线性代数-线性方程组与矩阵课件

线性方程组与矩阵01目录/Contents1.11.21.31.4矩阵的概念及运算分块矩阵线性方程组与矩阵的初等变换初等矩阵与矩阵的逆矩阵目录/Contents1.1矩阵的概念及运算一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法四、矩阵的转置一、矩阵的定义一、矩阵的定义定义1元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵本书除特别指明外，都是指实矩阵.称为复矩阵.一、矩阵的定义01OPTION02OPTION03OPTION一、矩阵的定义一、矩阵的定义一、矩阵的定义定义21.矩阵的加法矩阵的加法满足如下的运算规律：二、矩阵的线性运算123定义31.矩阵的加法矩阵的数乘运算满足如下的运算规律：矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算.2.矩阵的数乘123456定义42.矩阵的数乘例1解三、矩阵的乘法定义5三、矩阵的乘法例2解三、矩阵的乘法注意：例3解三、矩阵的乘法54321三、矩阵的乘法证明三、矩阵的乘法例4三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法例5四、矩阵的转置定义61234四、矩阵的转置例6四、矩阵的转置定义7AB四、矩阵的转置例7证明目录/Contents1.11.21.31.4矩阵的概念及运算分块矩阵线性方程组与矩阵的初等变换初等矩阵与矩阵的逆矩阵目录/Contents1.2分块矩阵一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念矩阵的按列分块一、分块矩阵的概念按列分块按列分块一、分块矩阵的概念二、矩阵的线性运算二、矩阵的线性运算例1解二、矩阵的线性运算二、矩阵的线性运算二、矩阵的线性运算例2解二、矩阵的线性运算二、矩阵的线性运算例3二、矩阵的线性运算例4证明目录/Contents1.11.21.31.4矩阵的概念及运算分块矩阵线性方程组与矩阵的初等变换初等矩阵与矩阵的逆矩阵目录/Contents1.3线性方程组与矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、求解线性方程组求解线性方程组例1解线性方程组对应的增广矩阵一、矩阵的初等变换交换方程组的第一个方程和第二个方程对应的增广矩阵正好是交换第一行和第二行1把方程组的第一个方程乘以-2加到第二个方程和第三个方程上对应的增广矩阵正好是把第一行的每个元素乘以

-2分别加到第二行、第三行对应位置的元素上2一、矩阵的初等变换第二个方程乘以-1加到第三个方程上，第三个方程乘以-1对应的增广矩阵正好是把第二行的每个元素乘以-1加到第三行对应位置的元素上，第三行每个元素乘以-13第三个方程乘以2

加到第二个方程上，第二个方程乘以

4对应的增广矩阵正好是把第三行的每个元素乘以2加到第二行对应位置的元素上，第二行每个元素乘以行阶梯形矩阵一、矩阵的初等变换第三个方程乘以-1加到第一个方程上，第二个方程乘以1加到第一个方程上对应的增广矩阵正好是把第三行的每个元素乘以-1，第二行的每个元素乘以

1，都加到第一行对应位置的元素上5

最后一个方程组有唯一解，它和原方程组是同解方程组，所以原方程组有唯一解：

,,,行最简形矩阵一、矩阵的初等变换上面解方程组的过程中，我们主要用到了下列三种方程之间的变换：（1）交换两个方程；（2）一个方程乘上一个非零数；（3）一个方程乘上一个非零数加到另一个方程上.而从此例看到，对方程组实施上面三种变换，等价于对方程组的增广矩阵的行实施了类似地三种变换，即交换两行、某一行乘以一个非零数（即某一行的每个元素都乘以同一个数）、某一行的倍加到另一行上（即某一行的每个元素都乘以数，再加到另一行的对应元素上）.一、矩阵的初等变换由此可见，对矩阵实施这些变换是十分必要的，为此，我们引入如下定义：将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用

表示将矩阵第

行的

倍加到第

行.称为矩阵的初等行变换定义1下面三种矩阵的变换：一、矩阵的初等变换321交换矩阵的某两行，我们用表示交换矩阵的第、两行；矩阵的某一行乘以非零数，用

表示矩阵的第

行元素乘以非零数

；将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“r”换成“c”，就得到了矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换是；变换的逆变换是.显然，三种初等行（列）变换都是可逆的（简单的说，就是变换可以还原的），它们的逆变换分别为：一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换例201OPTION02OPTION03OPTION04OPTION试用矩阵的初等行变换将矩阵

先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵.例3解行阶梯形矩阵一、矩阵的初等变换行最简形矩阵

对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵.

例如，将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换最后一个矩阵

称为矩阵

的标准形，写成分块矩阵的形式，则有一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换01OPTION02OPTION03OPTION04OPTION一、矩阵的初等变换123二、求解线性方程组04OPTION以首元为系数的未知量作为固定未知量，留在等号的左边，其余的未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未知量为任意常数，从而求得线性方程组的解.写出线性方程组的增广矩阵

；01OPTION02OPTION对

实施初等行变换，化为行最简形矩阵

；03OPTION写出以

为增广矩阵的线性方程组；二、求解线性方程组解方程组例4解对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，二、求解线性方程组从而原方程组等价于令

，移项，得原方程组的解为：，其中

为任意常数二、求解线性方程组二、求解线性方程组例5解二、求解线性方程组01OPTION02OPTION03OPTION二、求解线性方程组证明二、求解线性方程组二、求解线性方程组二、求解线性方程组例6解二、求解线性方程组解方程组例7解二、求解线性方程组目录/Contents1.11.21.31.4矩阵的概念及运算分块矩阵线性方程组与矩阵的初等变换初等矩阵与矩阵的逆矩阵目录/Contents1.4初等矩阵与矩阵的逆矩阵一、方阵的逆矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵与逆矩阵的应用一、方阵的逆矩阵定义1一、方阵的逆矩阵1234一、方阵的逆矩阵例1一、方阵的逆矩阵例2定义2对

阶单位矩阵

实施一次初等变换得到的矩阵称为

阶初等矩阵.由于初等变换有三种,对

阶单位矩阵

实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类：交换单位阵

的第

行和第

行，或交换

的第

列和第

列，得到的初等矩阵记为

.

即（1）二、初等矩阵（2）（3）将单位阵

的第

行乘以

加到第

行（或将单位阵

的第

列乘以

加到第

列）得到的矩阵记为

.即用非零的数

乘单位阵

的第

行或第

列得到的初等矩阵记为

.

即二、初等矩阵初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵，

即：命题1，，二、初等矩阵命题2设

是一个

矩阵，对

施行一次初等行变换，相当于在

的左边乘以相应的

阶初等矩阵；对

施行一次初等列变换，相当于在

的右边乘以相应的

阶初等矩阵.二、初等矩阵二、初等矩阵例3解二、初等矩阵例3解三、初等矩阵与逆矩阵的应用定理1123证明三、初等矩阵与逆矩阵的应用三、初等矩阵与逆矩阵的应用三、初等矩阵与逆矩阵的应用首先构造分块矩阵

；01OPTION02OPTION对矩阵

实施初等行变换，将

化为行最简形矩阵；03OPTION

如果

不能行等价于

，则矩阵

不可逆；若

能行等价于

，则

可逆，且

就行等价于

.判别矩阵是否可逆，并在可逆时求的具体步骤为：三、初等矩阵与逆矩阵的应用例4解（1）判断下列矩阵是否可逆？若可逆则求其逆矩阵.三、初等矩阵与逆矩阵的应用解（2）例4判断下列矩阵是否可逆？若可逆则求其逆矩阵.三、初等矩阵与逆矩阵的应用所以矩阵可逆,并且三、初等矩阵与逆矩阵的应用三、初等矩阵与逆矩阵的应用首先构造分块矩阵

；01OPTION02OPTION对矩阵

实施初等行变换，将

化为行最简形矩阵；具体步骤为：03OPTION

若

能行等价于

，则

可逆，且

就变成了

.三、初等矩阵与逆矩阵的