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文档简介
昆明市第二中学2025届数学高二上期末统考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中,已知的顶点,,其内切圆圆心在直线上,则顶点C的轨迹方程为()A. B.C. D.2.若直线与直线垂直,则a=()A.-2 B.0C.0或-2 D.13.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,.若双曲线M的右支上存在点P,使,则双曲线M的离心率的取值范围为()A. B.C. D.4.已知p:,那么p的一个充分不必要条件是()A. B.C. D.5.等比数列中,,,则()A. B.C. D.6.正方体的棱长为,为侧面内动点,且满足,则△面积的最小值为()A. B.C. D.7.已知x是上的一个随机的实数,则使x满足的概率为()A. B.C. D.8.已知,,若不等式恒成立,则正数的最小值是()A.2 B.4C.6 D.89.若,在直线l上,则直线l一个方向向量为()A. B.C. D.10.过点且与直线平行的直线方程是()A. B.C. D.11.已知直线,椭圆.若直线l与椭圆C交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为()A. B.C. D.12.在数列中,,则此数列最大项的值是()A.102 B.C. D.108二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5,若,则其方差为________.14.已知数列,点在函数的图象上,则数列的前10项和是______15.已知双曲线中心在坐标原点,左右焦点分别为,渐近线分别为,过点且与垂直的直线分别交于两点,且,则双曲线的离心率为________16.已知双曲线两焦点之间的距离为4,则双曲线的渐近线方程是___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的三个内角,,的对边分别为,,,且满足.(1)求角的大小;(2)若,,,求的长.18.(12分)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且的短轴长为(1)求的方程;(2)若直线与交于P,Q两点,,且的面积为,求k19.(12分)在数列中,,,数列满足(1)求证:数列是等比数列,并求出数列的通项公式;(2)数列前项和为,且满足,求的表达式;(3)令,对于大于的正整数、(其中),若、、三个数经适当排序后能构成等差数列,求符合条件的数组.20.(12分)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.设数列的前项和为,且__________.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,平面底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC的中点,,,(1)求证:;(2)求直线PB与平面MQB所成角的正弦值22.(10分)将离心率相同的两个椭圆如下放置,可以形成一个对称性很强的几何图形,现已知.(1)若在第一象限内公共点的横坐标为1,求的标准方程;(2)假设一条斜率为正的直线与依次切于两点,与轴正半轴交于点,试求的最大值及此时的标准方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据图可得:为定值,利用根据双曲线定义,所求轨迹是以、为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,从而写出其方程即得【详解】解:如图设与圆切点分别为、、,则有,,,所以根据双曲线定义,所求轨迹是以、为焦点,实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外),即、,又,所以,所以方程为故选:A2、C【解析】代入两直线垂直的公式,即可求解.【详解】因为两直线垂直,所以,解得:或.故选:C3、A【解析】利用三角形正弦定理结合,用a,c表示出,再由点P的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意,点P不与双曲线顶点重合,在中,由正弦定理得:,因,于是得,而点P在双曲线M的右支上,即,从而有,点P在双曲线M的右支上运动,并且异于顶点,于是有,因此,,而,整理得,即,解得,又,故有,所以双曲线M的离心率的取值范围为.故选:A4、C【解析】按照充分不必要条件依次判断4个选项即可.【详解】A选项:,错误;B选项:,错误;C选项:,,正确;D选项:,错误.故选:C.5、D【解析】设公比为,依题意得到方程,即可求出,再根据等比数列通项公式计算可得;【详解】解:设公比为,因为,,所以,即,解得,所以;故选:D6、B【解析】建立空间直角坐标系如图所示,设由,得出点的轨迹方程,由几何性质求得,再根据垂直关系求出△面积的最小值【详解】以点为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,,设所以,得,所以因为平面,所以故△面积的最小值为故选:B7、B【解析】先解不等式得到的范围,再利用几何概型的概率公式进行求解.【详解】由得,即,所以使x满足的概率为故选:B.8、B【解析】由基本不等式求出的最小值,只需最小值大于等于18,得到关于的不等式,求解,即可得出结论.【详解】,因为不等式恒成立,所以,即,解得,所以.故选:B.【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.9、C【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.【详解】因为,在直线l上,所以直线l的一个方向向量为.故选:C.10、A【解析】由题意设直线方程为,根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设,令直线方程为,所以,可得.所以直线方程为.故选:A.11、B【解析】联立直线方程与椭圆方程,消y得到关于x的一元二次方程,根据韦达定理可得,进而得出中点的横坐标,代入直线方程求出中点的纵坐标即可.【详解】由题意知,,消去y,得,则,,所以A、B两点中点的横坐标为:,所以中点的纵坐标为:,即线段AB的中点的坐标为.故选:B12、D【解析】将将看作一个二次函数,利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数,其对称轴为,开口向下,因为,所以当时,取得最大值,故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】根据极差的定义可求得a的值,再根据方差公式可求得结果.【详解】因为该组数据的极差为5,,所以,解得.因为,所以该组数据的方差为故答案为:.14、【解析】将点代入可得,从而得,再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有,所以,所以数列的前10项和为:.故答案为:15、【解析】判断出三角形的形状,求得点坐标,由此列方程求得,进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意设双曲线方程为,双曲线的渐近线方程为,右焦点,不妨设.由于,所以是线段的中点,由于,所以是线段的垂直平均分,所以三角形是等腰三角形,则.直线的斜率为,则直线的斜率为,所以直线的方程为,由解得,则,即,化简得,所以双曲线的离心率为.故答案为:16、.【解析】根据条件求出c,进而根据求出a,最后写出渐近线方程.【详解】因为双曲线两焦点之间的距离为4,所以,解得,所以,,双曲线的渐近线方程是.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)由正弦定理化边为角后,结合两角和的正弦公式、诱导公式可求得;(2)用表示出,然后平方由数量积的运算求得向量的模(线段长度)【详解】(1)因为,所以由正弦定理可得,即,因为,所以,,∵,故;(2)由,得,所以,所以.18、(1)(2)或k=1.【解析】(1)根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点,结合椭圆短轴长,可求得椭圆标准方程;(2)将直线方程和椭圆方程联立,整理得,从而得到根与系数的关系式,然后求出弦长以及到直线PQ的距离,进而表示出,由题意得关于k的方程,解得答案.【小问1详解】双曲线即,故双曲线交点坐标为,由此可知椭圆焦点也为,又的短轴长为,故,所以,故椭圆的方程为;【小问2详解】联立,整理得:,其,设,则,所以=,点到直线PQ的距离为,所以=,又的面积为,则=,解得或k=1.19、(1)证明见解析,;(2);(3).【解析】(1)由已知等式变形可得,利用等比数列的定义可证得结论成立,确定等比数列的首项和公比,可求得数列的通项公式;(2)求得,然后分、两种情况讨论,结合裂项相消法可得出的表达式;(3)求得,分、、三种情况讨论,利用奇数与偶数的性质以及整数的性质可求得、的值,综合可得出结论.【小问1详解】解:由可得,,则,,以此类推可知,对任意的,,则,故数列为等比数列,且该数列的首项为,公比为,故,可得.【小问2详解】解:由(1)知,所以,所以,当n=1时,,当时,.因为满足,所以.【小问3详解】解:,、、这三项经适当排序后能构成等差数列,①若,则,所以,,又,所以,,则;②若,则,则,左边为偶数,右边为奇数,所以,②不成立;③若,同②可知③也不成立综合①②③得,20、(1)答案不唯一,具体见解析(2)答案不唯一,具体见解析【解析】(1)若选①:根据,利用数列通项与前n项和的关系求解;若选②:构造利用等比数列的定义求解;(2)根据(1)得到,再利用错位相减法求解.【小问1详解】解:若选①:,当时,,当时,满足上式,故若选②:易得于是数列是以为首项,2为公比的等比数列,【小问2详解】若选①:由(1)得,从而,,作差得,于是若选②由(1)得,从而,,作差得,于是21、(1)证明见解析(2)【解析】(1)根据等腰三角形可得,再由面面垂直的性质得出线面垂直,即可求证;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求线面角.【小问1详解】因为Q为AD的中点,,所以,又因为平面底面ABCD,平面底面,平面PAD,所以平面ABCD,又平面ABCD,所以【小问2详解】由题可知QA、QB、QP两两互相垂直,以QA为x轴、QB为y轴、QP为z轴建立空间坐标系,如图,根据题意,则,,,,,由M是棱PC的中点可知,,设平面MQB的法向量为,,,则
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