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文档简介

福建省永春一中2025届数学高二上期末统考模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知x,y是实数,且,则的最大值是()A. B.C. D.2.函数y=的最大值为Ae-1 B.eC.e2 D.3.已知空间向量,且与垂直,则等于()A.-2 B.-1C.1 D.24.等差数列中,,,则()A.1 B.2C.3 D.45.函数f(x)=的图象大致形状是()A. B.C. D.6.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程()A.x2-=1(x≤-1) B.x2-=1C.x2-=1(x1) D.-x2=17.抛物线的焦点为F,A,B是拋物线上两点,若,若AB的中点到准线的距离为3,则AF的中点到准线的距离为()A.1 B.2C.3 D.48.在正项等比数列中,和为方程的两根,则等于()A.8 B.10C.16 D.329.设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值10.双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,下列结论不正确的是()A.该双曲线的离心率为B.该双曲线的渐近线方程为C.点P到两渐近线的距离的乘积为D.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为3211.已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示:若其回归直线方程是,则()x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.712.已知直线和互相垂直,则实数的值为()A. B.C.或 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为_________14.关于曲线,给出下列三个结论:①曲线关于原点对称,但不关于轴、轴对称;②曲线恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点);③曲线上任意一点到原点的距离都不大于.其中,正确结论的序号是________.15.命题“任意,”为真命题,则实数a的取值范围是______.16.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖,它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面与底面的夹角为___________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,底面分别为的中点,(1)求证:平面平面;(2)求二面角的大小18.(12分)如图,在三棱锥中,,,记二面角的平面角为(1)若,,求三棱锥的体积;(2)若M为BC的中点,求直线AD与EM所成角的取值范围19.(12分)已知等差数列的前项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和20.(12分)如图,在直三棱柱中,,,与交于点,为的中点,(1)求证:平面;(2)求证:平面平面21.(12分)在①,;②,;③,.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.问题:已知数列的前n项和为,,___________.(1)求数列的通项公式(2)已知,求数列的前n项和.22.(10分)如图1,在中,,,,分别是,边上的中点,将沿折起到的位置,使,如图2(1)求点到平面距离;(2)在线段上是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在,求出长;若不存在,请说明理由

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】将方程化为圆的标准方程,则的几何意义是圆上一点与点连线的斜率,进而根据直线与圆相切求得答案.【详解】方程可化为,表示以为圆心,为半径的圆,的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率,设,即,当此直线与圆相切时,斜率最大或最小,当切线位于切线AB时斜率最大.此时,,,所以的最大值为.故选:D2、A【解析】,所以函数在上递增,在上递减,所以函数的最大值为时,y==故选A点睛:研究函数最值主要根据导数研究函数的单调性,找到最值,分式求导公式要记熟3、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.【详解】∵∴∴,解得,故选:B.4、B【解析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列中,因,,而,于是得,解得,所以.故选:B5、B【解析】利用函数的奇偶性排除选项A,C,然后利用特殊值判断即可【详解】解:由题得函数的定义域为,关于原点对称.所以函数是奇函数,排除选项A,C.当时,,排除选项D,故选:B6、A【解析】根据双曲线定义求解【详解】,则根据双曲线定义知的轨迹为的左半支故选:A第II卷(非选择题7、C【解析】结合抛物线的定义求得,由此求得线段的中点到准线的距离【详解】抛物线方程为,则,由于中点到准线的距离为3,结合抛物线的定义可知,即,所以线段的中点到准线的距离为.故选:C8、C【解析】根据和为方程两根,得到,然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根,所以,又因为数列是等比数列,所以,故选:C9、D【解析】则函数增;则函数减;则函数减;则函数增;选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0则函数递增,当导函数小于0则函数递减10、D【解析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知,a=3,b=4,c=5,,故离心率e,故A正确;由双曲线的性质可知,双曲线线的渐近线方程为y=±x,故B正确;设P(x,y),则P到两渐近线的距离之积为,故C正确;若PF1⊥PF2,则△PF1F2是直角三角形,由勾股定理得,由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6(不妨取P在第一象限),∴2|PF1||PF2|=100﹣2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=32,可得,故D错误.故选:D11、A【解析】根据回归直线过样本点的中心进行求解即可.【详解】由题意可得,,则,解得故选:A.12、B【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式,求解即可.【详解】由已知可得,解得.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】因为,所以,即,故14、①③【解析】设为曲线上任意一点,判断、、是否满足曲线方程即可判断①;求出曲线过的整点即可判断②;由条件利用即可得,即可判断③;即可得解.【详解】设为曲线上任意一点,则,设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、,因为;;;所以点在曲线上,点、点不在曲线上,所以曲线关于原点对称,但不关于轴、轴对称,故①正确;当时,;当,.此外,当时,;当时,.故曲线过整点,,,,,,故②错误;又,所以恒成立,由可得,当且仅当时等号成立,所以,所以曲线上任一点到原点的距离,故③正确.故答案为:①③.【点睛】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断,属于中档题.15、【解析】分离常数,将问题转化求函数最值问题.【详解】任意,恒成立恒成立,故只需,记,,易知,所以.故答案为:16、【解析】设此四棱锥P-ABCD底面边长为,斜高为,连结AC、BD交于点O,连结OP.则以O为原点,为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系,用向量法求出侧面与底面夹角.【详解】设此四棱锥P-ABCD底面边长为,斜高为,连结AC、BD交于点O,连结OP.则,,以O为原点,为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系则,,设平面的法向量为,则,令,则,显然平面的法向量为所以,所以侧面与底面的夹角为故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)依题意可得平行四边形是矩形,即可得到,再由及面面垂直的性质定理得到平面,从而得到,即可得到平面,从而得证;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值,即可得解;【小问1详解】证明:因为为的中点,,所以,又,所以四边形为平行四边形,因为,所以平行四边形是矩形,所以,因为,所以,又因为平面平面,平面平面面,所以平面,因为面,所以,又因为,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面;【小问2详解】解:由(1)可得:两两垂直,如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则则,设平面的一个法向量,由则,令,则,所以,设平面的一个法向量,所以,根据图像可知二面角为锐二面角,所以二面角的大小为;18、(1)(2)【解析】(1)作出辅助线,找到二面角的平面角,利用余弦定理求出,求出底面积和高,进而求出三棱锥的体积;(2)利用空间基底表达出,结合第一问结论求出,从而求出答案.【小问1详解】取AC的中点F,连接FD,FE,由BC=2,则,故DF⊥AC,EF⊥AC,故∠DFE即为二面角的平面角,即,连接DE,作DH⊥FE,因为,所以平面DEF,因为DH平面DEF,所以AC⊥DH,因为,所以DH⊥平面ABC,因为,由勾股定理得:,,又,由勾股定理逆定理可知,AE⊥CE,且∠BAC=,,在△ABC中,由余弦定理得:,解得:或(舍去),则,因为,,所以△DEF为等边三角形,则,故三棱锥的体积;【小问2详解】设,则,,由(1)知:,,取为空间中的一组基底,则,由第一问可知:,则其中,且,,故,由第一问可知,又是的中点,所以,所以,因为三棱锥中,所以,所以,故直线AD与EM所成角范围为.【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目,可以建立空间直角坐标系来进行求解,若不容易建立坐标系时,也可以通过基底表达出各个向量,进而求出答案.19、(1)(2)【解析】(1)设等差数列公差为d,首项为a1,根据已知条件列出方程组求解a1,d,代入通项公式即可得答案;(2)根据等差、等比数列的前n项和公式,利用分组求和法即可求解【小问1详解】解:设等差数列公差为d,首项为a1,由题意,有,解得,所以;【小问2详解】解:,所以20、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)根据直棱柱的性质、平行四边形的性质,结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可;(2)根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质,结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.【小问1详解】在直三棱柱中,,且四边形平行四边形,又,则为的中点,又为的中点,故,即:,且平面,平面,所以平面;【小问2详解】在直三棱柱中,平面,平面,则,且,,平面,故平面,因为平面,所以,又在平行四边形中,,则四边形菱形,所以,且,平面,故平面,因为平面,所以平面平面.21、(1)(2)【解析】(1)选①,利用化已知等式为,得是等差数列,公差,求出其通项公式后,再由求得通项公式,注意;选②,由可变形已知条件得是等差数列,从而求得通项公式;选③,已知式两边同除以,得出,以下同选①;(2)由错位相减法求和【小问1详解】选①,由得,,所以,即,所以是等差数列,公差,又,,,所以,,时,也适合所以;选②,由得,所以等差数列,公差为,又,所以;选③,由得,以下同选①,【小问2详解】由(1),,,两式相减得,所以22、(1)(2)存在,【解析】(1)根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积,利用求解,(2)如图建立空间直角坐标系,设,然后求出平面与平面的法向量,利用向量平夹角公式列方程可求得结果【小问1详解】在中,,因为,分别是,边上的中

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