山东省新泰第一中学北校2025届数学高二上期末经典试题含解析_第1页
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文档简介

山东省新泰第一中学北校2025届数学高二上期末经典试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,且平面ABC中的小方格均为单位正方形,,,则()A.1 B.C.2 D.2.“椭圆的离心率为”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知直线,若异面,,则的位置关系是()A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面4.已知a,b为不相等实数,记,则M与N的大小关系为()A. B.C. D.不确定5.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A. B.C. D.6.中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录,成为中国第46个世界遗产项目,随着对大运河的保护与开发,大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片,也成为众多旅游者的游览目的地.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头,又立即逆水返回奥体公园码头,已知游船在顺水中的速度为,在逆水中的速度为,则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是()A. B.C. D.7.设F是双曲线的左焦点,,P是双曲线右支上的动点,则的最小值为()A.5 B.C. D.98.已知椭圆与椭圆,则下列结论正确的是()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等9.已知数列满足,,数列的前n项和为,若,,成等差数列,则n=()A.6 B.8C.16 D.2210.在正三棱锥S-ABC中,AB=4,D、E分别是SA、AB中点,且DE⊥CD,则三棱锥S-ABC外接球的体积为()A.π B.πC.π D.π11.已知双曲线的左右焦点分别为、,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若的面积为,则的渐近线方程为A. B.C. D.12.设为坐标原点,直线与抛物线C:交于,两点,若,则的焦点坐标为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.等比数列中,,,则数列的公比为____.14.中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示,从左至右五个小组的频率之比为,则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.15.与直线平行,且距离为的直线方程为______16.已知抛物线:上有两动点,,且,则线段的中点到轴距离的最小值是___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线E:y2=8x(1)求抛物线的焦点及准线方程;(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点,求直线l1的方程;(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A,B.若弦AB的中点为M,求直线l2的方程18.(12分)已知数列的前n项和,满足,.(1)求证:数列是等差数列;(2)令,求数列的前n项和.19.(12分)已知椭圆C:()的离心率为,并且经过点,(1)求椭圆C的方程;(2)设点关于坐标原点的对称点为,点为椭圆C上任意一点,直线的斜率分别为,,求证:为定值20.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,其中,,且(1)求角B的值;(2)若,判断△ABC的形状21.(12分)已知(1)若函数在上有极值,求实数a的取值范围;(2)已知方程有两个不等实根,证明:(注:是自然对数的底数)22.(10分)某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物,该建筑物底面直径为8米,在其南面有一条东西走向的观景直道,建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道,观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处,有一全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客,是否在该摄像头的监控范围内?(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据向量的线性运算,将向量表示为,再根据向量的数量积的运算进行计算可得答案,【详解】因为,所以=,故选:B.2、C【解析】讨论椭圆焦点的位置,根据离心率分别求出参数m,由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】当椭圆的焦点在轴上时,,得;当椭圆的焦点在轴上时,,得故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选:C.3、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体:和是异面直线,,;和是异面直线,,与是异面直线.所以两直线与是异面直线,,则的位置关系是相交或异面.故选:D4、A【解析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒【详解】因为,又,所以,即故选:A5、B【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积,分别求出即可.【详解】如图,在单位圆中作其内接正六边形,该正六边形是六个边长等于半径的正三角形,其面积,圆的面积为则所求概率.故选:B【点睛】此题考查几何概率模型求解,关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.6、A【解析】求出平均速度V,进而结合基本不等式求得答案.【详解】易知,设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1,则游船顺流而下的时间为,逆流而上的时间为,则平均速度,由基本不等式可得,而,当且仅当时,两个不等式都取得“=”,而根据题意,于是.故选:A.7、B【解析】由双曲线的的定义可得,于是将问题转化为求的最小值,由得出答案.【详解】设双曲线的由焦点为,且点A在双曲线的两支之间.由双曲线的定义可得,即所以当且仅当三点共线时,取得等号.故选:B8、C【解析】利用,可得且,即可得出结论【详解】∵,且,椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距故选:C9、D【解析】利用累加法求得列的通项公式,再利用裂项相消法求得数列的前n项和为,再根据,,成等差数列,得,从而可得出答案.【详解】解:因为,且,所以当时,,因为也满足,所以.因为,所以.若,,成等差数列,则,即,得.故选:D.10、C【解析】取中点,连接,证明平面,得证,然后证明平面,得两两垂直,以为棱把三棱锥补成一个正方体,正方体的对角线是其外接球的直径,而正方体的外接球也是正三棱锥的外接球,由此计算可得【详解】取中点,连接,则,,,平面,所以平面,又平面,所以,D、E分别是SA、AB的中点,则,又,所以,,平面,所以平面,而平面,所以,,是正三棱锥,因此,因此可以为棱把三棱锥补成一个正方体,正方体的对角线是其外接球的直径,而正方体的外接球也是正三棱锥的外接球,由,得,所以所求外接球直径为,半径为,球体积为故选:C11、D【解析】求得,根据的面积列方程,由此求得,进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意,双曲线的一条渐近线为,则,所以,所以,所以.所以双曲线渐近线方程为.故选:D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算,属于中档题.12、B【解析】根据题中所给的条件,结合抛物线的对称性,可知,从而可以确定出点的坐标,代入方程求得的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点,且,根据抛物线的对称性可以确定,所以,代入抛物线方程,求得,所以其焦点坐标为,故选:B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据等比数列的定义,结合已知条件,代值计算即可求得结果.【详解】因为是等比数列,设其公比为,又,,故可得,解得.故答案为:.14、50【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.【详解】第五组的频率为,第一组所占的频率为,则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.故答案为:50.15、或【解析】由题意,设所求直线方程为,根据两平行直线间的距离公式即可求解.【详解】解:由题意,设所求直线方程为,因为直线与直线的距离为,所以,解得或,所以所求直线方程为或,故答案为:或.16、2【解析】设抛物线的焦点为,由,结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.【详解】设抛物线的焦点为,点在抛物线的准线上的投影为,点在直线上的投影为,线段的中点为,点到轴的距离为,则,∴,当且仅当即三点共线时等号成立,∴线段的中点到轴距离的最小值是2,故答案为:2.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)焦点为(2,0),准线方程为x=-2;(2)y=1或x-y+2=0或2x+y+1=0;(3)4x-3y+1=0.【解析】(1)根据抛物线的方程及其几何性质,求焦点和准线;(2)分直线l1的斜率为0和不为0两种情况,根据直线与抛物线只有一个公共点,由直线与x轴平行或Δ=0,得解;(3)利用点差法求出直线l2的斜率,即可得直线l2的方程【小问1详解】由题意,p=4,则焦点为(2,0),准线方程为x=-2【小问2详解】当直线l1的斜率为0时,y=1;当直线l1的斜率不为0时,设直线l1为x+1=m(y-1),联立,得y2-8my+8m+8=0,因为直线l1与抛物线E只有一个公共点,所以Δ=64m2-4(8m+8)=0,解得m=1或,所以直线l1的方程为x-y+2=0或2x+y+1=0,综上,直线l1为y=1或x-y+2=0或2x+y+1=0【小问3详解】由题意,直线l2的斜率一定存在,设其斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则8x1,8x2,两式作差得:8(x1-x2),即k,所以直线l2为y-3(x-2),即4x-3y+1=018、(1)证明见解析(2)【解析】(1)先将变为,然后等式两边同除即可得答案;(2)求出,再用错位相减求和【小问1详解】证明:∵∴由已知易得,∴∴数列是首项,公差为的等差数列;【小问2详解】由(1)可知,∴∴①②①-②有∴19、(1)(2)证明见解析【解析】(1)根据题意可列出关于的三个方程,解出即可得到椭圆C的方程;(2)根据对称可得点坐标,再根据斜率公式可得,然后由点为椭圆C上的点得,代入化简即可求出为定值【小问1详解】由题意解得,.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】因为点关于坐标原点的对称点为,所以的坐标为.,,所以,又因为点为椭圆C上的点,所以.20、(1)(2)等边三角形【解析】(1)把化为,然后由正弦定理化边为角,利用两角和的正弦公式、诱导公式可求得;(2)由余弦定理及三角形面积公式可得,从而得出三角形为等边三角形【小问1详解】∵,∴由正弦定理得,∵,∴,∴,又,所以,可得;【小问2详解】由(1)知余弦定理,①,②由①②可得:,又,所以,所以该三角形为等边三角形21、(1)(2)证明见解析.【解析】(1)利用导数判断出在上单增,在上单减,在处取得唯一的极值,列不等式组,即可求出实数a的取值范围;(2)记函数,把证明,转化为只需证明,用分析法证明即可.【小问1详解】,定义域为,.令,解得:;令,解得:所以在上单增,在上单减,在处取得唯一的极值.要使函数在上有极值,只需,解得:,即实数a的取值范围为.【小问2详解】记函数.则函数有两个不等实根.因为,,两式相减得,,两式相加得,.因为,所以要证,只需证明,只需证明,只需证明,.证.设,只需证明.记,则,所以在上2单增,所以,所以,即,所以.即证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)利用导数证明不等式22、(1)不在(2)17.5米【解析】(1)以O为原点,正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系,求出直线AB方程,判断直线AB与圆O的位置关系即可;(2)摄像头监控不会被建筑物遮挡,只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直线方程即可.【小问1详解】以O为原

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