江苏省盐城市盐城中学2025届高二上数学期末学业质量监测试题含解析

江苏省盐城市盐城中学2025届高二上数学期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A. B.C. D.2．椭圆焦距为（）A. B.8C.4 D.3．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.4．曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.5．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.86．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B.C. D.7．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（）A. B.C. D.8．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.9．在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是A. B.C. D.10．变量，满足约束条件则的最小值为()A. B.C. D.511．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（）A. B.C. D.12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为()A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.14．已知，为椭圆C的焦点，点P在椭圆C上，，则的面积为___________.15．已知，若三个数成等差数列，则_________；若三个数成等比数列，则__________16．已知双曲线与椭圆有公共的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于M，N两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.（1）写出试验的样本空间；（2）求“”的概率.18．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数k的值.19．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且，求平面MAP与平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知抛物线C：，过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为.若，求点B的坐标；（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.21．（12分）设等差数列的前n项和为，已知（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值22．（10分）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2.（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；（ii）若，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.【详解】设，则由余弦定理知：，解得，故该正四面体的棱长均为由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，高故该正四面体的体积为故选：A2、A【解析】由题意椭圆的焦点在轴上，故，求解即可【详解】由题意，，故椭圆的焦点在轴上故焦距故选：A3、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B4、D【解析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】，选D.点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.5、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C6、D【解析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.7、D【解析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.【详解】由题意得：，，且，又，，，，.故选：D.8、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.9、D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.10、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.故选：A.11、A【解析】根据双曲线渐近线方程设出方程，再由其过的点即可求解.【详解】渐近线方程是，设双曲线方程为，又因为双曲线经过点，所以有，所以双曲线方程为，化为标准方程为.故选：A12、A【解析】由题意可得，令，可得，再由三角形的面积公式，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程【详解】由题意可得，即，即有，令，则，可得，则，即，解得，，∴椭圆的方程为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：14、##【解析】设，然后根据椭圆的定义和余弦定理列方程组可求出，再由三角形的面积公式可求得结果【详解】由，得，则，设，则，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案为：15、①.4②.【解析】由等差中项与等比中项计算即可.【详解】若a，b，c三个数成等差数列.所以.若a，b，c三个数成等比数列.所以故答案为：4，.16、【解析】求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，即双曲线的半焦距，再求出点坐标，利用中点在渐近线上得出的关系式，从而求得，然后可计算面积【详解】由题意椭圆中，即，以线段为直径的圆的方程为，由，解得（取第一象限交点坐标），，双曲线的不在第一象限的渐近线方程为，，的中点坐标为，它在渐近线上，所以，化简得，又，所以，双曲线方程为，则得，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小问1详解】由题意可知试验的样本空间为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小问2详解】由（1）可知共有16种等可能情况，其中满足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4种，所以“”的概率为18、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐标先求出，，，由向量的夹角公式可得答案.（2）由题意可得，从而求出参数的值【小问1详解】由题，，，故，，，所以故与夹角余弦值为.【小问2详解】由与的互相垂直知，，，即19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）接BO，由是等边三角形得，由得出，再利用线面垂直的判断定理可得平面；（2）建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】连接BO，由已知△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点，则是等边三角形，，，在中，，满足，即是直角三角形，则，又，平面，所以平面.【小问2详解】建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图所示，则，，，，则平面的法向量为，由已知，得到点坐标，，设平面的法向量则，令，则，即，设平面MAP与平面CAP所成角为，则，则平面MAP与平面CAP所成角为.20、（1）（2）【解析】（1）直线的方程为，其中，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点的坐标；（2）直线的方程为，利用倾斜角定义知，，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得，进而得解.小问1详解】由题意，直线的方程为，其中.设，联立，消去得..，，即.，即.，，∴点的坐标为.【小问2详解】由题意，直线的方程为，其中，为倾斜角，则，设.联立，消去得...21、（1）（2）10【解析】（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得【小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，则.因为，则，得.所以数列的通项公式是【小问2详解】因为，则所以.当时，因为，则.当时，因为，则.因为，则，即，即，即．因为，所以22、（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A