2025届福建省安溪六中高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2025届福建省安溪六中高二数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A. B.C. D.2．等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（）A.3 B.4C.5 D.63．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.14．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（）A. B.C. D.5．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A. B.4C.3 D.26．在等差数列中，若，则（）A.5 B.6C.7 D.87．已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为（）A. B.2C. D.48．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（）A. B.C. D.9．设双曲线C：的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.2C. D.10．已知直线m经过，两点，则直线m的斜率为（）A.-2 B.C. D.211．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为A.3 B.2C. D.12．若实数满足约束条件，则最小值为（）A.-2 B.-1C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．矩形ABCD中，，在CD边上任取一点M，则的最大边是AB的概率为______14．长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______15．已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则__________.16．已知两平行直线与间的距离为3，则C的值是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求点B到平面PCD的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，为侧棱包含端点上的动点.（1）当时，求证平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.19．（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）定义：记，求数列的前20项和20．（12分）已知数列的前n项和（1）求的通项公式；（2）若数列的前n项和，求数列的前n项和21．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值22．（10分）已知数列与满足（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；（3）设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设七巧板正方形边长为4，求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.【详解】设七巧板正方形边长为4，则大阴影等腰三角形底边长为4，底边上的高为2，可得小正方形对角线长为2，小正方形边长为，小阴影等腰直角三角形腰长为，小白色等腰直角三角形底边长为2，则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2，因此，图中阴影部分面积，而七巧板正方形面积，于是得七巧板中白色部分面积为，所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为.故选：A2、B【解析】根据等比数列相关计算得到，，进而求出与，代入后得到，利用指数函数和二次函数单调性得到当时，取得最小值.【详解】显然，由题意得：，，两式相除得：，将代入，解得：，所以，所以，，所以，其中单调递增，所以当时，取得最小值.故选：B3、C【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C4、D【解析】先根据已知条件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，当且仅当，即时，等号成立故选：D.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，本题关键是求出，属常规考题.5、C【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由纯虚数，∴，解得：，则，故选：C6、B【解析】由得出.【详解】由可得，故选：B7、D【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.【详解】由题意可得：，，可以得到，而，可以令，则有，当且仅当取等号，所以的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查均值不等式，关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，是中档题.8、A【解析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中：，设则，则，，令，则它对应直线由整理得由判别式解得即，则的最小值为故选：A9、A【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，由，得，又为等腰直角三角形，故，即，解得，即，故选：A.10、A【解析】根据斜率公式求得正确答案.【详解】直线的斜率为：.故选：A11、D【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选D【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题12、B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先利用勾股定理得出满足条件的长度，再结合几何概型的概率公式得出答案.【详解】设，当时，，；当时，，所以当到的距离都大于时，的最大边是AB，所以的最大边是AB的概率为.故答案为：14、【解析】在长方体中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答.【详解】在长方体中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因点H，A，三点共线，令，点，则，又，则，解得，所以点到平面ABCD的距离为.故答案为：15、【解析】由题得，解方程组即得解.【详解】解：由题得，因为是直线的一个方向向量，所以，所以，所以.故答案为：16、【解析】根据两条平行直线之间的距离公式即可得解.【详解】两平行直线与间的距离为3，所以，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.【小问1详解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又两两互相垂直,所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(3,6,0),A(0,6,0)设平面的一个法向量所以n⋅PD令，可得记点到平面的距离为，则d=【小问2详解】由(1)可知平面的一个法向量为平面的一个法向量为设二面角的平面角为由图可知，18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于，连接，证得，从而证得平面；（2）过作于，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求面的法向量，由直线与平面所成角的正弦值为，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）连接交于，连接，由题意，∵，∴，∴，又面，面，∴面.（2）过作于，则在中，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，，，，设向量为平面的一个法向量，则由，有，令，得；记直线与平面所成的角为，则，解得，此时；设向量为平面的一个法向量则由，有，令，得；∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，用向量法求线面角，二面角，还考查了学生的分析能力，空间想象能力，运算能力，属于中档题.19、（1）；（2）【解析】（1）利用求得递推关系得等比数列，从而得通项公式，再由等差数列的基本时法求得通项公式；（2）根据定义求得，然后分组求和法求得和【小问1详解】由题意，当时，两式相减，得，即是首项为3，公比为3的等比数列设数列的公差为，小问2详解】由20、（1），；（2），.【解析】（1）根据的关系可得，根据等比数列的定义写出的通项公式，进而可得的通项公式；（2）利用的关系求的通项公式，结合（1）结论可得，再应用分组求和、错位相消法求的前n项和【小问1详解】．①当时，，可得当时，．②①－②得，则，而a1-1=1不为零，故是首项为1，公比为2的等比数列，则∴数列的通项公式为，【小问2详解】∵，∴当时，，当时，，又也适合上式，∴，∴，令，，则，又，∴21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量、平面的法向量，由二面角的空间向量求法可得答案.【小问1详解】因为四边形是等腰梯形，，所以，所以，即因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面【小问2详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以，，，由（1）可知平面的一个法向量为设平面的法向量为，因为，，所以得令，则，，所以，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.22、（1）（2）证明见解析．（3）【解析】（1）由已知关系得出是等差数列及公差，然后可得通项公式；（2）由已知关系式，利用累加法证明对任