2021北京中考数学二模分类汇编《几何综合》含答案解析

2021北京中考数学二模分类汇编——几何综合12021MON90AOMPONOAPA逆时针旋转60ABOB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CHON．1）如图1α60依题意补全图形；，求∠的度数；22P在射线ONOA与之间的数量关系，并证明．22021•西城区二模）如图，在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为△外一点，点PC位于直线异侧，且∠APB45°，过点C作CD⊥，垂足为D．（1）当∠ABP＝90°时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关2）如图2，当∠ABP90用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；在线段上取一点，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出此时的值．第1页（共6页）32021和△ADE＝∠BAC90P为的中点，连接．1）如图1，，D在同一条直线上，直接写出DP与的位置关系；2）将图1中的△A逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点CD，P恰好在同一条直线上．2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；．判断线段与DF的数量关系，并证明．42021ABCDDAD旋转得到线段DP与直线相交于点E，直线与直线DC相交于点F．1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP60°时，求证：DECEDF；2DP运动到图22CEDF之间的数量关系，并证明．第2页（共6页）52021•丰台区二模）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O＞OBOP平分∠MON的垂直平分线分别与ABOM点，D，，连接CB，在射线ON上取点，使得＝，连接CF．1）依题意补全图形；2）求证：CBCF；3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．62021•石景山区二模）已知等边△ABCD中点，M上一点（不与，CDM．（1）如图1，点E是边的中点，当M在线段上（不与A，E重合）时，将DMD逆时针旋转120°得到线段DF，连接．依题意补全图；与的数量关系为：，∠DBF＝°．22DM2MC上有一点NDM120示线段BNND之间的数量关系，并证明．第3页（共6页）72021•房山区二模）如图，已知是矩形的对角线，∠BAC＝30°，点M是DC延长线上一点，∠的平分线与∠的平分线交于点E，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段CF，使点F在射线上，连接EF．1）依题意补全图形；2）求∠的度数；3）用等式表示线段AECE之间的数量关系，并证明．82021AB＝BAC＝D是E是ADBEA作DE的垂线交DE的延长线于点．1）依题意补全图形；2）当∠AED＝，请你用含α的式子表示∠AGC；3）用等式表示线段与之间的数量关系，并写出证明思路．第4页（共6页）92021•顺义区二模）已知：如图，在△中，∠ACB90°，∠CAB30°，P是边上任意一点，D是边的中点，连接CPCD，并将绕点P逆时针旋转°PE，连接AE．1）求证：＝BC；2依题意补全图形；用等式表示线段与的数量关系，并证明．102021•平谷区二模）在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是边上一点，过点G作射线CP，过点A作AMM，过点B作BN⊥．1）求证：CM＝；2）取中点O，连接OMON，依题意补全图，猜想线段BNAM、OM的数量关系，并证明．第5页（共6页）2021MAN90B是∠MANAM，B作射线交B逆时针旋转90D．1）依题意补全图形；2）求证：BCBD；3）连接AB，用等式表示线段ABAC，之间的数量关系，并证明．第6页（共6页）2021北京中考数学二模分类汇编——几何综合参考答案与试题解析12021MON90AOMPONOAPA逆时针旋转60ABOB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CHON．1）如图1α60依题意补全图形；，求∠的度数；22P在射线ONOA与之间的数量关系，并证明．【分析】1）根据要求画出图形即可．证明△是等边三角形，推出∠APB60°，再证明∠APO30°，可得结论．2＝2BPBCPC＝明∠CPH30°可得结论．【解答】1）下图即为所求：A逆时针旋转°得到AB，ABAP，且∠60第1页（共25页）∴△是等边三角形，∴∠＝°，∵∠OAP60∴∠APO30∴∠BPO＝∠+∠APO90∴∠BPH902）结论：＝CH．理由：如图2中，连接BP，BCPC．由（）可知，△是等边三角形，BABP，∠ABP＝∠60OBO顺时针旋转°得到，＝OC，∠BOC60∴△是等边三角形，＝BC，∠OBC＝°，∴∠ABO60°﹣∠OBP＝∠PBC，∴△ABO≌△PBCSAS＝PC，∠BPC＝∠BAO，∵∠OAP，∴∠BAO＝∠BAP∠OAP60+，∴∠BPC60+，∵∠BPN180°﹣∠APO﹣∠＝120°﹣（90°﹣）＝30α，∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝°，第2页（共25页）⊥ON，∴∠＝°，Rt中，PC＝CH，＝2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判30题，属于中考压轴题．22021•西城区二模）如图，在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为△外一点，点PC位于直线异侧，且∠APB45°，过点C作CD⊥，垂足为D．（1）当∠ABP＝90°时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关2）如图2，当∠ABP90用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；在线段上取一点，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出此时的值．【分析】1和2根据等腰直角三角形的性质，可得与的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得与的关系，根据等量代换，可得答案；交于点QAGC∽△QGBCAGQ45QDK∽△PBKPBK＝∠＝等腰直角三角形的性质即可求解．【解答】1）如图1，第3页（共25页）∵∠ACB90°，＝BC，∴∠CAB45AB＝AC，∵∠ABP90°，∠APB45∴∠BAP45∴∠CAP＝∠CAB∠BAP＝°，⊥，和重合，AP＝AP＝AB，×AC2AC2；2AP＝2，证明：过点A作AFF，∵∠＝°，∴∠＝∠45∴＝，AP＝AF．∵∠ABF＝∠BAP+P＝∠BAP+45又∵∠CAD＝∠BAP+CAB＝∠BAP+45∴∠CAD＝∠FBA．第4页（共25页）又∵∠ADC＝∠AFB＝°，∴△CAD∽△ABF，∴，AF＝AP＝CD，AF2；、交于点Q，∵∠＝∠2，∠ACG＝∠ABK，∴△AGC∽△，∴∠CAG＝∠Q45∵∠＝°，∴∠Q＝∠，∵∠＝∠4，∴△∽△PBK，∴∠PBK＝∠QDK90∵∠＝°，KP＝BP，∴．【点评】本题是三角形综合题，考查了相似形三角形的判定与性质，利用了等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32021和△ADE＝∠BAC90P为的中点，连接．第5页（共25页）1）如图1，，D在同一条直线上，直接写出DP与的位置关系；2）将图1中的△A逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点CD，P恰好在同一条直线上．2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；．判断线段与DF的数量关系，并证明．【分析】（1）根据△是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P为的中点，依据⊥；（2）按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠45°，即可证明结论；②延长至G，使PG＝DP，连接AG，BG，利用SAS证明△APG≌△APD，△≌△CADBGC＝∠APGPFBG证明结论．【解答】1）∵△是等腰直角三角形，∠ADE＝°，＝ED，P为的中点，⊥AE；2补全图形如图2所示；证明：∵△和△都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC90∴∠DAE45°，＝ED，P为的中点，∴∠ADP＝∠EDP45∴∠BAE∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝°，∵∠CADACP＝∠ADP45∴∠BAE＝∠ACP；第6页（共25页）BFDF．证明：如图3，延长至GPGDP，BG，∵△是等腰直角三角形，∠ADE＝°，＝DE，∠DAE＝°，P为的中点，∴∠APD＝∠APG90°，＝DPPG，∠ADP＝°，∴△APG≌△APDSAS＝AD，∠＝∠DAE＝∠AGP45∴∠＝∠BAC90∴∠BAGBAD＝∠CAD+BAD＝°，∴∠BAG＝∠CAD，＝ADAB＝，∴△BAG≌△CADSAS∴∠AGB＝∠ADC180°﹣∠ADP135∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP90∴∠BGC＝∠APG，PFBG，∴＝＝，BFDF．第7页（共25页）【点评】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．42021ABCDDAD旋转得到线段DP与直线相交于点E，直线与直线DC相交于点F．1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP60°时，求证：DECEDF；2DP运动到图22CEDF之间的数量关系，并证明．【分析】1）证△是等边三角形．得∠＝°，再由含°角的直角三角形的性质得DF＝＝CE＝CD＝＝CE＝2DE﹣＝D作DH⊥交HADF（DFCH，再证EDEH，即可得出结论．【解答】1）证明：设AB＝a．第8页（共25页）∵四边形ABCD是正方形，＝CDAB＝．＝DP，∠ADP＝°，∴△是等边三角形．∴∠＝°，在△中，∠AFD＝°，＝在△中，∠CDE＝°，CE＝＝DE2CE＝+CEDF；AD＝，，2）解：依题意补全图形，如图2所示：CEDF，证明如下：过D作DH交H，如图3所示：DH⊥AF，∴∠∠AFD＝°，∵∠∠DHC90∴∠AFD＝∠，在△和△，∴△ADF≌△（AAS＝CH，＝DP，∴∠＝∠EDH，∥BC，∴∠＝∠EHD，∴∠＝∠EHD，＝EH，﹣CE＝．第9页（共25页）【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．52021•丰台区二模）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O＞OBOP平分∠MON的垂直平分线分别与ABOM点，D，，连接CB，在射线ON上取点，使得＝，连接CF．1）依题意补全图形；2）求证：CBCF；3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【分析】1）根据几何语言画出对应的几何图形；2）过点C作垂直平分AB，CFOP，垂足分别为DC，根据线段的垂直平分线的性质得到CA＝CB，根据角平分线的定义得到∠AOC＝∠FOC，则可判断△AOC≌△FOC，从而得到CBCF；3ACB902）证明三角形是等腰直角三角形，进而可得线段第页（共25页）与之间的数量关系．【解答】1）解：如图即为补全的图形；2）证明：连接，OP是∠的平分线，∴∠AOC＝∠FOC，在△和△，∴△AOC≌△FOCSASCACF，是线段的垂直平分线，CACB，CBCF；3AB＝CF，证明：∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO＝∠CFB，CFCB，∴∠CBF＝∠CFB，∴∠CAO＝∠CBF，∵∠CBF∠CBO180∴∠CAOCBO＝180°，∴∠AOBACB180∵∠AOB90∴∠ACB90第页（共25页）CACB，∴△是等腰直角三角形，AB＝AB＝CB，CF．【点评】本题考查了作图，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．62021•石景山区二模）已知等边△ABCD中点，M上一点（不与，CDM．（1）如图1，点E是边的中点，当M在线段上（不与A，E重合）时，将DMD逆时针旋转120°得到线段DF，连接．依题意补全图；与的数量关系为：EM＝，∠DBF＝12022DM2MC上有一点NDM120示线段BNND之间的数量关系，并证明．【分析】（1①根据题意作图即可；连接DE，根据SAS，证△BDF≌△EDM，即可EMBF，∠DBF＝1202点D作DG交于G出DG为△ASA证△≌△MDC，得出DNDM，NGCM，然后根据各边关系得出BN+ND．【解答】1）；，第页（共25页）D为的中点，E为的中点，DE为△的中位线，＝且∥，∵△为等边三角形，∴∠ABC＝∠＝°，AB＝，D为的中点，＝BC＝，∥AB，∴∠CDE＝∠ABC60∴∠BDE120°＝∠BDMEDM，∵∠BDM∠BDF＝∠MDF120°，∴∠BDF＝∠EDM，∴△BDF≌△EDM（SASEM＝BF，∠DBF＝∠DEM，∵∠CED60∴∠DEM120∴∠DBF＝∠DEM＝120°；故答案为EMBF，1202）如图2，过点D作DG交于G，∴∠＝∠C60°，∠BGD＝∠＝°，∴△为等边三角形，又∵D是边上的中点，＝DG＝BC，DG为△的中位线，DG＝DC，∵∠NDM120°＝∠NDG∠GDM，∠GDC120°＝∠GDM+MDC，∴∠＝∠MDC，∴△≌△MDCASA＝DM，＝CM，BNNGBGDM2CM，第页（共25页）＝2，BN+DNBG，＝AB，＝BC，＝CD，BNCD﹣，即BN+ND＝．【点评】本题主要考查图形变换的综合题，熟练掌握图形的旋转，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．72021•房山区二模）如图，已知是矩形的对角线，∠BAC＝30°，点M是DC延长线上一点，∠的平分线与∠的平分线交于点E，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段CF，使点F在射线上，连接EF．1）依题意补全图形；第页（共25页）2）求∠的度数；3）用等式表示线段AECE之间的数量关系，并证明．【分析】1）按照题意画出图形即可；（2）根据矩形性质可得∠ABC＝∠BCD＝∠BCM＝90°．由∠的平分线与∠BCM的平分线交于点BAE＝∠CAE＝ECF＝进行计算即可；3上截取EHECSAS证明△≌△HCA，运用全等三角形性质即可得到答案．【解答】1）补全图形如图所示：2）∵是矩形ABCD的对角线，延长DC至M，∴∠ABC＝∠BCD＝∠＝°．∵将线段CCF在射线BAC30∴∠ACF60∵∠的平分线与∠的平分线交于点，∴∠BAE＝∠CAE＝°，∠ECF＝°，∴∠ACE＝∠ACF∠ECF＝°°＝105∴∠AEC180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣105°﹣15°＝°；3）答：AE＝+EF．第页（共25页）证明：在上截取EHEC，连接CH，∵∠AEC60∴△是等边三角形，∴∠EHC＝∠ECH60°，＝CHEH．∴∠ECF∠FCH＝∠FCHHCA＝°，∴∠ECF＝∠HCA，∵将线段C逆时针旋转，得到线段CF，CFCA．在△与△，∴△ECF≌△HCASASEFHA．AEEHHA，AECE+．【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，等边三角形判定和性质等，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形．82021AB＝BAC＝D是E是ADBEA作DE的垂线交DE的延长线于点．1）依题意补全图形；2）当∠AED＝，请你用含α的式子表示∠AGC；3）用等式表示线段与之间的数量关系，并写出证明思路．第页（共25页）【分析】1）依题意补全图形即可；2）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得AGC∠CAG45＝∠DAF，即可求解；3）解法一：过G作GH⊥交的延长线于H，则△是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，再证△ADE∽△，得出mb，即可得出结论；＝上截取AHADDHDH＝AD，证明△EHD≌△ACGASA【解答】1）依题意补全图形如图1所示：2）∵ABAC，∠BAC＝°，∴∠ACB45∴∠AGCCAG＝∠ACB45∵∠⊥DE，∴∠AFE90°＝∠DAE，∴∠AEDEAF＝∠DAF∠EAF90∴∠DAF＝∠AEDα，∴∠CAG＝∠DAF，∴∠AGC45°﹣；3CG＝，证明思路如下：解法一：过G作GH交的延长线于H，如图2所示：则∠＝°＝∠DAE，△是等腰直角三角形，得CHGH，＝GH，设ABAC＝，ADBEbCH＝GHm，第页（共25页）由（）可知，∠AED＝∠HAG，则△ADE∽△，得＝整理得：+bmabbmmb，故CG＝＝b＝AD；＝，解法二：在上截取＝AD，连接DH，如图3所示：则△是等腰直角三角形，DH＝AD，∠AHD45∴∠＝135°，＝BE，＝BE，BEBHAHBH＝AB，ABAC，＝AC，∵△是等腰直角三角形，∴∠ACB45∴∠ACG135°，∴∠＝∠ACG，由（）得：∠E＝∠CAG，在△和△，∴△≌△ACG（ASA＝DH＝．第页（共25页）【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．92021•顺义区二模）已知：如图，在△中，∠ACB90°，∠CAB30°，P是边上任意一点，D是边的中点，连接CPCD，并将绕点P逆时针旋转°PE，连接AE．1）求证：＝BC；2依题意补全图形；用等式表示线段与的数量关系，并证明．第页（共25页）【分析】1）证明△是等边三角形即可．2根据要求作出图形即可．证明△CPB≌△SASCDE＝∠B60ADE≌△CDESAS可得结论．【解答】1）解：∵∠ACB90°，∠CAB30∴∠ABC60D是边的中点，＝BD，∴△是等边三角形，＝BC．2图形如图所示：与之间的数量关系为PE＝AE．理由：连接ECED．PEPC，∠EPC＝°，∴△是等边三角形，CPCE，∠ECP＝°，∵∠DCB＝∠ECP60∴∠ECD＝∠PCB，＝CB，第页（共25页）∴△CPB≌△CEDSAS∴∠CDE＝∠＝°，∵∠CDB60∴∠ADE60∴∠ADE＝∠CDE，＝DC，∴△ADE≌△CDESASAECE，AEPE．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．102021•平谷区二模）在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是边上一点，过点G作射线CP，过点A作AMM，过点B作BN⊥．1）求证：CM＝；2）取中点O，连接OMON，依题意补全图，猜想线段BNAM、OM的数量关系，并证明．【分析】）由题意补全图形，证明△ACM≌△（出CM＝．（2）连接OC，证明△OCM≌△OBN（SASOM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MN＝【解答】1）补全图形如图，OM，则可