边长后，必须根据三角形的三边关系进行验证知3－练感悟新知3-1.小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m

米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米.(1)请用含m

的式子表示第三条边长.解：由题可知，第二条边长为(2m－3)米，所以第三条边长为32－m－(2m－3)＝(35－3m)(米)．知3－练感悟新知(2)第一条边长能否为10米？为什么？解：不能．理由：当m＝10时，三角形的三边长分别为10米，17米，5米．因为10＋5＝15(米)＜17米，所以不能构成三角形．所以第一条边长不能为10米．感悟新知知4－讲知识点三角形的三条重要线段4三角形的高线三角形的角平分线三角形的中线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段图形语言

感悟新知知4－讲符号语言(1)AD是△ABC的高；(2)

AD

是△ABC的BC

边上的高；(3)

AD⊥BC

于点D；(4)∠ADC=90，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD

是△ABC

的角平分线；(2)

AD

平分∠BAC，交BC

于点D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD

是△ABC的中线；(2)

AD是△ABC的边BC

上的中线；(3)

BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC）；(4)点D

是BC

边的中点推理语言因为AD

是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因为AD

是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因为AD

是△ABC的中线，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)

感悟新知知4－讲

用途举例(1)线段垂直；(2)角度相等角度相等(1)线段相等；(2)面积相等注意事项(1)与边的垂线可能不同；(2)不一定在三角形内(1)与角的平分线不同；(2)一定在三角形内部一定在三角形内部重要特征三角形的三条高所在的直线交于一点一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点三角形的三条中线相交于一点，这三条中线的交点叫作三角形的重心

知4－讲感悟新知拓展1.三角形三条高所在的直线的交点叫作三角形的垂心.2.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.3.三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念：三角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线

.感悟新知知4－练如图2.1-5.(1)在△ABC

中，BC

边上的高是_____．(2)在△AEC

中，AE

边上的高是_____．(3)在△FEC

中，EC

边上的高是_______

.(4)若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△AEC=_____cm2，CE=_____cm．例4

ABCDEF33知4－练感悟新知解题秘方：(1)(2)(3)紧扣“三角形高的定义”进行判断；(4)分清某条底边上的高的“对应”关系，利用三角形的面积公式进行计算.知4－练感悟新知

知4－练感悟新知4-1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD

⊥AB

于点D，AC

=5，BC

=12，AB=13，则CD=_______．知4－练感悟新知方法点拨找三角形某边上的高的方法：1.找出该边所对的顶点；2.过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高.感悟新知知4－练[母题教材P48练习T2]如图2.1-6，在△ABC中，BD

是△ABC

的角平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC

＝_____

°．例540知4－练感悟新知解题秘方：本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC

是解题关键.

知4－练感悟新知

D感悟新知知4－练[母题教材P49习题T3]如图2.1-7，在△ABC

中，AD，BE分别是△ABC，△ABD

的中线.(1)若△ABD

与△ADC

的周长之差为3，AB=8，求AC的长.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.例6

知4－练感悟新知解题秘方：利用由中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.知4－练感悟新知解：因为AD为BC

边上的中线，所以BD=CD.所以△ABD

与△ADC的周长之差=(

AB+AD+BD)－(

AC+AD+CD)

=AB

－AC.因为△ABD

与△ADC

的周长之差为3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5.(1)若△ABD

与△ADC

的周长之差为3，AB=8，求AC的长.知4－练感悟新知

(2)若S△ABC=8，求S△ABE.知4－练感悟新知6-1.已知BD

是△ABC的中线，AB=5，BC=3，且△ABD的周长为12，则△BCD

的周长是______

.10感悟新知知5－讲知识点三角形的内角和51.三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°.知5－讲感悟新知特别解读三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.感悟新知知5－讲2.证明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图2.1-8①②.思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图2.1-9①②.知5－讲感悟新知特别提醒主要是利用平行线作为桥梁，先将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这一个角或两个角的和是180°即可.知5－练感悟新知在△ABC

中，已知∠B

是∠A

的3倍，∠C比∠A

大10°，求∠A的度数．例7知5－练感悟新知解题秘方：紧扣“三角形的内角和等于180°”建立方程求解.解：设∠A

＝x，则∠B

＝3x，∠C

＝x+10°.因为∠A+∠B+∠C

＝180°，所以x+3x+x+10°＝180°，解得x

＝34°.所以∠A=34°.知5－练感悟新知三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程（组）求解.知5－练感悟新知7-1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4.求∠A，∠B，∠C的度数.知5－练感悟新知

[期中·邯郸]如图2.1-10，它是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA

与CB相交成40°角，现测得∠A＝145°，∠B＝75°，∠C

＝85°，∠D

＝55°，就断定这个模板是合格的.为什么？例8

知5－练感悟新知解题秘方：建立三角形模型，利用三角形内角和求出角度，再用三角形内角和进行验证.解：如图2.1-10，延长DA，CB，相交于点F，因为∠C+∠ADC

＝85°+55°＝140°，所以∠F

＝180°－140°＝40°.如图2.1-10，延长BA，CD，相交于点E，因为∠C+∠ABC=85°+75°=160°，所以∠E

＝180°－160°＝20°.故合格．知5－练感悟新知8-1.如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B

和C

处开工挖出“V”字形通道，若∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是(

)A．65°B．80°C．85°D．90°A感悟新知知6－讲知识点三角形按角分类6

知6－讲感悟新知特别提醒等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形或钝角三角形.感悟新知知6－讲2.

直角三角形的相关概念：直角三角形可用符号“Rt△”来表示.例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.感悟新知知6－练根据下列所给条件，判断△ABC

的形状.(1)∠A=45°，∠B=65°；(2)∠C=120°；(3)∠C=90°；(4)

AB=BC=4，AC=5.例9解题秘方：根据三角形的分类方法进行判断.知6－练感悟新知解：因为∠A=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°.所以∠A<∠B<∠C<90°.所以△ABC是锐角三角形.(1)∠A=45°，∠B=65°；(2)∠C=120°；因为∠C=120°>90°，所以△ABC

是钝角三角形.知6－练感悟新知解：因为∠C=90°，所以△ABC

是直角三角形.(3)∠C=90°；(4)

AB=BC=4，AC=5.因为AB=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形.知6－练感悟新知

解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.所以∠C＝3x＝90°.

所以△ABC是直角三角形．感悟新知知7－讲知识点三角形的外角71.定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.知7－讲感悟新知特别解读1.位置：在三角形的外部.2.与相邻内角是邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角，且两个外角互为对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角．感悟新知知7－讲2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)

已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间量证明两个角相等.感悟新知知7－讲3.拓展性质：(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.(2)三角形的外角和等于360°.知7－练感悟新知如图2.1-12，CE

是△ABC的外角∠ACD

的平分线，且CE

交BA的延长线于点E．例10知7－练感悟新知(1)若∠B

＝35°，∠E

＝25°，求∠BAC

的度数；解：因为∠B

＝35°，∠E

＝25°，所以∠ECD＝∠B+∠E

＝60°.因为CE

平分∠ACD，所以∠ACE

＝∠ECD

＝60°.所以∠BAC

＝∠ACE+∠E

＝85°.解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠BAC

转化为∠E+∠ACE

进行求解；知7－练感悟新知(2)试说明：∠BAC

＝∠B+2∠E．解：因为∠ECD

＝∠ACE，所以∠BAC

＝∠E+∠ACE

＝∠E+∠ECD.因为∠ECD

＝∠B+∠E，所以∠BAC

＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．解题秘方：将∠BAC

和∠ECD利用外角的性质表示为两个角的和，再利用等量代换得出结论．知7－练感悟新知方法技巧：从相对复杂的图形中，找出包含外角的三角形，以便于应用三角形的外角的性质.知7－练