河北省保定市部分学校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题（10.29）

2024年高三摸底考试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知，则（）A． B． C． D．2．已知是的共轭复数，则（）A．0 B． C．2 D．3．已知向量，且，则（）A．1 B．2 C． D．04．若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（）A．2 B．3 C．4 D．5．设函数为偶函数．当满足时，有最小值2，则和的值分别是（）A． B．C． D．6．若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（）A． B．3 C． D．7．已知且，则的最小值是（）A．12 B．16 C．15 D．148．已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．函数的图象经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．若是平面的一条斜线，，直线平面且直线，记直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是（）A．与是一对异面直线B．若点和分别为直线上和平面内异于点的点，则C．若和分别是直线与上的动点，则满足且的直线不唯一D．过直线有且只有唯一平面与直线平行11．若函数存在两个极值点，下列说法正确的是（）A．时满足条件B．不存在实数使得均为正整数C．当时，的最大值为D．对任意正整数，均存在对应的，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知曲线在处的切线斜率为4，则实数的值为______．13．函数的最小正周期是______，在上的单调递减区间是______．14．已知递增数列共有项（为定值）且各项均不为零，末项．若从数列中任取两项和，当时，仍是数列中的项，则数列的通项公式______．（用含和的式子表示．）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量．（1）若，且，求的值；（2）设函数，求函数的值域．16．（15分）已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角．17．（15分）在中，角的对边分别为．（1）求角；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若边，点为线段上的动点，点为线段上的动点，且线段平分的面积，求线段长度的最小值．18．（17分）已知函数．（1）已知直线是曲线的切线，求实数a的值；（2）求函数的单调区间；（3）求证：恒成立．19．（17分）已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且．（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；（2）若，数列前项和为，求证：；（3）当时，设集合．集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．

2024年高三摸底数学试题评分细则经与保定三中和曲阳永宁中学高三数学组试评商议，将评分细则修订如下：一、选择题：（每小题5分，共40分）1．A2．B3．C4．B5．D6．C7．D8．B二、选择题：（每小题6分，共18分）9．ABC10．ABD11．CD三、填空题：（每个小题5分，共15分）12．113．；14．（结果为的也给分）四、解答题：（本题共5小题，共77分）15．（13分）解：（1），又，，；（2）由题意：，，，的值域是16．（15分）（1）法1：证明平面平面，又，又平面平面又平面．又即．又平面平面．平面．法2：证明；由已知易得，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，．又平面平面．平面．法3：如图所示，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易得又平面平面平面法4：如图所示，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易得设平面BEF的法向量，则取，则法向量．平面（2）解：如图所示，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易得，设平面的法向量，则，取，则法向量．由（1）可知为平面的法向量．，平面，与平面的夹角为．17．（15分）解：（1），，，，（2）法1：，又，，，（或者，即）法2：，，，化简得，法3：，，，，，解得或，．（3）若边由（1）（2）可知，，令，则，又由余弦定理得：当且仅当时等号成立的最小值为．18．（17分）解：（1），，解得，切点为，．（2），当时，单调递减．（没有具体说明为什么，本步骤扣1分）当时，，单调递增，单调递递增．（没有具体说明为什么，本步骤扣2分）综上所述，单调减区间为，单调递增区间为．（3）证明：恒成立恒成立恒成立令，则．令则单调递增，又，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；恒成立．19．（17分）解：（1）令可得，即．令可得，即，所以又，两式相减可得，数列为首项为4，公比为2的等比数列．（2）证明：由（1）可知，所以要证成