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文档简介

2025届湖南省湘潭县凤凰中学高二数学第一学期期末统考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若,则()A. B.0C.1 D.22.在等差数列中,已知,则数列的前9项和为()A. B.13C.45 D.1173.已知正方体中,分别为棱的中点,则直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.4.已知是等差数列,,,则公差为()A.6 B.C. D.25.如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶距离水面6米,水面宽米,若水面下降6米,则水面宽()A.米 B.米C.米 D.米6.如图,棱长为1的正方体中,为线段上的动点,则下列结论错误的是A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为7.设双曲线C:的左、右焦点分别为,点P在双曲线C上,若线段的中点在y轴上,且为等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A. B.2C. D.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题,松长三尺,竹长一尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的,分别为3,1,则输出的等于A.5 B.4C.3 D.29.设命题甲:,命题乙:直线与直线平行,则()A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件10.已知是双曲线的左焦点,圆与双曲线在第一象限的交点为,若的中点在双曲线的渐近线上,则此双曲线的离心率是()A. B.2C. D.11.下列数列是递增数列的是()A. B.C. D.12.已知,则的最小值是()A.3 B.8C.12 D.20二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆被轴截得的弦长为4,被轴分成两部分的弧长之比为1∶2,则圆心的轨迹方程为______,若点,,则周长的最小值为______14.抛物线上一点到其焦点的距离为,则的值为______15.数列中,,,,则______16.中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示,从左至右五个小组的频率之比为,则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,已知平行六面体中,底面ABCD是边长为1的正方形,,,设,,(1)用,,表示,并求;(2)求18.(12分)已知函数,.(1)若,求的最大值;(2)若,求证:有且只有一个零点.19.(12分)已知圆,直线(1)判断直线l与圆C的位置关系;(2)过点作圆C的切线,求切线的方程20.(12分)直线经过点,且与圆相交与两点,截得的弦长为,求的方程.21.(12分)某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为,,….(参考数据:,,.)(1)写出一个递推公式,表示与之间的关系;(2)将(1)中的递推关系表示成的形式,其中k,r为常数;(3)求的值(精确到1).22.(10分)已知函数,,其中为自然对数的底数.(1)若为的极值点,求的单调区间和最大值;(2)是否存在实数,使得的最大值是?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出函数的导数,直接代入即可求值.【详解】因为,所以,所以,所以.故选:D.2、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中,因,所以.故选:C3、D【解析】以D为原点建立空间直角坐标系,求出E,F,B,D1点的坐标,利用直线夹角的向量求法求解【详解】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2,则,,,,,直线与所成角的余弦值为:.故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算,属于基础题4、C【解析】设的首项为,把已知的两式相减即得解.【详解】解:设的首项为,根据题意得,两式相减得.故选:C5、B【解析】以双曲线的对称中心为原点,焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系,求出双曲线方程,数形结合即可求解.【详解】如图所示,以双曲线的对称中心为原点,焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系,设双曲线标准方程为:(a>0),则顶点,,将A点代入双曲线方程得,,当水面下降6米后,,代入双曲线方程得,,∴水面宽:米.故选:B.6、C【解析】∵,,∴面,面,∴,A正确;∵平面即为平面,平面即为平面,且平面,∴平面平面,∴平面平面,∴B正确;当时,为钝角,∴C错;将面与面沿展成平面图形,线段即为的最小值,在中,,利用余弦定理解三角形得,即,∴D正确,故选C考点:立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维,转化为平面几何问题,具体方法表现为:

求空间角、距离,归到三角形中求解;2.对于球的内接外切问题,作适当的截面,既要能反映出位置关系,又要反映出数量关系;求曲面上两点之间的最短距离,通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离7、A【解析】根据是等腰直角三角形,再表示出的长,利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M,因为O为的中点,所以,而,则,为等腰三角形,故,由,得,又为等腰直角三角形,故,即,解得,即,故选:A.8、B【解析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【详解】解:当n=1时,a=3,b=2,满足进行循环的条件,当n=2时,a,b=4,满足进行循环的条件,当n=3时,a,b=8,满足进行循环的条件,当n=4时,a,b=16,不满足进行循环的条件,故输出的n值为4,故选:B【点睛】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答9、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义,结合两直线平行的性质进行求解即可.【详解】当时,直线的方程为,直线方程为,此时,直线与直线平行,即甲乙;直线和直线平行,则,解得或,即乙甲;则甲是乙的充分不必要条件.故选:.10、A【解析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质,建立关于a,b,c的方程,从而可求得双曲线的离心率得选项.【详解】由题意可设右焦点为,因为,且圆:,所以点在以焦距为直径的圆上,则,设的中点为点,则为的中位线,所以,则,又点在渐近线上,所以,且,则,,所以,所以,则在中,可得,,即,解得,所以,故选:A【点睛】方法点睛:(1)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式,利用和转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围(2)对于焦点三角形,要注意双曲线定义的应用,运用整体代换的方法可以减少计算量11、C【解析】分别判断的符号,从而可得出答案.【详解】解:对于A,,则,所以数列为递减数列,故A不符合题意;对于B,,则,所以数列为递减数列,故B不符合题意;对于C,,则,所以数列为递增数列,故C符合题意;对于D,,则,所以数列递减数列,故D不符合题意.故选:C.12、A【解析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为,所以,当且仅当时取等号,即当时取等号,故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①.②.【解析】设,圆半径为,进而根据题意得,,进而得其轨迹方程为双曲线,再根据双曲线的定义,将周长转化为求的最小值,进而求解.【详解】解:如图1,因为圆被轴截得的弦长为4,被轴分成两部分的弧长之比为1∶2,所以,,所以中点,则,,所以,故设,圆半径为,则,,,所以,即所以圆心的轨迹方程为,表示双曲线,焦点为,,如图2,连接,由双曲线的定义得,即,所以周长为,因为,所以周长的最小值为故答案为:;.14、【解析】将抛物线方程化为标准方程,利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再利用点到直线的距离公式进行求解.【详解】将抛物线化为,由抛物线定义得点到准线的距离为,即,解得故答案为:.15、##0.5【解析】直接计算得到答案.【详解】∵,,则,.故答案为:.16、50【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.【详解】第五组的频率为,第一组所占的频率为,则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.故答案为:50.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)0【解析】(1)把,,作为基底,利用空间向量基本定理表示,然后根据已知的数据求,(2)先把用基底表示,然后化简求解【小问1详解】因为,,,,所以,因为底面ABCD是边长为1的正方形,,,所以【小问2详解】因为,底面ABCD是边长为1的正方形,,,所以18、(1)(2)证明见解析【解析】(1)利用导数判断原函数单调性,从而可求最值.(2)求导后发现导数中无参数,故单调性与(1)中所求一致,然后利用零点存在定理结合的范围,以及函数单调性证明在定义域内有且只有一个零点.【小问1详解】若,则,其定义域为,∴,由,得,∴当时,;当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴【小问2详解】证明:,由(Ⅰ)知在上单调递增,在上单调递诚,∵,∴当时,,故在上无零点;当时,,∵且,∴在上有且只有一个零点.综上,有且只有一个零点.19、(1)相交.(2)或.【解析】(1)先判断出直线恒过定点(2,1),由(2,1)在圆内,即可判断;(2)分斜率存在与不存在两种情况,利用几何法求解.【小问1详解】直线方程,即,则直线恒过定点(2,1).因为,则点(2,1)位于圆的内部,故直线与圆相交.【小问2详解】直线斜率不存在时,直线满足题意;②直线斜率存在的时候,设直线方程为,即.因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,解得:,则直线方程为:.综上可得,直线方程或.20、或【解析】直线截圆得的弦长为,结合圆的半径为5,利用勾股定理可得圆心到直线的距离,再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率,由点斜式可得结果.【详解】设直线的方程为,即,因为圆的半径为5,截得的弦长为所以圆心到直线的距离,即或,∴所求直线的方程为或.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法,求圆的弦长有两种方法:一是利用弦长公式,结合韦达定理求解;二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.21、(1)(2)(3)10626【解析】(1)根据题意,建立递推关系即可;(2)利用待定系数法求解得.(3)利用等比数列求和公式,结合已知数据求解即可.【小问1详解】解:因为某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,所以,且.【小问2详解】解:将化成,因为所以比较的系数,可得,解得.所以(1)中的递推公式可以化为.【小问3详解】解:由(2)可知,数列是以为首项,1.08为公比的等比数列,则.所以.22、(1)单调增区间是,单调减区间是;最大值为;(2)存在,.【解析】(1)利用为的极值点求得,进而可得函数的单调区间和最大值;(2)对导函数,分与进行讨论,得函数的单调性进而求

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