2025届苏州实验中学数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2025届苏州实验中学数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．不等式的解集为（）A.或 B.C. D.2．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.A. B.C. D.4．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.5．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．下列三个命题：①“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则”；②若事件A与事件B互斥，则；③设命题p：若m是质数，则m一定是奇数，那么是真命题；其中真命题的个数为（）A.3 B.2C.1 D.07．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x8．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A.1 B.2C.3 D.49．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.11．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则12．椭圆的两焦点之间的距离为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量_________．（用表示）14．二进制数转化成十进制数为______.15．若直线与直线平行，则实数m的值为____________16．函数的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点（1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值19．（12分）已知O为坐标原点，点，设动点W到直线的距离为d，且，.（1）记动点W的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，直线与曲线C交于，两点，直线l与的交点为P（P不在曲线C上），且，设直线l，的斜率分别为k，.求证：为定值.20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.21．（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据一元二次不等式的解法可得答案.【详解】由不等式可得或不等式的解集为或故选：A2、B【解析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】∵，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3、A【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，，由双曲线的定义可得，所以，.故选：A.4、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率故选：D.5、A【解析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为“直线和直线垂直，所以或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A6、B【解析】写出逆否命题可判断①；根据互斥事件的概率定义可判断②；根据写出再判断真假可判断③.【详解】对于①，“，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则”，故①错误；对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；③命题p：若m是质数，则m一定是奇数.2是质数，但2是偶数，命题p是假命题，那么真命题故选：B.7、C【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.8、C【解析】根据椭圆定义，和条件列式，再通过变形计算求解.【详解】由条件可知，，即，解得：.故选：C【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.9、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A10、D【解析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.【详解】因为平行六面体中，点M在上，且故可得故选：D.11、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.12、C【解析】根据题意，由于椭圆的方程为,故可知长半轴的长为,那么可知两个焦点的坐标为，因此可知两焦点之间的距离为，故选C考点：椭圆的简单几何性质点评：解决的关键是将方程变为标准式，然后结合性质得到结论，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，，故答案为：14、13【解析】根据二进制数和十进制数之间的转换方法即可求解.【详解】.故答案为：13.15、【解析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得故答案为：16、1【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【小问1详解】因为D，H分别是PA，PC的中点，所以因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，综上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小问2详解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，则因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，有，，，，则，，设平面BPC的法向量为，则，令，则设平面PCA的法向量为，则，令，则所以．由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量、平面的法向量，由二面角的空间向量求法可得答案.【小问1详解】因为四边形是等腰梯形，，所以，所以，即因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面【小问2详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以，，，由（1）可知平面的一个法向量为设平面的法向量为，因为，，所以得令，则，，所以，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设点，由即所以化简即可得到答案.（2）设，，设直线l的方程为：与（1）中W的轨迹方程联立，得出韦达定理，求出，同理设直线的方程为：，得出，再根据从而可证明结论.【小问1详解】设点，因为，所以，因为，所以所以所以所以所以C的方程为：【小问2详解】设，，设直线l的方程为：，则由得：所以，，所以所以设直线的方程为：，则同理可得因所以即，即，即解得，即所以为定值.20、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件推导证得，再借助直角三角形中锐角的正切列式求解作答.(2)由给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量求解面面角作答【小问1详解】连结BD，如图，因底面ABCD，且平面ABCD，则，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，则，有，又，则有，有，则，解得，所以.【小问2详解】依题意，DA，DC，DP两两垂直，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，，，，，，，，设平面AMP的法向量为，则，令，得，设平面BMP的法向量为，则，令，得，设二面角A-PM-B的平面角为，则，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值为.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用，结合已知条件，即可容易求得通项公式；（2）根据（1）中所求，对数列进行