2022北京中考数学二模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题手拉手中点问题（附加2题）一线三垂倍长2题相似3题1题猜证类等腰结论共计6题1题1题14题一、手拉手共5小题1.2022密云二模27如图,在等边中,点在的延长线上,点是边上的和一个动点点不与点重合),将线段逆时针旋转得到线段,.(1)依据题意,补全图形;(2)与的大小,并证明;(3)用等式表示线段与之间的数量关系,并证明.2.（2022丰台二模题）如图，在△=120°D是中点，连接点M在线段AD上不与点D重合)MBE在CA的延长线上且=MB.（1）比较∠ABM与∠的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，ABAE之间的数量关系，并证明.3.（2022西城二模在中,,过点作射线,使重合),点(点在线段与点线的异侧点是射线上一个动点(不与点上,且.(1)与点重合时,的式子表示)不重合时,与的位置关系是,若,则的长为；((2)①用等式表示②用等式表示线段与点与.之间的数量关系,并证明；之间的数量关系,并证明.4.（2022大兴二模27如图，，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（°<<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD,AD,BD之间的数量关系（用含α的式子表示）△=，=，在△ABC的外侧作直线5.（2022东城二模如图，在中，−a−a)CD,,关于直线的对称点交直线于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接，求证：=；⊥F,2,（3）过点A作于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明。2022燕山二模27在RtABC中,∠ACB=90°,是⊥于E,连结P在射线BC不重合）．（1）如果∠=30°①如图1，DE与之间的数量关系是②如图2P在线段CBDPDP绕点D逆时针旋转60°DF,BF图2CP、之间的数量关系，并证明你的结论．(2)3P=（0°<<90°）DP,将线段DP绕点D逆时针旋转得到线段DF,连结BF,请直接写出、BFBP三者的数量关系（不需证明）．AAADDDBCEEPBCEBC二、中点问题共5小题附加.2020ABCP在BCP为旋转中心，将线段逆时针旋转n°（0＜＜180）得线段，连接APBQ．（1）如图1PC，画出n60时的图形，直接写出和AP的数量及位置关系；（2＝120时，若点M为线段的中点，连接PM．判断和AP的数量关系，并证明．附加（2021•通州区一模）已知点P为线段上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转°，得到线段ACB逆时针旋转120BDAD中点BMCM．（1）如图1，当点PCM上时，求证：PMBD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．（2022顺义二模27ABCACB=90PD为射线DPPD=BCCPP为中心，将线段PD逆时针旋转°（0n<180）得线段.（）如图，当四边形是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值;（）当n=135°时，M为线段的中点，连接PM.①在图2中依题意补全图形。②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明。.2022朝阳二模在正方形ABCDE为M在上N在上⊥，垂足为点F．（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：=；（2）将图1向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH,HF,FN之间的数量关系，并证明（2022房山二模如图ABCDABC=∠BCDA作DC交边于点，过点E作AB交边于点FAFC作CH∥AF交AE于点H，连接BH。（1）≌△EAF；（）如图2的延长线经过点M，求的值。10.（2022石景山二模27题）ABC中，∠ACB=90°,CA=CB,D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A,CDE，将线段B逆时针旋转90°得到线段，过点F作FHDE于H，交射线BC于点G.(1)如图1AE<EC时，比较∠ADE与∠的大小；用等式表示线段与AE的数量关系，并证明：(2)如图2AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.11.（2022门头沟二模27题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是的中点，过点C作CEAD，交AD于点，交ABF，作点E关于直线的对称点G，连接和GC，过点B作BMGC交GC的延长线于点M．（1根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．（2）过点B作BN交的延长线于点N，用等式表示线段AG，与BM的数量关系，并证明．AAEEFFDDCBCB三、一线三垂直共1小题12.（2022海淀二模27题）ABBC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线ABBC重合，分别过点C作直线l的垂线，垂足为D，．（1）如图1时，①求证：；+=②连接AE，过点D作DH⊥于H，过点A作AF∥交DH的延长线于点．依题意补全图形，用等式表示线段DF，DE的数量关系，并证明；（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．AAlEDBCBC图1四、猜证类共1小题2022昌平二模27MON=OP是∠MONA上一点，点A关于OPB在射线上，连接交，过点A作ON的垂线，分别交OPON于点，，作∠OAE的平分线，射线与OP分别交于点，G.（1）①依题意补全图形；②求∠BAEα的式子表示）（2）写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD＝2AF（点A不与点OMMAAPPONON四、等腰△结论共1小题14.（2022平谷二模272022北京中考数学二模分类——综合压轴题手拉手中点问题（附加2题）一线三垂倍长2题相似3题1题猜证类等腰结论共计6题1题1题14题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模如图,在等边中,点在的延长线上,点是边上的和一个动点点不与点重合),将线段逆时针旋转得到线段,.(1)依据题意,补全图形;(2)与的大小,并证明;(3)用等式表示线段与之间的数量关系,并证明.【答案】（1）图1）∠BDE=∠证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∵线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PEPE=PD∴△是等边三角形∴∠PED=60°∴∠ABC=PE和BDO△DOE和△BOP中∵∠EOD=BOP∴∠BDE=BPE2）BD=BP+BE法1证明：如图3过点D作DH//AC交BC延长线于点H∴∠BDH=∠BAC=60°，∠=∠ACB=∴△是等边三角形，BD=BH=DH∵△是等边三角形，∠EDP=60°，ED=PD∴∠=PDHBED≌HPDBE=PH∴∵BH=BP+PH∴BD=BP+BE图3法2如图4图4思路：过点E作EG平行于BC交于点G,利用四点共圆或者相似可得可证∠EBD=∠EPD=60，得三角形BGE是等边三角形，再证ΔGDE≌ΔBPE,结论可得。法3如图50图5思路：过点P作PF平行于AC交于点F可证ΔPBEΔPFD,结论可得.法4如图6图6思路：过点D作PF平行于BC交的延长线于点F可证ΔDFEΔDBP,结论可得.（丰台二模=120°D是点M在线段AD上(不与点AD重合)MBE在CA的延长线上且=MB.（1）比较∠ABM与∠的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，ABAE之间的数量关系，并证明.【答案】【导角】DBCM上∴MB∴∠MBDMCD∴∠ABC－∠MBDACB－∠即∠ABMACM∵ME...................………………2分∴ME∴∠AEMACM∴∠ABMAEM.......................………………3分（21【截长补短＋证明等边三角形＋全等】FAF=AB120°∴∠60°∴△FBA是等边三角形∴BF，∠FBA60°∵∠EAB＋∠AEM＋∠EMB＋∠ABM＋∠，∠AEM=ABM，∠1=∠2∴∠EABEMB＝∴BM，∠EBM60°∴△BEM是等边三角形∴∠FBA－∠EBAEBM＋∠EBA即∠FBEABM.FEAMABAF=AEEFAE＋AM∴△FEB≌△AMB法2【截长补短＋构造等边三角形＋全等】在AB上截取一点，AM.=120°D是∴∠EABBADDAC60°∴△AMM’是等边三角形∴AM，∠BM’MEAM120°又∵∠AEM∴△EAM≌△BM’M∴∴AB=AM’＋BM’AE＋3.（2022西城二模在.........................7分中,,过点作射线,使重合),点(点在线段与点线的异侧点是射线上一个动点(不与点上,且.(1)与点重合时,与的位置关系是,若,则的长为;(用含的式子表示)(2)①用等式表示②用等式表示线段与点与不重合时,.之间的数量关系,并证明;之间的数量关系,并证明.a【答案】）⊥CB′，；·······························································2分2（）①∠BAC∠DAE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=ACB．∴∠BAC=180°－∠ACB．∵∠DAE＋∠ACD=90°，∠ACD∠ACB，∴∠DAE=90°－∠ACD－∠ACB．∴∠BAC=2∠DAE．·························································4分BECDDE．证明：作∠DAF∠DAEAF交射线DB于点F，如图，则∠EAF=DAE＋∠DAF=2DAE．∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC∠EAF．∴∠BAC－∠EAC=EAF－∠EAC，即∠BAE=CAF．∵∠ABC=ACB，∠ACD∠ACB，∴∠ABE=ACF．ABAC，∴△ABE≌△ACF．BECF，=AF．∵ADAD，∴△AED≌△AFD．DEDF．CFCDDFCDDE．BECDDE．·····························································7分法1：构造半角模型证明：作∠DAF=∠DAE，交射线′于点，如图，则∠EAF=DAE＋∠DAF=2∠DAE．∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠EAF．∴∠BAC－∠=∠EAF－∠EAC，即∠BAE=∠CAF．∵∠∠ACB，∠ACD=∠ACB，∴∠ABE=ACF．∵AB=AC，∴△ABE≌△ACF．∴BE=CFAE=AF．∵AD=AD，∴△AED≌△．∴DE=DF∴CF=CD＋DF=CD＋．∴BE=CD＋．7分法2：截长补短①在BC上截取BM=CD，连接AM，再证明△ABM≌△ACD法3：截长补短②在上截取CM=BE，连接，再证明△ABE≌△4.（2022大兴二模27如图，，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（°<<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD,AD,BD之间的数量关系（用含α的式子表示）【答案】（）证明：由题意知，∠DAH=α∵∠CAB=∠CDB=α∴∠DAH=CAB∴∠HAC.∵∠∠BOD，∴∠B=∠C.∵又，∴△≌△.…..........................................…………3分∴BD=CH，∴△ADH是等腰三角形.∵∠CAB=α=60°，∴△是等边三角形.∴AD=HD.∵CD=HD+CH∴CD=AD+BD.…………5分（）证法（一）证明：过A⊥CD于M由题意知，∠∵∠CAB=∠CDB=α∴∠∠CAB∴∠DAB=.∵∠∠BOD，∴∠∠C.∵又，∴△≌△.∴BD=CH∴△ADH是等腰三角形.훼훼2훼2∵⊥CD∴∠HAM=2DM=HM=AD·sin+BD.∴DH=2AD·sin훼∵CD=HD+CH∴CD=2AD·sin2证法（二）在△ADB的外侧作∠αBD的延长线于，过点A作AN⊥DE于N∵∠CAB=∠CDB=α=∠∴∠∵∠∠BOD，∴∠∠C.∵又，∴△≌△ACDBE=CD，AE=AD∴△是等腰三角形.훼훼2훼2∵AN⊥DE∴∠1=2=2DN=EN=AD·sin∴DE=2AD·sin훼2∵BE=DE+BD∴CD=2ADsin+BD.△=，=，在△ABC的外侧作直线5.（2022东城二模如图，在中，−a−a)C关于直线的对称点D,,交直线于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接，求证：=；（3）过点A作⊥于点F，用等式表示线段,2,之间的数量关系，并证明。【答案】）补全图形如图：图1（2）证明：如图2点DC关于直线对称，AD=AC,ED=EC在△和△中，===△△=AB=AC==图2(3)法1：如图3图3结论：DE=BE+2EF证明：在上取一点使CG=BE。在△和△中，AB=ACABE=ACEBE=CG△△AE=AG⊥EF=FGEC=BE+2EFDE=BE+2EF法2：如图4：图4思路导航：作⊥N证得EF=EN由于△是等腰三角形，据三线合一得：DN=BN可以转化：DE=DN+NE=BN+NE=BE+NE+NE=BE+2NE=BE+2EF，得证。法3：如图5图5思路导航：作⊥在线段ED上作GK=GE，可证;得DK=BE;再证GE=GF,可以转化：DE=DK+KG+GE=BE+KG+GE=BE+2EF，得证。2022燕山二模27在RtABC中,∠ACB=90°,是⊥于E,连结P在射线BC不重合）．（1）如果∠=30°①如图1，DE与之间的数量关系是②如图2P在线段CBDPDP绕点D逆时针旋转60°DF,BF图2CP、之间的数量关系，并证明你的结论．(2)P=（0°<<90°）DP,将线段DP绕点D逆时针旋转得到线段DF,连结BF,请直接写出DEBP、、三者的数量关系（不需证明）．AAADDDBCEEPBCEBC【答案】二、中点问题共5小题附加.2020ABCP在BCP为旋转中心，将线段逆时针旋转n°（0＜＜180）得线段，连接APBQ．（1）如图1PC，画出n60时的图形，直接写出和AP的数量及位置关系；（2＝120时，若点M为线段的中点，连接PM．判断和AP的数量关系，并证明．【答案】）＝，BQAP，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60AB＝BCAC，又∵PC＝AC，∴∠APC，∵∠ACB＝∠∠＝60∴∠APC＝∴∠BAP＝∵将线段PC逆时针旋转°得线段PQ，∴PCPQ，∠CPQ＝60∴ABAC＝CPPQAPQ90∴∠BAP∠APQ＝180∴ABPQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∴BQAP，∥AP；（2AP＝2MP，理由如下：如图2CP为边作等边三角形CHP，连接BH，∵△CHP和△CBA都是等边三角形，∴CBCA，＝CHACBHCP＝∠CPH＝°，∴∠BCHACP，在△ACP和△퐴퐶=퐵퐶{∠퐴퐶푃=∠퐵퐶퐻，퐶푃=퐶퐻∴△ACP≌△BCH（SAS，∴APBH，∵将线段PC逆时针旋转120°得线段PQ，∴CPPQ，∠CPQ＝°，∵∠CPH+CPQ＝180∴点HPQ三点共线，∵BM＝MQPQCP＝HP，∴BH2MP，∴AP＝2MP．附加（2021•通州区一模）已知点P为线段上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转°，得到线段ACB逆时针旋转120BDAD中点BMCM．（1）如图1，当点PCM上时，求证：PMBD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．【解答】解：（1）有题意可得，∠CAP＝°，且AP＝AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC＝∴∠BPM＝°，又∵∠PBD＝120∴∠BPM+PBD＝180∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MBCM=√3MB，理由如下：如图，延长BM至点G，使得MF＝MB，BCGCPC，∵AM＝MDGMBM，∴四边形AGCB是平行四边形，∴AGBDAGBD，∴∠BAG180°﹣∠ABD＝60∴∠CAG120°，∵△APC是等边三角形，∴ACCP，∠CPB＝120°，∵PBDB＝，∴△CAGCPB（∴CGCB，∠AFC＝∠PCB，∴∠GCB60∴△CBG是等边三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BMCM=√3MB．7.（2022顺义二模ABCACB=90D为射线DPPD=BCCP，以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°（<n180）得线段.（）如图，当四边形是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值;（）当n=135°时，M为线段的中点，连接PM.①在图2中依题意补全图形。②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明。【答案】（1）°证明：∵四边形ACPE是平行四边形∴∥∴∠∠∵∠ACB=90°，∴∠CAP=45°∠APE∴n=45°（2）①如右图CP＝2PM．4分分析：此题已知了M是的中点，求证的是CP和PM的关系。先观察度量就可以推断出是二倍关系，所以方法一：倍长PM;方法二：作中位线。证法（一）证明：延长PM到点QQM＝．连接，．……………5分∵MAE的中点，∴AMEM．又∵＝，∴四边形APEQ是平行四边形．∴＝AQPE//AQ．∴∠QAP＝180°－∠DPE180°－135°＝45∵∠ACB＝°，AC＝，∴∠CAP＝∠CBA＝45°．∴∠CAP＝∠QAP．…………6分∵ACBCPDBCPD，∴＝．∴△CAP≌△QAP．∴CPQP2PM．…………7分此问也可以连接，△为等腰三角形，平分∠CAQ，根据等腰三角形三线合一得AP垂直平分，于是CP=QP=2PM.证法（二）延长到NPN=EP，连接∵MAE的中点，∴AMEM．∴∥AN，AN=2PM∵∠ACB＝°，AC＝，∴∠CAP＝∠CBA＝45°．∵∠DPE==135°∴∠NPA=45°∠∵PE=PD=CB=AC=PNAP=PA∴△ACP≌△CP=AN=2PM.2022朝阳二模27在正方形中，E为M在N在⊥，垂足为点F．（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：=；（2）将图1向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH,HF,FN之间的数量关系，并证明【答案】）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BCCD，B=．………………分=1∴∵⊥∴+，=，垂足为点F，∴+=∴MCB=．……………2分∴=．……………3分即=．（2）①补全图形如图所示。……………4分②=+．……………5分法1：对角线的对称性证明：如图，连接HB,HD,．∵F为的中点，且．⊥．∴=6．分∵四边形ABCD是正方形，∴=．∵，=，∴．∴=，=．∴=．=∴=．∴=．∴+=．1∴+．∴==．∴HF=DE．21由（）知=，∴=．7．=+2法2：截长补短法3：利用角平分线构造全等法4：倒角法5：构造一线三垂直模型法6：利用斜边中线（2022房山二模如图ABCDABC=∠BCDA作DC交边于点，过点E作AB交边于点FAFC作CH∥AF交AE于点H，连接BH。（1）≌△EAF；（）如图2的延长线经过点M，求的值。【平行四边形性质＋全等证明】证明：ABC=BCD，AE∥，EFAB∴∠ABE=AEB，∠FEC=∠FCE,BAH=∠FEAAB=AE，FE=FC又∵CH∥AHCF为平行四边形FE=FC=AH∴△ABH≌△EAF………………3分G（2证明：延长BM，EF，两延长线交于点。∵M为AF的中点∴=FM又∵AB∥EF∴∠ABM=∠FGM∵∠AMB=∠FMG∴△ABM≌△FGM(AAS)∴AB=又∵AB∥EF∴△ABH∽△EGH∵DC，EFAB，AF，∠ABC=∠BCD∴四边形AHCF为平行四边形，△ABE和△为等腰三角形，∴∠ABE=∠FEC=∠AEB=∠FCE∴△ABE∽△FEC∴=设比值是a===a，===−=−=a−=(a−)，，=+=a+=(a+)ABAHEGEH(a+)FE(a−)FEaFEFE∵△ABH∽△EGH∴===∴(a−)a=a+1∴a2−a−1=0解得：a=1+21−舍去)BEEC=1+2∴………………7分10.（2022石景山二模27题）ABC中，∠ACB=90°,CA=CB,D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A,CDE，将线段B逆时针旋转90°得到线段，过点F作FHDE于H，交射线BC于点G.(1)如图1AE<EC时，比较∠ADE与∠的大小；用等式表示线段与AE的数量关系，并证明：(2)如图2AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.【答案】方法一：在EC上截取EK=AE.连BK.1因为D为的中点，所以DE=BK，DE∥BK，所以∠ADE=∠ABK，所以∠ABK=∠BFG.2由旋转知AB=FB，∠GBF=90°-∠ABC=45°=∠A.在△BGF与△AKB中，∠BFG=∠ABK,BF=AB,∠GBF=∠A，所以△BGF△AKB（）.所以BG=AK=2AE.BDGHEKC方法二：在△BFG与△ADE中，∠GBF=∠A,∠BFG=∠ADE,所以△BFG∼△ADE.所以BG:AE=BF:AD=AB:AD=2:1,所以BG=2AD.BDCAEFGH同上问方法二，易证△∼△从而推出FG=2DE.在Rt△FCG中，퐶퐹2+퐶퐺2=퐹퐺2而CF=AC，所以퐴퐶2+퐶퐺2=(2퐷퐸)2=4퐷퐸2BDCGNKAEFH方法二：逆用旋转型全等。作BK⊥FH于，BK交AF于N.我们有∠CBN+∠BGK=90°=∠CFG+∠BGK,所以∠CBN=∠CFG.显然△BCN△FCG.CN=CG,BN=FG.因为DH⊥FH,BK⊥FH,所以DH∥BK,所以BN:DE=AB:AD=2:1,所以BN=2DE.Rt∆BCN222所以퐴퐶+퐶퐺=2퐷퐸=4퐷퐸2.22()2퐵퐶+퐶푁=퐵푁11.（2022门头沟二模27题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是的中点，过点C作CEAD，交AD于点，交ABF，作点E关于直线的对称点G，连接和GC，过点B作BMGC交GC的延长线于点M．（1根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．（2）过点B作BN交的延长线于点N，用等式表示线段AG，与BM的数量关系，并证明．AAEEFFDDCBCB277分））①略；……………2分AEGFDCBM②=，理由如下：=，∵∴+=，+=.∵点E关于直线AC的对称点是点G，∴≌.∴.∴=.−−即=.……………4分（2：EN2=1BMAG，理由如下：2ANEGFDCBM∵≌.∴AG，CG.∴+=.∵⊥，∴==..+=∵=，∴∴.CEAE=∴.∴=.∴CE2.∽CE∵⊥，⊥，∴∥.∵D是的中点，∴=，=1.2∵=，⊥，⊥，∴=∴=1BM.2∴EN2=1BMAG.……………7分2法2：“一线三垂直模型”相似∵△AGCCMB퐴퐺푀퐴퐺퐴퐺푀∴∴∴∴==푀==퐴퐺푀푀∴2EN2=∙BM三、一线三垂共1小题12.（2022海淀二模27题）ABBC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线ABBC重合，分别过点C作直线l的垂线，垂足为D，．（1）如图1时，①求证：+=；②连接AE，过点D作DH⊥于H，过点A作AF∥交DH的延长线于点．依题意补全图形，用等式表示线段DF，DE的数量关系，并证明；（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．AAlEDBCBC图1【答案】（DFDE的数量关系为BE2+DE2=232）2）①根据ASA证明△ABD≌△BCE，推出AD=BEBD=CE，由此得到．+=②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性质推出∠HED=∠ADF．进而证明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理证得2+2=AE2，由此得到BE2+DE2=2．（2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，则，3218−+DB=DE-BE=3-xAB2=2x，根据函数的性质解答24【第（1）小问①详解】①证明：∵∠ABC=90°，∴∠∠CBD=90°．∵⊥l∠CEB=90°．∴∠CBD+∠=90°．∴∠ABD=∠．∵⊥l∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴+=．+=【第（1）小问②详解】②补全图形如图：图2线段，，的数量关系为BE2+DE2=2．证明如下：∵∥，∴∠BAF+ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠=90°．∴∠BAD+DAF=90°．∵⊥l∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD∠∠DAF．∵⊥AE于，∴∠=90°．∴∠HDE+HED=90°．∵∠∠ADF+∠HDE=90°，∴∠∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BEADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在中，2+【第（2）详解】2AE2，∴BE2DE22．=+=法1：当直线l在∠ABC外部时，由（）知△ABD≌△．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，23182+设AD=xBE=x，DB=DE-BE=3-x，∴2=2+DB2=x+(3−x2=2x−24332∴当时，AB有最小值，即AB=22．24322故当取最大值3时，为图3法2：图4图5图6图7图8322如图4~8，只有图8当四边形ADEC是矩形的时，最大等于AC的长度，此时AB=法3：图9如图，由（）知△ABD≌△BCEAD=BE,BD=CE令AD=BE=x,BD=CE=y再△ABD中，x2+y2=AB2∵（）2≥0∴≥2xy∴1x2+y21111（x2+y2）+（x2+y2（x2+y2）+（2xy）=(x+y)222222∵x+y≤39AB2292322AB2AB322AB322故当取最大值3时，为四、猜证类共1小题2022昌平二模27MON=OP是∠MONA上一点，点A对称点BONAB交A作ONON于点，作∠OAE的平分线，射线AQ与，ON分别交于点FG.（1）①依题意补全图形；②求∠BAEα的式子表示）（2）写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD＝2AF（点A不与点OMMAAPPOONN【答案】）①MAPCDFOGEBNQ………2分解：②A关于OP的对称点为点B，∴OA=OB.∵∠MON=∴∠O